Квазиклассические асимптотики в спектральных задачаз и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах (1103348), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Распространение гауссовых пакетов на однородном дереве.Рассмотрим бесконечное дерево, у которого валентность всех вершин, кромекорневой, одинакова и равна v. Число, на единицу меньшее валентности, будемназывать числом ветвления b. Предположим, кроме того, что длина всех реберодинакова и равна l.
Потенциал одинаков для всех ребер (можем, для простоты,считать его нулевым). Соответственно, и время прохождения всех ребер будетодинаковым (обозначим его L). Дифференциальные операторы на подобныхдеревьях изучались, например, в работах [34] и [33].Можно рассмотреть задачу о распространении гауссовых пакетов натаком графе.Формулы, описывающие поведение пакетов в вершинах,приведены в одном из предыдущих разделов.
Будем рассматривать толькосамосопряженный случай. При этом в каждой вершине амплитуда делитсяв таком соотношении: 2/v для каждого прошедшего пакета и 2/v − 1 дляотраженного. В корневой вершине потребуем выполнения условия Дирихле.Определение. Энергией на ребре будем называть следующую величину:ZEγ j =|Ψ|2 dx.γjОчевидно, что она определяется суммой квадратов амплитуд для пакетов,носители которых попали на ребро.Легко описать изменение энергии при прохождении вершины графа.Например, для бинарного дерева (то есть, для случая b = 2) получаем, что8/9 энергии проходит, а отражается 1/9.
Суммарная энергия не меняется.Пусть начальные данные имеют вид (2.2) и сконцентрированы на ребре,инцидентном корневой вершине. Возникает вопрос: вся ли энергия “уйдет набесконечность” или будут ребра, на которых, в пределе при стремлении временик бесконечности, энергия не будет стремиться к нулю?Регулярность дерева делает задачу комбинаторной, так как всевзаимодействия происходят только в фиксированные моменты времени видаt0 + nL, где L — время прохождения ребра, а t0 — время, за которое первыйпакет достигнет вершины. Следуя В. Л. Прядиеву и [5], можно рассмотретьпространство амплитуд.
При этом на каждом ребре удобнее выделить дванаправления движения и учитывать пакеты, движущиеся в разные стороны,отдельно. Амплитуды всех пакетов на графе в момент времени вида t1 + nLописываются одним вектором. Каждому ребру соответствуют две компоненты:62движение от корня (перечисляется первой) и движение к корню (перечисляетсявторой). Порядок, в котором ребра указываются в векторе, не имеет значения,так как переход от одного варианта к другому осуществляется с помощьюлинейной замены.
Например, можно выбрать вариант, в котором ребрасчитаются по уровням, начиная от корня, а внутри каждого уровня — отправого ребра к левому. Рассматривается линейный оператор A, которыйописывает переход от текущего состояния (в момент T ) к следующему(T + L).
Такой оператор можно описать с помощью бесконечной матрицы.Рассматривается оператор B, равный квадрату A. Получаем, что эволюцияначального состояния во времени описывается с помощью применения кисходному состоянию степеней оператора B.Нужно отметить, что, согласно результатам предыдущего раздела, в любойконечный момент времени в векторе состояний будет только конечное числоненулевых компонент, если начальные данные были сконцентрированы в однойточке.Рис.
2.7. Устойчивое состояние ρ.Опишем состояние ρ, которое переходит в себя под действием оператора B.Возьмем в начальный момент времени такой вектор амплитуд: на первом ребреединицу (пакет движется к корню), на втором и третьем (то есть, на ребрахвторого уровня) по −1/2 (пакеты движутся от корня), на ребрах третьегоуровня по 1/4 (движение к корню), на ребрах четвертого уровня по −1/863(движение от корня) и так далее, так чтобы для амплитуд разных уровнейбыло выполнено соотношение ak+1 = −ak /2 и всякий раз направление движенияменялось (см. рис. 2.7). Такое состояние, после двукратного примененияоператора A, перейдет само в себя.
То есть, мы описали собственную функциюоператора B. Таким образом, получаем, что, если в качестве начальныхусловий выбрать ρ, то энергия не “уходит на бесконечность”.При начальных условиях, сосредоточенных на первом ребре, численноемоделирование показывает, что для бинарного дерева доля энергии, котораяосталась на начальном участке, стремится к 1/2. Отметим, что это значениесоответствует проекции начальных данных на вектор ρ. С увеличениемчисла ветвления доля энергии, которая остается на начальном участке графа,возрастает. При b = 3 оказывается, что остается 2/3, а b = 4 дает 3/4 (см.таблицу 1).
Можно предположить, что для произвольного числа ветвлениядоля энергии составляет (b − 1)/b.64Таблица 1.Энергия E по отношению к номеру уровня в дереве l, после 10000 шагов. Дляслучаев b = 2, b = 3 и b = 4.l12345678910111213141516171619E, b = 20,2500000,1250000,0625000,0312500,0156250,0078130,0039060,0019530,0009760,0004880,0002440,0001220,0000610,0000310,0000150,0000080,0000040,0000020,000001E, b = 30,4444440,1481480,0493830,0164610,0054870,0018290,0006100,0002030,0000680,0000230,0000080,0000030,0000010,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,000000E, b = 40,5624990,1406250,0351560,0087890,0021970,0005490,0001370,0000340,0000090,0000020,0000010,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,0000000,000000653. Квазиклассические спектральные серии квантовогооператора Шредингера, соответствующиенеизолированным положениям равновесия.Теория квазиклассического квантования (см., например, [11], [10])позволяет сопоставлять инвариантным множествам гамильтоновой системыспектральные серии соответствующего квантового оператора (см.
определениениже).На двумерной поверхности рассматривается оператор Шредингера спотенциалом, критические точки которого образуют замкнутую кривую.Введем, возможно локально, такие координаты r и ϕ на поверхности, что ϕбудет отсчитываться вдоль рассматриваемой кривой.Классическая функция Гамильтона имеет вид H = g ij pi pj + V (r), еслиgij (r, ϕ) — метрика на рассматриваемой поверхности. Ясно, что кривая0{{r, ϕ, pr , pϕ }| V (r) = 0, pr = 0, pϕ = 0} состоит из критических точекгамильтониана, то есть положений равновесия. Стандартная конструкция(см., например, [11]) для описания спектральных серий, соответствующихизолированным невырожденным положениям равновесия, неприменима в этойситуации. Асимптотические спектральные серии были найдены, исходя изих определения и руководствуясь общими принципами квазиклассическогоприближения.Оказалось, что асимптотическое mod O(h3/2 ) (такая точность являетсяобщепринятой в теории комплексного ростка) собственное значение“бесконечно вырождено”, то есть ему соответствует бесконечное множествоасимптотических собственных функций.
Именно, справедливо Утверждение10.Так как это, вообще говоря, не означает, что и точное собственное значениевырождено, то были найдены квазиклассические решения с более высокимпорядком точности, а именно до O(h5/2 ) (Теорема 3.1). Эти решения уже неявляются вырожденными. Именно повышение порядка позволило разделитьасимптотические решения, которые до этого совпадали с точностью до O(h3/2 ) .3.1.
Постановка асимптотической квантовой задачи.b (см. [7]).Рассмотрим вейлевский псевдодифференциальный оператор HНаша цель состоит в отыскании квазиклассических решений для стационарного66уравнения Шредингера.Пусть Λ — изотропное многообразие, заданное в кокасательномрасслоении к конфигурационному пространству, лежащее в множествеуровня гладкой функции H и инвариантное относительно фазового потокагамильтоновой системы с этой функцией Гамильтона.Рассмотрим∂квантовый оператор Шредингера H(x , −ih ∂x) при h→ 0 (этот параметр вквантовой механике пропорционален постоянной Планка), то есть вейлевскийпсевдодифференциальный оператор с символом H(x, p).Определение (см.
[21], [10]).Квазиклассическим решением уравненияШредингера, соответствующим инвариантному многообразию Λ, называетсяпара (ψ(x, h)∈L2 , E(h)), приближенно удовлетворяющая спектральной задаче:∂1) H x , −ihψ = Eψ + O(hM ), M > 1,∂x2) ψ(x, h) = O(1),причем функция ψ(x, h) — асимптотическая собственная функция —локализована вблизи проекции Λ на x -пространство:3) lim ψ(x, h) = 0,h→ 0x∈/ πx (Λ),а асимптотическое собственное значение удовлетворяет соотношению:4) lim E(h) = H(x, p)|Λ .h→ 0bВ соответствии с общей концепцией квантовой механики, оператор Hопределен на подходящем всюду плотном подпространстве пространстваL2 (Q, dµ) квадратично-интегрируемых функций.Детали подробнообсуждаются в статье [20] (см., также, книгу [12]). Под O(hα ), если речь идето функциях, всюду понимается оценка в норме L2 .3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
