Квазиклассические асимптотики в спектральных задачаз и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах (1103348), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Будем, для простоты, рассматривать граф, в которомтолько 3 ребра (v = 3). Выкладки в произвольном случае аналогичны.Увеличение числа квантовых пакетов возможно только в вершинах графа. Всоответствии с результатами, изложенными в первой части главы, в вершинахстепени 1 (там, где задано условие Дирихле) количество квантовых пакетовувеличиваться не может. Нам осталось выяснить, что может происходить ввершине степени 3.По теореме Коши (о единственности решения дифференциального уравненияна каждом из ребер) из вершины в каждый фиксированный момент времени не55может выходить (и в нее входить) больше трех квантовых пакетов. Такимобразом, их количество может а) увеличиваться на 2 (когда приходит одинпакет), б) увеличиваться на 1 (когда приходят 2 пакета по двум разным ребрам)и в) не меняться (когда по всем трем ребрам приходят квантовые пакеты).Вариант а) реализуется в моменты времени, кратные удвоенному временипрохождения каждого из ребер.h i Тоh есть,i h общийi вклад в увеличение числаквантовых пакетов равен 2 2tT1 + 2tT2 + 2tT3 .Воспользуемсятем, что [x] = x−{x} и второе слагаемое есть o(x).
Получаемвыражение tT1 + tT2 + tT3 + o(T ).Теперь рассмотрим вариант б). Возможны три варианта выбора двух ребериз трех. Возьмем первое и второе.Квантовым пакетам на графе, будем сопоставлять строки вида(i1 , i2 , . . . , im ), где im может равняться единице, двойке или тройке.Аименно, если квантовый пакет сначала прошел туда и обратно по первомуребру, то на первое место ставим 1, а если по второму, то 2, и так далее.Ясно, что в любой момент времени каждый квантовый пакет можно описатьтакой строкой. Кроме того, если опустить начальный участок времени (когдаквантовый пакет из начальной точки еще не пришел в первую вершину), каждойстроке будет соответствовать квантовый пакет (для рассматриваемого графа).Нужно отметить, что строка не описывает, какие пакеты, взаимодействуя (поправилам, описанным в первой части этой главы), привели к образованиюданного квантового пакета.Для описания ситуации б) нам достаточно рассматривать только строки,у которых среди компонент есть только единицы и двойки.
Действительно,если в вершину пришел пакет (для определенности, по первому ребру), то емусоответствует строка вида (i1 , i2 , ..., 1). Если квантовый пакет ко времени Tпрошел по всем трем ребрам, то найдутся еще два пакета, которые придутв эту же вершину по двум другим ребрам в тот же момент времени (иизменения количества квантовых пакетов не произойдет). Действительно,можно предъявить еще две строки, у которых будет та же сумма компонент, ана последнем месте будет находиться двойка или тройка.Покажем, что увеличение числа квантовых пакетов происходит в моментывремени, соответствующие точкам c натуральными координатами, которыепопали внутрь прямоугольного треугольника со сторонами 2tT1 и 2tT2 .Нам нужно подсчитать количество событий (обозначим их множествочерез A), состоящих в том, что в вершину одновременно пришли два56квантовых пакета.
Выберем подмножество (назовем его B) множества строк,которое соответствует интересующим нас событиям, а потом подсчитаем числоэлементов в нем.Одновременный приход в вершину двух квантовых пакетов по разнымребрам можно описать с помощью двух строк с одинаковой суммой компонент,но с разной последней координатой. Условимся сопоставлять этому событиютолько строки, у которых на последнем месте стоит двойка. Такие строкивсегда имеются, так как отсутствие двойки среди компонент означает, чтоквантовый пакет не проходил по второму ребру, а такое невозможно прирассмотрении ситуации б). Как именно расположены остальные координаты(при заданной сумме), не важно, и мы будем рассматривать строки, у которыхединицы стоят на первых местах.Объясним, почему соответствие между элементами множеств A и B являетсявзаимно однозначным.
С одной стороны, любому событию отвечает неболее одной строки указанного вида. Если предположить противное, то мыполучим, что данное T имеет два разных представления вида T = n2t1 + m2t2(по такой записи сразу можно выписать строку нужного вида), а это нетак, в силу того, что t1 и t2 линейно независимы над Q.
Мы доказалиинъективность. Сюръективность следует из того, что каждой строке измножества B соответствует момент времени T (по уже приведенной формуле),в который в вершине встретятся два квантовых пакета, пришедшие по разнымребрам.Мы получили строки вида (1, . . . , 1, 2, . . . , 2). Им можно взаимно однозначносопоставить линейные комбинации вида n2t1 + m2t2 , где n и m — натуральные.Если задано временное ограничение T , мы получаем условие: 2nt1 +2mt2 ≤T .
Решения такого неравенства соответствуют точкам c натуральнымикоординатами, которые попали внутрь прямоугольного треугольника состоронами 2tT1 и 2tT2 . Количество точек в треугольнике, с точностью до o(T 2 ),2равно его площади, то есть выражению 21 4tT1 t2 (в произвольном случае, мыполучаем объем k-мерного симплекса).Осталось просуммировать количество по вариантам выбора двух ребер иполучить симметрический многочлен второй степени от частот, умноженныйна T 2 , с коэффициентом 1/8.Нам нужен только старший член асимптотики, поэтому мы учитываемтолько слагаемое, имеющее порядок T 2 .57Рис. 2.4.
Три ребра сходятся в одной точке.Замечание.Для случая трех ребер можно, используя результаты,изложенные в [28], написать более точную формулу (выписать явно и второйчлен асимптотики), а именно:11N (T ) = σ2 (ω1 , ω2 , ω3 )T 2 + σ1 (ω1 , ω2 , ω3 )T + o(T ).82(2.47)Теорема 2.2.В случае произвольного графа функция N (T )представляется в виде CT v−1 + o(T v−1 ). Здесь v — число ребер в графе.Доказательство. Изменение числа квантовых пакетов возможно тольков местах соединения ребер графа. Поведение в вершинах исследовано вУтверждении 8, где показано, что старший член асимптотики имеет степеньне выше v − 1. Когда k пакетов приходит в вершину валентности v, топоявляется v −k новых пакетов. Число таких событий определяется линейнымикомбинациями времен прохождения ребер графа. Так как времена прохождениянесоизмеримы над Q, то наибольший вклад дают линейные комбинации, вкоторых число слагаемых на единицу меньше числа ребер в графе.Замечание.
Коэффициент при старшей степени может быть не равенсумме коэффициентов, соответствующих вершинам максимальной степени,если рассматривать их как вершины звездного графа. Например, справедливоследующее утверждение.Утверждение 9 Для графа, который состоит из двух вершин, соединенныхv ребрами, справедливы формулы:N (T ) =v−1Pk(v − k)k=1CvPi=1W (4ik (ω1 T, . . . , ωk T )),(2.48)58N (T ) =1σv−1 (ω1 , . . .
, ωv )T v−1 + o(T v−1 ).(v − 1)!(2.49)Рис. 2.5. Граф с кратными ребрами, v = 3.Доказательство, в целом, повторяет доказательство Утверждения 8.Отличие состоит в том, что увеличение числа квантовых пакетов происходитне только тогда, когда выбранный квантовый пакет вернется в центральнуювершину (пройдя ребро дважды), но и в другой вершине, после однократногопрохождения ребра. Таким образом, для подсчета старшего члена асимптотикинам нужно учесть, сколько точек с целыми положительными координатамиудовлетворяет неравенству xt1 +yt2 < T (это “вклад” первых двух ребер, потомнужно будет рассмотреть и два других варианта).Замечание.
Если граф имеет сложную структуру, то задача выписыванияформулы для старшего члена асимптотики становится значительно болеетрудоемкой. В каждом конкретном случае нужен перебор по всем подграфамдеревьям, в которых вершина максимальной валентности имеет степень наединицу меньше, чем в исходном графе. При этом, кроме вклада, которыйдает рассмотрение этой вершины как звездной (см. Утверждение 8), нужноучитывать количество квантовых пакетов, которые она “передает” другимвершинам максимальной валентности.
А именно, при рассмотрении условийвида q1 l1 + · · · + qs ls ≤T (см. доказательства Утверждений 8 и 2.3), где li —времена прохождения составных ребер, qi натуральные, нужно учитывать нетолько четные qi (как в случае звездного графа), если ребро соединяет двевершины максимальной степени. Таким образом, на главный член асимптотикивлияют 1) время прохождения каждого из ребер на графе, 2) топологическаяструктура подграфа, связывающего вершины максимальной валентности.592.3.2. Плотность распределения пакетов.Теорема 2.3.Рассмотрим граф, упомянутый в Утверждении 9, дляслучая v = 3 (он состоит из двух вершин a и b, соединенных тремя ребрами).Рассмотрим на одном из ребер отрезок cd, время прохождения которого равно τ .Тогда, для почти всех t1 , t2 , t3 (см.
[32]), отношение числа квантовых пакетов наэтом отрезке к числу квантовых пакетов на всем графе стремится к выражениюNcd (T )σ3ω1 ω 2 ω31→ τ≡τ≡τ.N (T )σ2ω1 ω2 + ω1 ω3 + ω2 ω 3t1 + t2 + t3(2.50)Рис. 2.6. Граф и выделенный отрезок cd на нем.Замечание.Мы получаем, что квантовые пакеты распределяются(при заданном потенциале и начальных условиях) равномерно по временипрохождения ребра.
Очевидно, что это не означает, что пакеты распределяютсяравномерно по пространственной координате.Доказательство. Число точек на отрезке cd в момент времени T (обозначимего Ncd (T )) можно представить в видеNcd (T ) = N→c (T ) − N→c (T − τ ) + N→d (T ) − N→d (T − τ ).(2.51)N→c (T ) обозначает количество квантовых пакетов, которое прошло черезточку c от вершины a. Пусть время прохождения отрезка ac равно T1 .Покажем, чтоN→c (T ) =1ω1 ω2 ω3 (T − T1 )3 + y(ω1 , ω2 , ω3 , T1 )(T − T1 )2 + o(T 2 ).12(2.52)Как именно выглядит функция y(ω1 , ω2 , ω3 , T1 ), не имеет для нас значения.60Обратим внимание на то, что N→c (T ) равно числу квантовых пакетов,которые вышли из вершины a по выбранному ребру в момент времени T − T1 .Чаще всего из вершины a квантовые пакеты выходят в момент, когда в этувершину по всем трем ребрам пришли квазифотоны (и тогда изменение ихколичества не происходит).
Подсчитаем количество таких ситуаций.Квантовые пакеты, которые вышли из вершины a, прошли по всем тремребрам и вернулись снова в эту вершину, описываются (см. доказательствоУтверждения 8) неравенствами:2t1 x + 2t2 y + 2t3 z≤T,(2x + 1)t1 + (2y + 1)t2 + 2zt3 ≤T,(2x + 1)t1 + yt2 + (2z + 1)t3 ≤T,2xt1 + (2y + 1)t2 + (2z + 1)t3 ≤T .T3Каждое из эти неравенств дает вклад 3!1 2t1 2t+ yj (t1 , t2 , t3 )T 2 + o(T 2 ) =2 2t3132248 ω1 ω2 ω3 T + yj (t1 , t2 , t3 )T + o(T ).Здесь мы учли тот факт, что для почти всех t1 , t2 , t3 количество целых точек,которые попали в симплекс со сторонами t1 T , t2 T , t3 T можно записать в видеt1 t2 t3 T 3 /6 + y(t1 , t2 , t3 )T 2 + o(T 2 ) (см.
[32] и ссылки там).Итого, мы получаем, что по первому ребру уходит из вершины a в сторону41точки c: 48ω1 ω2 ω3 T 3 + y( t1 , t2 , t3 )T 2 + o(T 2 ) = 12ω1 ω2 ω3 T 3 + y( t1 , t2 , t3 )T 2 + o(T 2 ).Мы доказали формулу (2.52). Подставляя ее в формулу (2.51), получим(пусть отрезок cd взят, для определенности, на первом ребре):1ω1 ω2 ω3 ·12·((T − T1 )3 − (T − T1 − τ )3 + (T + T1 + τ − t1 )3 − (T + T1 − t1 )3 )++yc (ω1 , ω2 , ω3 , T1 )((T − T1 )2 − (T − T1 − τ )2 )++yd (ω1 , ω2 , ω3 , T1 )((T + T1 + τ − t1 )2 − (T + T1 − t1 )2 ) + o(T 2 ).Ncd (T ) =(2.53)Получим, после очевидных сокращений:1Ncd (T ) = τ T 2 ω1 ω2 ω3 + o(T 2 ).2Осталось только разделить это выражение на общее число квантовыхпакетов на всем графе (полученное в Утверждении 9).Замечание. Условием, которое гарантирует, что для данного набораt1 , t2 , t3 второй член асимптотики будет иметь нужный нам вид, является то,что этот набор плохо приближается рациональными числами.Было проведено численное моделирование для конечных графов.Эксперимент подтвердил правильность теоретических выкладок.612.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
