Квазиклассические асимптотики в спектральных задачаз и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах (1103348), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Спектральные серии, соответствующиенеизолированным положениям равновесия.На двумерной поверхности рассматривается оператор Шредингера спотенциалом, критические точки которого образуют замкнутую кривую.Введем, возможно локально, такие координаты r и ϕ на поверхности, что ϕбудет отсчитываться вдоль рассматриваемой кривой.67Классическая функция Гамильтона имеет вид H = g ij pi pj + V (r), еслиgij (r, ϕ) — метрика на рассматриваемой поверхности. Соответствующийквантовый оператор Шредингера будет обычным дифференциальнымоператором второго порядка (см. формулу 3.1).Если взять pr = 0 и pϕ = 0, а r0 определить из уравнения V 0 (r) = 0, тодифференциал гамильтониана равен нулю, какое бы ϕ мы ни взяли. Такимобразом мы получаем не изолированную особую точку, а целую окружность,состоящую из особых точек.
Кратко такое множество положений равновесия0можно записать так: {{r, ϕ, pr , pϕ }| V (r) = 0, pr = 0, pϕ = 0}.Рассмотрим оператор Шредингера для этой задачи подробнее. Его символимеет вид:H = g 11 pϕ 2 + 2g 12 pϕ pr + g 22 pr 2 + V (r).∂Тогда на функцию ψ оператор H x , −ihдействует так:∂x 222h∂∂∂∂ψ=−(g 11 ψ) + g 11 2 (ψ) −H ϕ, r , −ih ∂ϕ, −ih ∂r22 ∂ϕ∂ϕ22h2 ∂ 2 22∂222 ∂21212 ∂−(g ψ) + g(ψ) − h(g ψ) + g(ψ) +2 ∂r 2∂r 2∂ϕ∂r∂ϕ∂r(3.1)+V (r)ψ.Опишем сперва квазиклассическое решение с точностью до O(h3/2 ), котораяявляется стандартной для теории комплексного ростка.Утверждение10 Если взять ψ = U (ϕ)eiS/h , где S = iλ(r − r0 )2 , λ =sV 00 (r0 ), а U (ϕ) — произвольная гладкая финитная функция, то ψ будет8g 22∂∂асимптотической собственной функцией оператора H ϕ, r , −ih , −ih∂ϕ∂rс точностью до O(h3/2 ), причем асимптотическое собственное значениеимеет видrg 22 V 00 (r0 )E = V (r0 ) +h.(3.2)80Здесь r0 — корень уравнения V (r) = 0.Доказательство.
Возьмем функцию ψ = U (ϕ)e−λ(r−r0 )позже). Для этого случая получаем (см. [21]):2/h( λ мы определим68∂H x , −ihψ = eiS(x)/h ·∂x 2ih∂ 2H∂H ∂U∂ H ∂ 2S2· HU − ih,− Sp+U + ϕ1 h ,∂p ∂x2∂p2 ∂x2 ∂p∂x(3.3)∂Sгде подставили p =, а ϕ1 ограничена константой.∂x∂HВ нашем случае= 0, так как мы рассматриваем особую точку. Матрица∂p∂ 2S∂ 2Sимеет только один ненулевой элемент. Отсюда∂x2∂r2 2∂ 2H∂ 2H ∂ 2S∂ 2H∂ 2H∂ H ∂ 2SSp+=++.∂p2 ∂x2 ∂p∂x∂pr 2 ∂r2∂ϕ∂pϕ ∂r∂prНо00Hϕp= 2pϕϕ00Hrpr∂g 11∂g 12+ 2pr,∂ϕ∂ϕ∂g 22∂g 12+ 2pr,= 2pϕ∂ϕ∂rHp00r pr = 2g 22 .После подстановки p =∂S∂x ,то есть pϕ = 0 и pr = 2iλ(r − r0 ), получаем00Hϕp= 4iλ(r − r0 )ϕ00Hrpr∂g 12,∂ϕ∂g 22.= 4iλ(r − r0 )∂r2В силу очевидной оценки: e−x /h xn = O(hn/2 ), приходим к тому, что0000слагаемые Hϕp, Hrpдадут вклад порядка O(h3/2 ) (нужно взять x = (r − r0 )).ϕrТаким образом, результат применения оператора выглядит так:V 00 (r0 )22 22222iS/h(r − r0 ) + λg h +U (ϕ)e−4g λ (r − r0 ) + V (r0 ) +2+O(h3/2 )∂ 2SV 00 (r0 )02(использовали= 2iλ, V (r0 ) = 0).
Отсюда получаем, что λ =,∂r28g 22E0 = V (r0 ), E1 = λg 22 . Утверждение доказано.Получаем, что асимптотическое собственное значение в рассматриваемомприближении бесконечно вырождено (ему соответствует бесконечно много69асимптотических собственных функций). Это, конечно, не означает, вообщеb вырожден, просто разные собственныеговоря, что точный спектр оператора Hчисла могут совпадать с точностью до O(h3/2 ).
Чтобы изучить вопрос о снятииэтого “асимптотического вырождения”, нужно построить поправки следующегопорядка. Квазиклассические решения с точностью до O(h5/2 ) описаны втеореме, которая приведена ниже.Теорема 3.1. Пусть u0 — гладкое решение уравнения второго порядка спериодическими коэффициентами:A(ϕ)u000 (ϕ) + B(ϕ)u00 (ϕ) + C(ϕ)u0 (ϕ) = E2 u0 (ϕ),где A(ϕ), B(ϕ), C(ϕ) вычисляются по явным формулам (см.
(3.20) и (3.21)ниже), и пусть при E2 = E2n существует периодическое решение (то есть, E2n— соответствующее собственное значение). Тогда квазиклассическое решениеспектральной задачи для оператора (3.1) с точностью до O(h5/2 ) имеет вид:rE = V (r0 ) +g 22 V 00 (r0 )h + E2n h28— асимптотическое собственное число (n — целое),ψ = U (ϕ, r)eiS/h— асимптотическая собственная функция.u2 (ϕ)Здесь U = u0 (ϕ) + u1 (ϕ)(r − r0 ) +(r − r0 )2 (где u1 , u2 вычисляются по (3.17)2и (3.18)), a S = i(λ(r − r0 )2 + λ1 (r − r0 )3 + λ2 (r − r0 )4 ).ПричемsV 00 (r0 )λ=,8g 22а λ1 и λ2 вычисляются по формулам (3.10).Доказательство. Будем искать приближенное решение уравнения∂∂H ϕ, r , −ih , −ihψ = Eψ∂ϕ∂r(3.4)в виде ψ=eiS/h U (ϕ, r).Для того, чтобы эта функцияудовлетворяла уравнению с точностью выше h2 , должны выполняться70выписанныездесьравенствакоэффициентовПри h0 :eiS/h g 22∂S∂rпристепеняхh.!2+ V (r) − E0=0(mod o(h2 )),(3.5)при h1 :eiS/h · 22 212∂U∂S∂U∂S∂S∂g∂g∂S+ 2g 12+ g 22 2 ++U =· 2g 22∂r ∂r∂r ∂ϕ∂r∂r∂r∂ϕ= eiS/h iE1 U(3.6)(mod o(h)),при h2 :eiS/h D2 (U ) − iE2 U = 0где(mod o(1)),2222 111∂U∂U∂U∂(gU)g 11 2 + g 22 2 + 2g 12−D2 (U ) = −+2∂ϕ∂r∂r∂ϕ∂ϕ21 ∂ 2 (g 22 U ) ∂ 2 (g 12 U )−−.2 ∂r2∂r∂ϕ(3.7)(3.8)Теперь будем последовательно выписывать решения этих трех уравнений снужной точностью.Уравнение (3.5) решается точно:Z sS=E0 − V (r)dr.g 22 (r)(3.9)Так как E0 = V0 , то разложение S имеет видi(λ(r − r0 )2 + λ1 (r − r0 )3 + λ2 (r − r0 )4 + · · ·) = i(λ(r − r0 )2 (1 + σ(r)).Будем считать, что S = i(λ(r − r0 )2 + λ1 (r − r0 )3 + λ2 (r − r0 )4 ).
Можно найтикоэффициенты λ, λ1 , λ2 . Для этого разложим V (r) до четвертого порядка, а g 22по r до второго порядка включительно.71В результате получим:000!g (r0 , ϕ) V (r0 )g 22 (r0 , ϕ)22V (r0 )−3pg 22 (r, ϕ) V 00 (r0 )√s∂∂r00V 00 (r0 )2,λ=18g 22 (r0 , ϕ)12√2 22∂2λ2 = −(g (r0 , ϕ)2 V 000 + 6 g 22 (r0 , ϕ) V 000 ( g 22 (r0 , ϕ)) V 00576∂r∂ 22∂ 2 2200 2 22− 27 ( ∂rg (r0 , ϕ))2 V 00 2.+ 18 ( ∂rg(r,ϕ))Vg (r0 , ϕ)20λ=,(3.10)− 3 V (4) g 22 (r0 , ϕ)2 V 00 ) g 22 (r0 , ϕ)5/2 V 00 3/2Переходим к уравнению, полученному приравниванием коэффициентов приh . Рассмотрим (3.6) в точке r = r0 :1g22 ∂2S− iE1 = 0.∂r2Значение для E1 , которое мы получаем из этого соотношения, совпадает стем, что выписано в (3.2).Перепишем уравнение (3.6) в виде∂U∂U+ g 12+ b(r, ϕ)U = 0,∂r∂ϕ211 ∂g 22 ∂g 12∂S++ ∂S g 22 2 − iE1 .где b(r, ϕ) =2 ∂r∂ϕ∂r2 ∂rg 22(3.11)0Второе слагаемое при r = r0 представляет собой неопределенность вида .0Раскрывая эту неопределенность, получим:1 ∂g 22 ∂g 121 V 000 22(3.12)b(r0 , ϕ) =++g2 ∂r∂ϕ6 V 00Кроме того, нам будут нужны выражения для частных производных b(r, ϕ)при r = r0 .b0ϕ (r0 ,1 ∂ 2 g 123 λ1 ∂g 22∂ 2 g 22(r0 , ϕ) +(r0 , ϕ) +(r0 , ϕ),ϕ) =∂r∂ϕ2 ∂ϕ22 λ ∂ϕ3 ∂ 2 g 221 ∂ 2 g 12λ2 22(r,ϕ)+(r,ϕ)+3g (r0 , ϕ)+ϕ) =004 ∂r22 ∂r∂ϕλλ1 3 ∂g 221 V 000 (r0 ) 22+(r0 , ϕ) −g (r0 , ϕ) .λ 2 ∂r4 V 00 (r0 )(3.13)b0r (r0 ,(3.14)72Представляя U в видеU = u0 (ϕ)+(r−r0 )u1 (ϕ)+· · · , получаем g 22 (r0 , ϕ)u1 +g 12 (r0 , ϕ)∂u0+b(r0 , ϕ)u0 =∂ϕ0.g 12 (r0 , ϕ) ∂u0b(r0 , ϕ)u0 (ϕ) − 22.Откуда u1 (ϕ) = − 22g (r0 , ϕ)g (r0 , ϕ) ∂ϕПродифференцируем (3.11) по r:g 22 (r0 , ϕ)u2 (ϕ) + g 12 (r0 , ϕ)∂u1(ϕ) + b(r0 , ϕ)u1 (ϕ)+∂ϕ∂g 22∂g 12∂u0∂b+u1 (ϕ)(r0 , ϕ) +(r0 , ϕ)(ϕ) + (r0 , ϕ)u0 (ϕ) = 0.∂r∂r∂ϕ∂r+c01 u0 ,u2 =∂c222u01 ∂u0+c+ c02 u0 и так далее.22∂ϕ∂ϕ∂ϕРассмотрим уравнение (3.7) в точке r = r0 :2221 ∂ 2 g 11 ∂ 2 g 22∂ 2 g 1222 ∂ U12 ∂ U11 ∂ U+g+ 2g−++2U−− g∂ϕ2∂r2∂r∂ϕ2 ∂ϕ2∂r2∂r∂ϕ(3.15)∂g 22 ∂U ∂g 12 ∂U ∂g 12 ∂U ∂g 11 ∂U−−−−− E2 U = 0.∂r ∂r∂r ∂ϕ∂ϕ ∂r∂ϕ ∂ϕЗаметим, что u1 =∂u0c11∂ 2U∂U(r0 , ϕ) = u1 (ϕ),(r0 , ϕ) = u2 (ϕ).U (r0 , ϕ) = u0 (ϕ),∂r∂r2Подставляя выражения для u1 и u2 через u0 , получим обыкновенноедифференциальноеуравнениевторогопорядкаспериодическимикоэффициентами на функцию u0 :A(ϕ)u000 (ϕ) + B(ϕ)u00 (ϕ) + C(ϕ)u0 (ϕ) = E2 u0 (ϕ).(3.16)Действительно, подставляяb(r0 , ϕ)g 12 (r0 , ϕ) ∂u0u1 (ϕ) = − 22u0 (ϕ) − 22g (r0 , ϕ)g (r0 , ϕ) ∂ϕ(3.17)в выражение для u2 , получим(g 12 )2 ∂ 2 u01 ∂u0u2 (ϕ) = 22 2+·(g ) ∂ϕ2g 22 ∂ϕ 12 22g∂g∂g 12g 12 ∂g 12 (g 12 )2 ∂g 22· 22++ 2b 22 −− 22 2+g∂r∂ϕg∂r(g ) ∂ϕb ∂g 22 g 12 ∂bb2∂bb g 12 ∂g 22 1+u0+ 22+−−.g 22 ∂rg ∂ϕ g 22 ∂r (g 22 )2 ∂ϕ g 22(3.18)73Кроме этого, воспользуемся тем, что2212∂u11∂g∂g∂u∂u00= − 22 2 b0ϕ g 22 u0 + b g 22−b u0 +g 22−∂ϕ(g )∂ϕ∂ϕ∂ϕ∂ϕ222112 22 ∂ u012 ∂g ∂u0−g.− 22 2 g g(g )∂ϕ2∂ϕ ∂ϕ(3.19)Таким образом,(g 12 )2 − g 11 g 221A==−,g 22g11(g 12 )2 ∂g 22g 12 ∂g 12 ∂g 11B = − 22 2+ 2 22−,(g ) ∂ϕg ∂ϕ∂ϕ1 ∂ 2 g 11 1 ∂ 2 g 121 g 12 ∂ 2 g 12 g 12 ∂ 2 g 22C=−−++ 22+2 ∂ϕ22 ∂r ∂ϕ 2 g 22 ∂ϕ2g ∂r ∂ϕ 12 2g 12 ∂g 12 3 g 12 ∂g 22 1 V 000 g 12 ∂g 22(g )+−−−−(g 22 )2 (g 22 )2 ∂ϕ2 (g 22 )2 ∂r6 V 00 g 22 ∂ϕ2000 2(4)111(V)V1 ∂g 22 V 000 1 1 ∂g 12+ 22+++ g 22 −−0024 ∂r V4g∂ϕ144 (V 00 )216 V 0021 ∂ 2 g 223 1 ∂g 22−−.8 ∂r216 g 22 ∂r(3.20)(3.21)Спектр оператора, стоящего в левой части (3.16), дискретный E2 = E2n ,n — целое (см.
[19]). Доказательство завершено.В статье [38] разобран пример применения этой конструкции в случаекоэффициентов gij , соответствующих частному случаю редуцированной (см.книгу [31] и ссылки в ней) задачи двух тел на пространстве Лобачевского.74Cписок использованных источников1. Арнольд В. И. Математические методы в классической механике.Наука , 1989, 472 C.М. :2. Боровских А. В.
О распространении волн по сети. / А. В. Боровских,А. В. Копытин // Сборник статей аспирантов и студентов математическогофакультета / Воронеж. гос. ун-т. Воронеж, 1999. С. 21–25.3. Герасименко Н. И. Задача рассеяния на некомпактных графах. / Н. И.Герасименко, Б. С. Павлов // Теоретическая и математическая физика, том74, №3, 1988. С. 345–359.4.
ГлотовН. В. Описание решений волнового уравнения на конечноми ограниченном геометрическом графе при условии трансмиссии типа“жидкого” трения. / Н. В. Глотов, В. Л. Прядиев // Вестник Воронеж. гос.ун-та. Сер. Физика. Математика. 2006. №2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
