Квазиклассические асимптотики в спектральных задачаз и эволюционных уравнениях на сингулярных множествах (1103348), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Дан звездный граф, причем валентность единственнойвершины a равна n. Пусть начальные данные имеют вид (2.2), где точка x0лежит на одном из ребер. Тогда решение задачи∂ψ(x, t)b+ O(h3/2 )Hψ(x,t) = ih∂tпредставляет собой, в любой конечный момент времени,сумму конечного jiS (x,t)ϕj (t), где S j =числа квантовых пакетов, то есть функций вида exphS0j (t) + (x − xj (t))S1j + S2j (x − xj (t))2 , Im S2j > 0. Говоря точнее, пришедшийв вершину a пакет разделяется на n пакетов, бегущих по инцидентнымвершине ребрам. На каждом из ребер решение определяется гамильтоновойсистемой обыкновенных дифференциальных уравнений (2.7) и ее линеаризацией(2.8). Причем начальные значения для амплитуд определяются следующимиформулами.Для отраженного квантового пакета:α1 − α2 − · · · − αn (1,1)ϕ (β).α1 + α2 + · · · + αn 0Для прошедших квантовых пакетов:(1,2)ϕ0(β) =(k,1)ϕ0где k = 2, .
. . , n.(β) =2α1(1,1)ϕ0 (β),α1 + α2 + · · · + αn(4)(5)13Здесь β — момент времени, когда исходный пакет пришел в точку a.b является самосопряженным,Если стоящий в левой части оператор Hто это решение отличается от точного решения нестационарного уравненияШредингера не более, чем на O(h1/2 ).Таким образом, квазиклассическое решение задачи Коши в любой конечныймомент времени будет представлять собой конечное количество гауссовыхпакетов, движущихся на геометрическом графе.Замечание. Случай α1 + α2 + · · · + αn = 0 отвечает несамосопряженномуоператору и не имеет физического смысла. В статье [8] доказано, что спектрсоответствующего оператора заполняет всю комплексную плоскость.Нужно отметить схожесть выражений (2.42) и (2.43) и формул, полученныхдля случая гиперболического уравнения в [14].Третья часть второй главы (2.3) посвящена статистике распространениягауссовых пакетов.Как было доказано в предыдущем разделе, квазиклассическое решениезадачи Коши для нестационарного уравнения Шредингера с начальнымиусловиями вида (2.2), имеет вид Ψ(x, t) + O(h1/2 ), где Ψ(x, t) — конечнаясумма гауссовых пакетов.
В этом разделе рассматривается асимптотикафункции Ψ(x, t) при t→∞, а именно изучается, как меняется со временем числоквантовых пакетов. Заметим, что эта задача отличается от задачи описанияасимптотики решения уравнения Шредингера при t→∞, так как оценка остаткасправедлива только на конечных временах. С физической точки зрения этоозначает, что мы рассматриваем времена больши́е, но много меньшие, чем 1/h.В этой части изучаются только конечные графы с компактными ребрами.Условия трансмиссии в вершинах берутся такими, чтобы оператор Шредингерабыл самосопряженным (см.
[36]). В этом случае из формул (2.42) и (2.43)следует, что в вершинах степени 2 число квантовых пакетов не меняется (таккак у отраженного квантового пакета нулевая амплитуда). Графы, в которыхнет вершин степени 2, будем, следуя [30], называть чистыми. До конца третьейчасти рассматриваются только такие графы.Кроме того, из формул (2.42) и (2.43) следует, что если квантовый пакетпроходит вершину степени v, то при этом образуется ровно v новых квантовыхпакетов.Далее вводится величина tj — время прохождения квантовым пакетомj-го ребра.Во второй части главы показано, что время прохожденияопределяется решениями гамильтоновой системы, при данных начальных14условиях.
Предполагаем, что tj линейно независимы над полем Q (ситуацияобщего положения).В третьей главе используются некоторые теоретико-числовые утверждения,связанные с подсчетом количества точек с целыми координатами, которыепопадают в расширяющийся полиэдр. Результаты в этой области существеннозависят от того, рациональны или нет координаты вершин полиэдра. Крациональному случаю относятся результаты, связанные с полиномами (иквазиполиномами) Эрхарта (см. [26]) и обобщающие теорему Пика. Работав этой области активно ведется в настоящее время (см. статью [23] иссылки в ней).
Результаты, относящиеся к случаю иррациональных координат,восходят к работе Харди и Литтлвуда [28], где разобран случай прямоугольноготреугольника на плоскости. Ссылки, относящиеся к современному состояниюисследований в этой области, можно найти в [32] и [35].Параграф 2.3.1 посвящен асимптотике числа квантовых пакетов сувеличением времени.Определяем функцию N (T ) как число квантовых пакетов на графе к моментувремени T .Пусть ωj — это частота прохождения j-го ребра, то есть ωj = 1/tj .Утверждение 8. Для звездного графа (состоящего из одной вершинывалентности v и v вершин степени 1, которые соединены с первой) справедливаформулаN (T ) =v−1Xk=1k(v − k)CvXW (4ik (ω1 T /2, .
. . , ωk T /2)),i=1здесь W (4ik ) — это число точек целочисленной решетки, которые лежат на i-ойграни k-мерного симплекса 4k , со сторонами ω1 T /2, . . . , ωk T /2.Учитываются только грани старшей размерности, инцидентные началукоординат.Для почти всех значений t1 , . . . , tv :1σv−1 (ω1 , . . . , ωv )T v−1 + o(T v−1 ).v−12 (v − 1)!Здесь σk — стандартный симметрический многочлен степени k.Отметим, что для случая трех ребер можно, используя результаты,изложенные в [28], явно выписать и второй член асимптотики, а именно:N (T ) =11N (T ) = σ2 (ω1 , ω2 , ω3 )T 2 + σ1 (ω1 , ω2 , ω3 )T + o(T ).8215Общую ситуацию описываетТеорема 2.2.
В случае произвольного графа функция N (T ) представляетсяв виде CT v−1 + o(T v−1 ). Здесь v — число ребер в графе.Нужно отметить, что коэффициент при старшей степени может бытьне равен сумме коэффициентов, соответствующих вершинам максимальнойстепени, если рассматривать их как вершины звездного графа.
Например,справедливо следующееУтверждение 9.Для графа, который состоит из двух вершин,соединенных v ребрами, справедливы формулыN (T ) =v−1Xk=1N (T ) =k(v − k)CvXW (4ik (ω1 T, . . . , ωk T )),i=11σv−1 (ω1 , . . . , ωv )T v−1 + o(T v−1 ).(v − 1)!Заметим, что если граф имеет сложную структуру, то задача выписыванияформулы для старшего члена асимптотики становится значительно болеетрудоемкой. В каждом конкретном случае нужен перебор по всем подграфамдеревьям, в которых вершина максимальной валентности имеет степень наединицу меньше, чем в исходном графе. При этом, кроме вклада, которыйдает рассмотрение этой вершины как звездной (см.
Утверждение 8), нужноучитывать количество квантовых пакетов, которые она “передает” другимвершинам максимальной валентности. Таким образом, на главный членасимптотики влияют: 1) время прохождения каждого из ребер в графе и 2)топологическая структура подграфа, связывающего вершины максимальнойвалентности.В следующем параграфе (2.3.2) ставится вопрос о том, как можно описатьраспределение квантовых пакетов на геометрическом графе. Справедливоследующее утверждение:Теорема 2.3.
Рассмотрим граф, упомянутый в Утверждении 9, для случаяv = 3 (он состоит из двух вершин a и b, соединенных 3 ребрами). Рассмотримна одном из ребер отрезок cd, время прохождения которого равно τ . Тогда,для почти всех t1 , t2 , t3 (см. [32]), отношение числа квантовых пакетов на этомотрезке к числу квантовых пакетов на всем графе стремится к выражениюNcd (T )σ3ω1 ω 2 ω31→ τ≡τ≡τ.N (T )σ2ω1 ω2 + ω1 ω3 + ω2 ω 3t1 + t2 + t316Получается, что квантовые пакеты распределяются (при заданномпотенциале и начальных условиях) равномерно по времени прохождения ребра.Очевидно, что это не означает, что пакеты распределяются равномерно попространственной координате.Было проведено численное моделирование для конечных сетей.Дляупомянутых графов значение старшего коэффициента асимптотики совпало сполученным теоретически.Последняя часть второй главы (2.4) посвящена распространению гауссовыхпакетов на однородном дереве.Рассматривается бесконечное дерево, у которого валентность всех вершин,кроме корневой, одинакова и равна v.
Число, на единицу меньшее валентности,называем числом ветвления b. Предполагаем, кроме того, что длина всех реберодинакова и равна l. Потенциал одинаков для всех ребер (можем, для простоты,считать его нулевым). Соответственно, и время прохождения всех ребер будетодинаковым (обозначим его L). Дифференциальные операторы на подобныхдеревьях изучались, например, в работах [34] и [33].Можно рассмотреть задачу о распространении гауссовых пакетов на такомграфе. Формулы, описывающие поведение пакетов в вершинах, приведеныв одном из предыдущих разделов. Рассматриваем только самосопряженныйслучай. При этом в каждой вершине амплитуда делится в таком соотношении:2/v для каждого прошедшего пакета и 2/v − 1 для отраженного.
В корневойвершине требуем выполнения условия Дирихле.Определение. Энергией на ребре называем следующую величину:ZE γj =|Ψ|2 dx.γjОчевидно, что она определяется суммой квадратов амплитуд для пакетов,носители которых попали на ребро.Легко описать изменение энергии при прохождении вершины графа.Например, для бинарного дерева (то есть, для случая b = 2) получаем, что8/9 энергии проходит, а отражается 1/9. Суммарная энергия не меняется.Пусть начальные данные имеют вид (2.2) и сконцентрированы на ребре,инцидентном корневой вершине.
Возникает вопрос: вся ли энергия “уйдет набесконечность” или будут ребра, на которых, в пределе при стремлении временик бесконечности, энергия не будет стремиться к нулю?17Регулярность дерева делает задачу комбинаторной, так как всевзаимодействия происходят только в фиксированные моменты временивида t0 + nL, где L — время прохождения ребра, а t0 — время, за котороепервый пакет достигнет вершины.В разделе 2.4 явно указан вид состояния ρ, которое переходит в себя черезвремя равное 2L.Численное моделирование показывает, что для бинарного дерева доляэнергии, которая осталась на начальном участке, стремится к 1/2.
Отметим,что это значение соответствует проекции начальных данных на вектор ρ. Сувеличением числа ветвления доля энергии, которая остается на начальномучастке графа, возрастает. При b = 3 оказывается, что остается 2/3, а b = 4дает 3/4 (см. таблицу 1). Можно предположить, что для произвольного числаветвления доля энергии составляет (b − 1)/b.Третья глава посвящена квазиклассическим спектральным сериямквантового оператора Шредингера, соответствующим неизолированнымположениям равновесия.Теория квазиклассического квантования (см., например, [11], [10])позволяет сопоставлять инвариантным множествам гамильтоновой системыспектральные серии соответствующего квантового оператора.
В параграфе 3.1описана постановка асимптотической квантовой задачи.На двумерной поверхности рассматривается оператор Шредингера спотенциалом, критические точки которого образуют замкнутую кривую.Введем, возможно локально, такие координаты r и ϕ на поверхности, что ϕбудет отсчитываться вдоль рассматриваемой кривой.Классическая функция Гамильтона имеет вид H = g ij pi pj + V (r), еслиgij (r, ϕ) — метрика на рассматриваемой поверхности. Ясно, что кривая0{{r, ϕ, pr , pϕ }| V (r) = 0, pr = 0, pϕ = 0} состоит из критических точекгамильтониана, то есть положений равновесия.Стандартная конструкция (см., например, [11]) для описания спектральныхсерий, соответствующих изолированным невырожденным положениямравновесия, неприменима в этой ситуации.Третья глава диссертациипосвящена построению спектральных серий в рассматриваемом случае.Оказывается, что асимптотическое mod O(h3/2 ) (такая точность являетсяобщепринятой в теории комплексного ростка) собственное значение“бесконечно вырождено”, то есть ему соответствует бесконечное множествоасимптотических собственных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
