Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Если U 00 (c1 ) = 0, тоlim Φ(E) = ∞.E→E02.2.2Частный случай: конусСогласно следствию 2.2, теорема 1.1 Бертрана обобщается на семейство“рациональных” конусов. Прочие конусы (“иррациональные”) не допускают обобщение теоремы Бертрана. Поясним, какую роль играет условиерациональности константы ξ в условии следствия 2.2. Рассмотрим конструкцию, описанную после теоремы 2.1: разрежем конус S по образующей и развернем.

Получим некоторый сектор на евклидовой плоскости.Заметим, что угол при вершине (равный 2πξ) может быть и больше 2π,в этом случае конус не вложится в R3 как поверхность вращения, носледствие 2.2 останется верным. Далее рассмотрим поверхность S̃, являющуюся одновременно разветвленным накрытием конуса S и разветвленным накрытием евклидовой плоскости, где количество листов любогоиз накрытий минимально возможное. Поверхность S̃ можно построитьследующим образом. Будем накладывать на плоскость сектора, полученные разворотом разрезанного по образующей конуса, каждый следующий поворачивая так, чтобы берег каждого следующего сектора совпалс противоположным берегом предыдущего. Таким образом получим разветвленное накрытие над плоскостью S̃ → R2 . При этом, если конус был“рационален”, т.е.

угол при вершине был соизмерим с 2π (иными словами,ξ ∈ Q, обозначим ξ = pq ), то через q шагов построения S̃ берег очередного сектора совпадет с берегом первого сектора; в этом случае прекратим49Рис. 2.3: Образ траектории движения по конусу на замощенной плоскости; ξ = 61процесс построения S̃ и накрытие S̃ → R2 будет p−листным.

В противном случае, берега разных секторов никогда не совпадут и накрытиебудет бесконечнолистным. Замощенная плоскость и образ траекториидвижения точки по поверхности S̃ изображены на рис. 2.3.Таким образом, поверхность S̃ накрывает исходный конус q−листно,если ξ рационально и равно pq , бесконечнолистно в противном случае.Накрытие строится естественным образом: его листами будут сектора,из которых составлена поверхность S̃; каждый такой сектор — развертка конуса, поэтому можно определить отображение S̃ → S, переводящеев точку с координатами (r, ϕ) на конусе все точки поверхности S̃, имеющие те же координаты на том секторе, которому принадлежат.

Наглядноэто может быть представлено следующим образом. Возьмем сектора, полученные разворачиванием разрезанного по образующей конуса, и расположим их над разверткой конуса “друг над другом” — q экземпляров,если ξ рационально, счетное множество в противном случае; противоположные края лежащих друг над другом секторов считаются склеенными.Точки этих секторов — это точки поверхности S̃, отображение S̃ → S за50Рис. 2.4: Замкнутая траектория на рациональном конусе; ξ =78дается естественной проекцией.

Образ траектории движения по конусуна поверхности S̃, представленной как пояснено выше, продемонстрирован на рис. 2.5. На рис. 2.4 приведен пример замкнутой траектории на“рациональном” конусе, вид сверху.2.2.3Общий случай движения в центральном полесилДокажем теоремы 2.1 и 2.3.51Рис. 2.5: Образ траектории движения по конусу на поверхности S̃, представленной объединением секторов на плоскости; ξ = 65Доказательство.

Шаг 1. Опишем рассматриваемую систему. Пусть наповерхности S ≈ (a, b) × S 1 с координатами (r, ϕ mod 2π) заданы риманова метрика (1.1.1) и потенциал V = V (r), который зависит только откоординаты r. Найдём условие на метрику, являющееся критерием возможности обобщения результата Бертрана на соответствующую систему.Будем обозначать через ()˙ производную по t, через ()0r — производнуюпо r, а через ()0ϕ — производную по ϕ.Шаг 2. Лагранжиан движения имеет вид L = 21 (ṙ2 + f 2 (r)ϕ̇2 ) − V (r),а уравнения Эйлера-Лагранжа выглядят так:f fr0 ϕ̇2 − Vr0 − r̈ = 0,(ϕ̇f 2 )˙ = 0,K := ϕ̇f 2 = const.(2.2.1)При K = 0 движение происходит по прямой {ϕ = const}.

Пусть далееK 6= 0. Поскольку ϕ̇ = fK2 6= 0, на траектории движения (r(t), ϕ(t)) можноввести параметр ϕ вместо t.52Лемма 2.15. При K 6= 0 функция r = r(ϕ), задающая орбиту движенияточки по поверхности S ≈ (a, b) × S 1 с метрикой (1.1.1) в центральномполе с потенциалом V (r), удовлетворяет следующему тождеству:fr0 (r)200= f 2 (r)Vr0 (r),(2.2.2)K −(Θ ◦ r)ϕϕ +f (r)где Θ = Θ(r) — произвольная функция, такая что dΘ(r) = f 2dr(r) . Тоесть, функция z(ϕ) := −Θ ◦ r(ϕ) является решением обобщенного урав0 (r(z))нения Бертрана при ρ(z) = ffr(r(z)), Ψ(z) = f 2 (r)Vr0 (r).Доказательство.

Производные по t и ϕ связаны соотношениямиK drd(Θ ◦ r)dr= 2=K,dtf (r) dϕdϕгде dΘ(r) =dr.f 2 (r)d2 rK 2 d2 (Θ ◦ r)=,dt2f 2 (r) dϕ2Первое уравнение в (2.2.1) примет вид−(Θ ◦r)00ϕϕK2K20+ fr (r) 3= Vr0 (r).2f (r)f (r)Или, что эквивалентно, (2.2.2), что и требовалось показать.

Лемма доказана.В силу леммы 2.15 функции r = r(ϕ), задающие движение точки порассматриваемой поверхности в центральном поле сил, совпадают с решениями уравнений, образующих семейство обобщенных уравнений Бертрана, с параметром K, равным значению кинетического момента на соответствующих траекториях движения, где z(r) = −Θ(r), dΘ(r) = f 2dr(r) ,ρ(z) =fr0 (r(z)),f (r(z))dΨ(z) = f 2 (r)Vr0 (r) = − dzV (r(z)),K2Ψ(z)ρ(z)=f 3 (r(z)) 0V (r(z)),f 0 (r(z)) rэф-фективный потенциал K 2 U2/K 2 (z) = 2f 2 (r(z)) + V (r(z)). Отсюда следует,что каждое из условий (∃) и (∃)loc на потенциал V = V (r) (см.

определение 1.12) равносильно одноименному условию на функцию Ψ = Ψ(z)(см. определение 2.11); а каждое из условий (∀), (∀)loc и (∀)s−loc на потенциал V равносильно “рациональному аналогу” одноименного условияна функцию Ψ. Здесь рациональный аналог условия на функцию Ψ получается из этого условия заменой требования попарной соизмеримостиуказанных периодов на (более сильное) требование соизмеримости этихпериодов с 2π. Такие ρ-замыкающие функции Ψ назовем рационально53ρ-замыкающими. По определению 1.9(a) точка z0 = −Θ(r0 ) являетсяустойчивым положением равновесия обобщенного уравнения Бертранапри K = K0 тогда и только тогда, когда окружность {r0 } × S 1 является сильно устойчивой круговой орбитой, такой что значение интегралакинетического момента на соответствующей траектории равно K0 . Значит, потенциал V является замыкающим (соответственно локально, полулокально, сильно или слабо замыкающим) для метрики (1.1.1) тогдаи только тогда, когда функция Ψ является рационально ρ-замыкающей(соответственно локально, полулокально, сильно или слабо рационально ρ-замыкающей).

В силу обобщенной технической теоремы Бертрана2.12, для любой поверхности S с римановой метрикой (1.1.1) любой полулокально замыкающий потенциал V является локально замыкающим,а если f не имеет критических точек на (a, b), то все пять классов замыкающих потенциалов (см. определение 1.12) совпадают и обладаютследующими свойствами.Во-первых, существует не более двух (с точностью до аддитивнойи мультипликативной констант) замыкающих центральных потенциаловV (r).Во-вторых, существование ровно двух (с точностью до аддитивнойи мультипликативной констант) замыкающих центральных потенциаловV1 и V2 равносильно условиюd fr0 (r(z))0= const := ξ 2 > 0(2.2.3)ρ (z) :=dz f (r(z))p00(что эквивалентно условию frr(r)f (r) − (fr0 (r))2 = −ξ 2 ), где ξ = ρ0 (z) —положительная рациональная константа, отвечающая постоянной Бертрана βi = iξ (i = 1, 2, в зависимости от вида потенциала) из теоремы0+ζ.

Функция z(r) была опре2.12. В случае (2.2.3) выполнено z(r) = ξf2rf(r)(r)делена с точностьюдо аддитивной константы; дляопределенности полоfr0 (r)f 0 (r)2жим z(r) := ξ2 f (r) , откуда ρ(z) = ξ z, Θ(r) = − ξ2 f (r) . В силу обобщеннойтехнической теоремы 2.12 Бертрана ρ−замыкающие функции имеют вид2Ψi (z) = Ai z 1−i , i = 1, 2, где A1 z > 0, A2 > 0. Отсюда по лемме 2.15 замыкающие потенциалы являютсягравитационным и осцилляторноым, т.е.R2имеют вид Vi (r) = (− Ψi (z)dz)|z=−Θ(r) = (−1)i A|Θ(r)|2−i /i + B, i = 1, 2,где A > 0, B — некоторые константы.В-третьих, существование ровно одного замыкающего центрального−3потенциала равносильно условию ρ = − µΘ2 − D Θµ2 , где D 6= 0 и вы540−3fr0. Интегрирование равенства ffr = − Θ+DΘпо Θ даfµ2Θ2 −DΘ−2 +C1, где C — произвольная константа, откуда f (r) =ет f 2 =µ2pµ/ Θ2 (r) + C − DΘ−2 (r).

Отсюда ρ−замыкающая функция Ψ2 (z) = A2 /z 3 ,гдеRA2 (z 4 +D) > 0. Отсюда замыкающий центральный потенциал V2 (r) =(− Ψ2 (z)dz)|z=−Θ(r) = A2 |Θ(r)|−2 /2 + B.полнено ρ =Формулы для периодов Φi функций r = r(ϕ), задающих некруговыенеособые ограниченные орбиты, и для кинетических моментов Ki , i =1, 2, для круговых орбит являются повторениями формул из теоремы2.12.

Значение кинетического момента K на круговой орбите {r} × S 13 (r(z))= ff 0 (r(z))V 0 (z) (см. теорему 2.12).находится из соотношений K 2 = Ψ(z)ρ(z)Притягивающий центр находится там, где потенциал минимален. Знаксилы равен −sgn Vi0 (r) = sgn Ψi (−Θ(r)) = sgn ((Θ4 (r) + D)Θ(r)), а потомув притягивающем центре достигается sup(sgn (Θ4 (r) + D)|Θ(r)|).Шаг 3. Итак, мы доказали, что выполнение тождества f 00 f − (f 0 )2 =−ξ 2 , где ξ ∈ Q ∩ R>0 , равносильно тому, что замыкающих потенциаловровно два (с точностью до аддитивной и положительной мультипликативной констант).

Предъявим явный вид функций f, для которых этотождество выполняется.Лемма 2.16. Не имеющими нулей решениями уравнения f 00 f − (f 0 )2 =−ξ 2 при ξ > 0 являются следующие функции f = f (r) и только они:ξsin(αr + β),αξ± sh(αr + β),α±ξr + β,(2.2.4)где α 6= 0, β — произвольные вещественные константы, и r принадлежит интервалу, в котором f (r) 6= 0.Доказательство.

Характеристики

Список файлов диссертации