Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для каждого знака потенциала все неособые ограниченные орбиты замкнуты (т.е. на всейповерхности без полюсов потенциал является замыкающим, полулокально и локально замыкающим, но не слабо и не сильно замыкающим).Длина каждой замкнутой геодезической, образованной двумя меридианами, равна µL/2, а при µ ∈ Q ∩ R>0 все остальные геодезическиезамкнуты и проходят через экватор, причем все геодезические кромеэкватора и меридианов имеют одну и ту же длину qL, где L — длинаэкватора, µ/2 =: q/p — несократимая дробь.
Эти грушевидные поверхности являются примерами поверхностей Таннери [29, теорема 4.13 иприложение А], т.е. поверхностей вращения, на которых все геодезические замкнуты. При µ = 2 получаем примеры поверхностей Цолля [29,следствие 4.16], т.е.
поверхностей, на которых все геодезические имеютодну и ту же длину.При приближении точки (c, d) ∈ Ω1 к лучу `1 дополнительная половинка “исчезает” (вырождается в экватор), а основная превращается впроколотую полусферу (при µ = 1) или в локально изометричную ей поверхность (при произвольном µ > 0). Максимальное аналитическое про44должение полусферы — сфера — сходна с грушевидными поверхностями,с одним лишь отличием — она симметрична относительно экватора. Таккак осцилляторный потенциал равен θ−2 , он имеет особенность на экваторе сферы (т.е.
при θ = 0), а потому не продолжим на всю сферу.Гравитационный потенциал на “основной” полусфере равен θ, а его аналитическое продолжение на сферу (как и для осцилляторного потенциала на грушевидных поверхностях) является замыкающим, полулокальнои локально замыкающим, но не слабо и не сильно замыкающим.При приближении точки (c, d) ∈ Ω4 к дуге `3 экватор бесконечноудлиняется и отдаляется от полюсов (“превращается в абсолют”), в результате чего половинки “отделяются друг от друга”, и грушевидная поверхность распадается на две полубесконечные поверхности (см. (C) ниже).(B) При (c, d) ∈ Ω2 поверхность связна (т.е.
состоит из одной лишь половинки — основной) и полубесконечна, т.е. r и f возрастают (как функции друг от друга), причем имеются полюс (inf r > −∞, inf f = 0) и“абсолют” (sup r = sup f = +∞). Тем самым, каждая точка находитсяна конечном расстоянии от полюса и может быть бесконечно удаленаот него. В полюсе поверхность имеет коническую особенность с полнымуглом 2π/µ. Все геодезические с K 6= 0 незамкнуты, имеют бесконечнуюдлину (в обе стороны).(C) При (c, d) ∈ Ω3 ∪ `3 поверхность состоит из двух связных компонент — основной и дополнительной, причем каждая компонента полубесконечна (см.
выше), и компоненты друг другу не изометричны (ине подобны), даже локально. В полюсах поверхность имеет коническиеособенности с разными полными углами (равными 2π/µ и ∞ в основноми дополнительном полюсах соответственно). Все геодезические с K 6= 0имеют бесконечную длину.При приближении точки (c, d) ∈ Ω3 к лучу `2 дополнительная компонента “исчезает”, а основная превращается в проколотую плоскостьЛобачевского (при µ = 1) или в локально изометричную ей поверхность(при любом µ > 0).452.22.2.1Доказательство основных утвержденийВспомогательные утвержденияОбобщенным семейством уравнений Бертрана назовем однопараметриd2 z1ческое семейство дифференциальных уравнений dϕ2 + ρ(z) = K 2 Ψ(z) наинтервале (a, b) ⊂ R1 с параметром K ∈ R \ {0}, где Ψ(z) и ρ(z) — функции класса C ∞ , определенные на интервале (a, b). Следующее определение аналогично определению 1.12.Определение 2.11.
Функцию Ψ = Ψ(z) на интервале (a, b) будем называть замыкающей для функции ρ = ρ(z) (или ρ-замыкающей), если(∃) существует значение параметра K = K̂ ∈ R \ {0}, при которомуравнение имеет ограниченное непостоянное решение ẑ = ẑ(ϕ);(∀) все ограниченные непостоянные решения z = z(ϕ) уравнения со всевозможными значениями параметра K являются периодическимифункциями с попарно соизмеримыми периодами.Функцию Ψ(z) будем называть локально замыкающей для функции ρ(z)(или локально ρ-замыкающей), если(∃)loc существует значение параметра K = K0 , при котором уравнениеимеет невырожденное устойчивое положение равновесия z0 ∈ (a, b);(∀)loc для любой пары (K0 , z0 ) ∈ (R \ {0}) × (a, b), удовлетворяющей условию (∃)loc , существуют ε, δ > 0, такие что все ограниченные непостоянные решения z = z(ϕ) уравнений со значениями параметраK ∈ (K0 − δ, K0 + δ), такие что z(R1 ) ⊆ [z0 − ε, z0 + ε], являютсяпериодическими функциями с попарно соизмеримыми периодами.Функцию Ψ(z) будем называть полулокально замыкающей для функцииρ(z) (или полулокально ρ-замыкающей), если выполнены условия (∃),(∀)loc и следующее условие:(∀)s−loc все ограниченные непостоянные решения z = z(ϕ) уравнения приK = K̂, такие что z(R1 ) ⊆ ẑ(R1 ), являются периодическими функциями с попарно соизмеримыми периодами, где K̂ и ẑ = ẑ(ϕ) –значение параметра и решение из (∃).46Функцию Ψ(z) назовем сильно (соответственно слабо) ρ-замыкающей,если любая точка z0 ∈ (a, b) является невырожденным устойчивым (соответственно устойчивым) положением равновесия уравнения при некотором K = K0 , зависящем от z0 , и выполнено условие (∀)loc (соответственно его аналог для всякой пары (K0 , z0 ) ∈ (R \ {0}) × (a, b), такойчто z0 — устойчивое положение равновесия уравнения при K = K0 ).Эти определения не зря имеют названия, схожие с терминами из определения 1.12.
Как будет видно из дальнейшего, существование замыкающих функций тесно связано с существованием замыкающих потенциалов, на чем и будет основано доказательство обобщений теоремы Бертрана.Доказательства теорем 2.1, 2.3, 2.7 основаны на следующем обобщении технической теоремы 1.2 Бертрана, принадлежащей О.А. Загрядскому, путем замен z(r) − ζ = −Θ(r) = −µ2 θ(r), где Θ0 (r) = 1/f 2 (r),ρ(z(r)) = f 0 (r)/f (r), Ψ(z) = f 2 (r)V 0 (r) = −dV (r(z))/dz, D = µ8 d. Мытакже будем использовать хорошо известные предложения 2.13 и 2.14.Теорема 2.12.
(Обобщенная техническая теорема Бертрана)Рассмотрим однопараметрическое семейство дифференциальных урав1d2 z1с параметромнений dϕ2 + ρ(z) = K 2 Ψ(z) на интервале (a, b) ⊂ R∞K ∈ R\{0}, где Ψ = Ψ(z) и ρ = ρ(z) — функции класса C , определенныена интервале (a, b). Если Ψ является полулокально ρ-замыкающей (илиρ-замыкающей или сильно или слабо ρ-замыкающей), то она являетсялокально ρ-замыкающей.Пусть функция ρ не имеет нулей на интервале (a, b). Тогда в интервале (a, b) классы замыкающих, полулокально замыкающих, локальнозамыкающих, сильно замыкающих и слабо замыкающих для ρ функцийΨ совпадают, причем существует не более двух замыкающих функцийΨ(z) с точностью до положительной мультипликативной константыи эти функции определяются следующими условиями:(a) если ρ0 |(a,b) = const > 0, то существуют ровно две (с точностьюдо положительной мультипликативной константы) ρ−замыкающие2функции Ψ на (a, b), а именно Ψi (z) = Ai /ρi −1 (z), i = 1, 2 (т.е.
функции, отвечающие обобщенному гравитационному и осцилляторному законам сил на соответствующей поверхности вращения), где Ai 6= 0— произвольная мультипликативная константа, такая что Ai ρi (z) >0, причем минимальный положительныйлюбого ограниченного√ период0непостоянного решения равен Φi = 2π/(i ρ );474+D(b) если ρ|(a,b) является рациональной функцией вида ρ(z) = (z−ζ),µ2 (z−ζ)3где D = const 6= 0, µ = const > 0, ζ = const ∈/ (a, b), то существуетединственная (с точностью до положительной мультипликативнойAконстанты) ρ−замыкающая функция на (a, b) : Ψ(z) = Ψ2 (z) = (z−ζ)3(т.е.
отвечающая осцилляторному закону сил на соответствующейповерхности вращения), где A 6= 0 — произвольная мультипликативная константа, такая что A((z − ζ)4 + D) > 0, причем минимальныйположительный период любого ограниченного непостоянного решенияравен Φ = πµ;(c) если ρ(z) не имеет ни одного из указанных выше видов, то несуществует ρ−замыкающих функций на (a, b).В случаях (a) и (b) каждая точка z ∈ (a, b) является невырожденным устойчивым положением равновесия уравненияпри K = Ki :=qp2A± Ai /ρi (z), i = 1, 2 (в случае (a)) и K = ±µ (z−ζ)4 +D (в случае (b)),а при других значениях параметра K не является положением равновесия.Отметим, что в теореме 2.12 (в отличие от теоремы 1.2) не требуетсяаналитичность функций Ψi (z) и ρ(z), а постоянная µ > 0 не обязана бытьрациональной (поскольку в ней не требуется, чтобы все периоды былисоизмеримы с 2π, а требуется лишь попарная соизмеримость периодов,как в замечании 1.4).Доказательство этой теоремы использует следующие достаточно известные утверждения, доказательства которых даны, например, в [34,§4, предложения 2 и 3].Предложение 2.13 (см.
[34, §4, предложение 2]). Пусть a < a0 < b0 < bи E 0 ∈ R. Тогда следующие условия равносильны:00(a) существует ограниченное решение z(ϕ) уравнения zϕϕ= −U 0 (z)0101с уровнем энергии E, такое что a = inf z(R ), b = sup z(R );(b) U (a0 ) = U (b0 ) = E 0 и U |(a0 ,b0 ) < E 0 .Если ẑ ∈ {a0 , b0 } и выполнено условие (a), то соотношения U 0 (ẑ) 6= 0и ẑ ∈ z(R1 ) равносильны.Предложение 2.14 (см.
[34, §4, предложение 3]). Пусть a < a0 < b0 < b,U (a0 ) = U (b0 ) = E 0 , U |(a0 ,b0 ) < E 0 , E0 := min U |[a0 ,b0 ] . Тогда следующиеусловия равносильны:48(a) для любого E ∈ (E0 , E 0 ] любое ограниченное решение zE (ϕ) урав00нения zϕϕ= −U 0 (z) с уровнем энергии E, такое что zE (0) ∈ (a0 , b0 ),периодично;(b) существует отрезок [c1 , c2 ] ⊂ (a0 , b0 ), такой что U 0 |[a0 ,c1 ) < 0,0U |[c1 ,c2 ] = 0 и U 0 |(c2 ,b0 ] > 0.При выполнении этих условий минимальный положительный период решения zE (ϕ) равенZ z2 (E)dzp,Φ(E) = 22E − 2U (z)z1 (E)где значения z1 = z1 (E) ∈ [a0 , c1 ) и z2 = z2 (E) ∈ (c2 , b0 ] определены условиями U (z1 ) = U (z2 ) = E. Функция Φ = Φ(E) непрерывна на полуинтервале (E0 , E 0 ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
