Квазиклассические асимптотики в спектральных задачаз и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах (1103348), страница 4
Текст из файла (страница 4)
А именно, справедливо следующее18Утверждение10. Если взять ψ = U (ϕ)eiS/h , где S = iλ(r − r0 )2 ,sV 00 (r0 )λ=, а U (ϕ) — произвольная гладкая финитная функция, то ψ будет8g 22∂∂асимптотической собственной функцией оператора H ϕ, r , −ih , −ih∂ϕ∂r3/2с точностью до O(h ), причем асимптотическое собственное значение имеетвидrg 22 V 00 (r0 )h.E = V (r0 ) +80Здесь r0 — корень уравнения V (r) = 0.Асимптотическое вырождение означает, что расстояние между точнымисобственными значениями, вообще говоря, o(h3/2 ).Ниже приводитсяутверждение, описывающее асимптотические спектральные серии с большейточностью.Теорема 3.1. Пусть u0 — гладкое решение уравнения второго порядка спериодическими коэффициентамиA(ϕ)u000 (ϕ) + B(ϕ)u00 (ϕ) + C(ϕ)u0 (ϕ) = E2 u0 (ϕ),где A(ϕ), B(ϕ), C(ϕ) вычисляются по явным формулам (см.
(3.20) и (3.21)ниже), и пусть при E2 = E2n существует периодическое решение (то есть, E2n— соответствующее собственное значение). Тогда квазиклассическое решениеспектральной задачи для оператора (3.1) с точностью до O(h5/2 ) имеет вид:rg 22 V 00 (r0 )E = V (r0 ) +h + E2n h28— асимптотическое собственное число (n — целое),ψ = U (ϕ, r)eiS/h— асимптотическая собственная функция.u2 (ϕ)Здесь U = u0 (ϕ) + u1 (ϕ)(r − r0 ) +(r − r0 )2 (где u1 , u2 вычисляются по (3.17)2и (3.18)), a S = i(λ(r − r0 )2 + λ1 (r − r0 )3 + λ2 (r − r0 )4 ).ПричемsV 00 (r0 )λ=,8g 22а λ1 и λ2 вычисляются по формулам (3.10).19Эти решения уже не являются вырожденными. Именно повышение порядкапозволило разделить асимптотические решения, которые до этого совпадали сточностью до O(h3/2 ) .В статье [38] разобран пример применения этой конструкции в случаекоэффициентов gij , соответствующих частному случаю редуцированной (см.книгу [31] и ссылки в ней) задачи двух тел на пространстве Лобачевского.Работавыполненапричастичнойподдержкеподпрограммы“Фундаментальные исследования» ведомственной научной программы“Развитие научного потенциала высшей школы” Федерального агентствапо образованию РФ, проекта РНП 2.1.1.2381 программы “Развитие научногопотенциала высшей школы (2006-2008 годы)”, гранта 07-07-00223 РФФИ.В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научномуруководителю профессору А.
И. Шафаревичу за постановки задач и постоянноевнимание к работе, а также всему коллективу кафедры дифференциальнойгеометрии и приложений, под руководством академика РАН А. Т. Фоменко,за возможность плодотворно заниматься научной работой. Автор благодаритпрофессоров О. М. Касим-Заде, П. Б. Курасова, С. Ю. Доброхотова, Н. Г.Мощевитина за полезные обсуждения и ряд ценных замечаний.201. Квазиклассические асимптотикив спектральных задачах для уравненийШредингера на квантовых графах.1.1.
Общие замечания.Рассматриваетсязадачапостроенияправилквантованиявквазиклассическом приближении для уравнения Шредингера на геометрическомграфе. Под геометрическим графом (сетью) здесь понимается одномерныйклеточный комплекс. В этой главе рассматриваются только компактныеграфы.Основным результатом данного раздела является алгоритм построенияправил квантования, который проиллюстрирован рядом примеров.1.2. Постановка задачи.Геометрический граф Γ — одномерный клеточный комплекс.Ребраобозначаем γj , а вершины aj .
Рассматриваются только конечные графы.Не исключаются случаи кратных ребер и петель. Через Γ(a) обозначаетсясовокупность ребер, примыкающих к вершине a. Число вершин обозначимбуквой M , ребер N , висячих вершин K.Под квазиклассическим квантованием для уравнений квантовой механикиздесь понимается сопоставление геометрическим объектам спектральных серийоператора Шредингера.b (соответствующее уравнениеЗададим дифференциальный оператор Hполучим, рассматривая для него задачу Штурма-Лиувилля) на графе (см. [15]).Каждое ребро отождествляется с отрезком действительной прямой.
Мывводим пространство L2 (Γ) функций на графе:2L (Γ) = ⊕NXL2 (γj ),j=1со стандартным скалярным произведениемZ(f, g) = f (x)g(x)dx.Γ(1.1)21Пусть V произвольная, непрерывная на Γ и гладкая на ребрах функция,принимающая действительные значения. Тогда оператор Шредингера22 d ψ(x)bH = −h+ V (x)ψ(x)dx2определен на множестве функций из пространства Соболева ψ ∈ ⊕удовлетворяющих следующим граничным условиям в вершинах:(1.2)NPH 2 (γj ),j=11. функция ψ непрерывна на Γ;2.Xγj ∈Γ(am )αjdψj(am ) = 0, αj ∈ R, m = 1, 2, ..., M − Kdx(1.3)во всех внутренних вершинах (то есть, в вершинах валентности большей,чем единица);3.
ψ(am ) = 0 во всех внешних (висячих) вершинах, то есть в вершинахвалентности один.Нас интересует асимптотическая (при h→0) спектральная задача для такогоbоператора (сам оператор будем обозначать H).Определение.Будем говорить, что условия трансмиссии имеют видусловий Кирхгофа, если все коэффициенты в условиях трансмиссии входятсо знаком “плюс”, когда ребро из вершины выходит, и со знаком “минус”,когда, наоборот, ребро входит в вершину.
Если, кроме того, в каждойвершине значения коэффициентов равны между собой по модулю, такие условияназываются натуральными.bВ [3] (см. аналогичное утверждение в [15]) доказано, что оператор Hявляется самосопряженным, когда коэффициенты при второй производной вуравнениях на ребрах равны соответствующим коэффициентам в условияхтрансмиссии. В нашем случае все коэффициенты при вторых производныхравны между собой (и равны −h2 ). Таким образом, оператор заведомосамосопряжен, если условия трансмиссии являются натуральными.b на компактномВ [3] доказана теорема о дискретности спектра оператора Hграфе в случае самосопряженных условий трансмиссии. В [8] доказано, чтоусловие самосопряженности можно заменить на более слабое условие: нужно,чтобы нашлась внутренняя вершина, в которой вектор, составленный из αj (с22учетом ориентации ребер), не был бы ортогонален вектору, в котором каждаякомпонента равна 1.
Если это условие не выполнено, спектр заполняет всюкомплексную плоскость.1.3. Алгоритм построения правил квантования.Сформулируем алгоритм построения правил квантования.1) Шаг первый: разметка новых вершин. Находим и отмечаем точки, гдеV (x) = λ. Эти точки, называемые точками поворота, в классической механикеограничивают область допустимого движения.2) Шаг второй: деформация графа. Изменяем граф следующим образом:удаляем из него те участки, на которых λ < V (x).
Мы получим граф, возможнонесвязный, у которого появятся новые вершины. Каждой связной компонентенового графа соответствует своя спектральная серия, и тем самым задача,возможно, распадается на несколько (по числу связных компонент). Далеерассматриваем связный граф с вершинами двух типов: “старые” и “новые”(то есть, точки где V (x) = λ). Если нашлись связные куски, на которых нетвершин исходного графа, то соответствующие им правила квантования можносразу выписать (это одномерная задача, заданная на отрезке), и в дальнейшеммы этот случай отбрасываем.
Вновь появившиеся висячие вершины будемназывать λ-вершинами.Рис. 1.1. Пример деформации графа.3) Шаг третий: изменение ориентации части ребер. Все вершины степениодин (висячие) считаем начальными точками. Для ребер, не соприкасающихсяс вершинами степени один, ориентацию (направление, в котором будетоткладываться аргумент решения одномерного уравнения) оставляем без23изменений.
Этот шаг носит вспомогательный характер и упрощает дальнейшиешаги.4) Шаг четвертый: выписывание уравнений.Всего их будет 2N − K(здесь N — количество ребер в графе, K — число висячих вершин).Накаждом ребре, при выполнении соответствующих ограничений на потенциал,существует гладкое решение, зависящее от двух произвольных постоянных(обозначим их Aj и Bj ). Выпишем линейную систему для определения этихкоэффициентов. Уравнения выписываются по вершинам графа.Подшаг первый (уравнения для внутренних вершин графа). Рассмотрим“старую” вершину,все соседи которой — вершины исходного графастепени больше единицы.Выпишем уравнения, соответствующие такойвершине.
Сначала записываем группу уравнений, соответствующих условиюнепрерывности решения. Если степень вершины равна k, то их будет k −1.Каждому выходящему ребру соответствует сумма Aj + Bj , а каждомувходящему Aj eiφj + Bj e−iφj . Эти выражения приравниваются друг к другу.Rb p1Здесь введено обозначение φj = hλ − Vj (y)dy — интеграл взят по ребру,aа Vj (x) — потенциал, ограниченный на j-ое ребро. И еще одно уравнениеполучается как следствие условия трансмиссии в точке.
На этот раз вкладисходящего ребра равен Aj − Bj , а входящего Aj eiφj − Bj e−iφj .Вкладысуммируются с коэффициентами αj и приравниваются нулю.Подшаг второй (уравнения для вершин, у которых есть соседи степениодин).Осталось рассмотреть вершины трех типов: λ-вершины, вершиныисходного графа степени один и вершины исходного графа степени вышеединицы, у которых есть соседи степени один.Уравнения мы будемзаписывать только в вершинах последнего, третьего, типа. Есть два варианта.Первый:с такой вершиной соседствует λ-вершина.В ней есть условиесклейки решения, что дает возможность выразить одну из произвольныхпостоянных, определяющих решение на ребре, соединяющем λ-вершину ивершину исходного графа, через другую.
Тогда в вершине третьего типа костальным уравнениям, которые выписываются так же, как на подшаге первом,можно добавить соответственно:cos(φj − π4 )Aj в условия непрерывностии i sin(φj − π4 )Aj , с коэффициентом αj , в следствие из условий трансмиссии.Второй вариант: соседней оказалась висячая вершина исходного графа. Тогдавклады в уравнения, записываемые для вершины третьего типа, будут такие:242i sin φj Aj в условия непрерывности и 2 cos φj Aj , c коэффициентом αj , в условиетрансмиссии.Как можно заметить, есть два простых примера, к которым, в силу ихпростоты, описанная конструкция не применима.
А именно, это два графа:пара “старых” вершин соединена одним ребром, или вершина исходного графасоединена с λ-вершиной. Ниже эти примеры разобраны.5) Шаг пятый: подсчет определителя, соответствующего линейной системе,составленной на предыдущих шагах.Приравниваем определитель нулю(требование существования нетривиальных решений):det(A(λ)(2N −K)×(2N −K) ) = 0.(1.4)Это и есть аналог правил квантования для геометрических графов.Теорема 1.1.Если λ = O(1) — корень уравнения (1.4), то тогдаbсуществует функция ξ(x) (порядка O(1)) из области определения оператора Hbтакая, что Hξ(x)= λξ(x) + O(h2 ).
То есть λ является точкой h2 -псевдоспектраb(см. [25]) оператора H.Доказательство теоремы 1.1 приведено ниже.Нас интересует вопрос, когда найденное нами λ приближает точноеb Это будет так в том случае, когда операторсобственное значение оператора H.является самосопряженным.Достаточным условием самосопряженности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
