Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2.2 и в таблице 2.1, вместе с множеством значений функции rc,d |Ic,d,k .По построению каждая из функций rc,d |Ic,d,k : Ic,d,k → rc,d (Ic,d,k ) строго монотонна, а потому имеет обратную функцию, которую обозначимчерез θc,d,k = θc,d,k (r). Итак, функция θc,d,k : rc,d (Ic,d,k ) → Ic,d,k такова,что θc,d,k (r)(rc,d (θ)) ≡ θ. Рассмотрим трехпараметрическое семейство абkc,dстрактных поверхностей вращения Sc,d = ∪k=1Sc,d,k с римановыми мет-38Ω2Семейство полубесконечныхповерхностей Бертрана`2Плоскости Лобачевского•d=0Полусферы(0, 0)Два семействаполубесконечныхСемейство грушевидныхповерхностей`поверхностей Бертрана3БертранаΩ1Ω3`4Ω4c2 + 4d = 0`1Рис.
2.1: Плоскость параметров R2 (c, d), разбитая на подмножества: области, кривые и точку (на дуге `4 нет бифуркации семейства)риками ds2µ,c,d , гдеSc,d,k = rc,d (Ic,d,k ) × S 1 ,Sc,d ≈ Ic,d × S 1 ,ds2µ,c,d1 2fc,d,k (r)dϕ2 ,2µ(2.1.4)2dθdϕ2= 2+,(θ + c − dθ−2 )2 µ2 (θ2 + c − dθ−2 )ds2µ,c,d |Sc,d,k = dr2 +где c, d ∈ R, µ > 0 — параметры, k ∈ {1, kc,d }, fc,d,k (r) := √1.Qc,d (θc,d,k (r))Эта поверхность состоит из kc,d связных компонент. Первую связнуюкомпоненту (k = 1) назовем основной, вторую (k = 2 при d < 0) —дополнительной, а семейство (2.1.4) — семейством (максимальных) поверхностей Бертрана.Пусть γ = γ(φ) = (cφ , dφ ), 0 ≤ φ ≤ 2π — некоторая, не обязательно непрерывная, кривая в R2 , пересекающая всякое множество вида{(λc, λ2 d) | λ > 0} ⊂ R2 в единственной точке. Например, образ кривойγ = γ(φ) может являться объединением двух прямых R × {±1} и трехточек {(−1, 0), (0, 0), (1, 0)}.Теорема 2.7. Пусть дана двумерная поверхность S, диффеоморфная(a, b) × S 1 , снабженная C ∞ -гладкой римановой метрикой (1.1.1).(A) Любой C ∞ -гладкий замыкающий центральный потенциал является полулокально замыкающим, любой сильно замыкающий — слабо39φ6γ1I1γ2mod 2π2πΩ1• `4I2Ω4• `3γ3Ω3• `2Ω2- θ•`0 1•pγ1 = {θ = − 4 −d(φ)}(экваторы)γ2 = {θ = −x3 (c(φ), d(φ))}γ3 = {θ = −y3 (c(φ), d(φ))}(абсолюты)Рис.
2.2: Объединения интервалов Ik := ∪φ Ic(φ),d(φ),k × {φ} для семействповерхностей√√ Бертрана Sc(φ),d(φ),k (k = 1, 2), где (c(φ), d(φ)) :=8( 2 cos(φ + π/4), 2 sin(φ + π/4) − 1)замыкающим, любой слабо замыкающий — полулокально замыкающим,а любой полулокально замыкающий — локально замыкающим.(B) Пусть f (r) не имеет критических точек на (a, b). Тогда любойC ∞ -гладкий локально замыкающий центральный потенциал являетсязамыкающим и сильно замыкающим, и следующие утверждения равносильны:(a) на поверхности S имеется замыкающий центральный потенциалV (r);(b) существует тройка (µ, c, d) ∈ R3 и функция θ = θ(r) без нулей наинтервале (a, b), такие что µ ∈ Q ∩ R>0 и выполнено (2.1.3), т.е.f (r) =1fc,d,k (η(r − r0 )), θ(r) = ηθc,d,k (η(r − r0 )),µ(η(a − r0 ), η(b − r0 )) ⊆ rc,d (Ic,d,k )r ∈ (a, b),(2.1.5)для некоторых r0 ∈ R, η ∈ {+, −} и k ∈ {1, kc,d }, т.е. поверхность (S, ds2 ) изометрично и S 1 -эквивариантно вкладывается вповерхность Бертрана (2.1.4) посредством отображения (r, ϕ) 7→(η(r − r0 ), ϕ);(c) существует набор (µ, λ, φ, r0 , k), такой что µ ∈ Q∩R>0 , λ ∈ R\{0},0 ≤ φ ≤ 2π, r0 ∈ R, k ∈ {1, kγ(φ) }, |λ| = 1 при γ(φ) = (0, 0), причем40функция f (r) имеет вид:f (r) =1fγ(φ),k (λ(r − r0 )),µ|λ|(λ(a − r0 ), λ(b − r0 )) ⊆ rγ(φ) (Iγ(φ),k ),т.е.
поверхность (S, λ2 ds2 ), подобная исходной с коэффициентомподобия λ, изометрично и S 1 -эквивариантно вкладывается в поверхность (Sγ(φ),k , ds2µ,γ(φ),k ) посредством отображения (r, ϕ) 7→ (λ(r−r0 ), ϕ).Наборы чисел в (b) и (c) единственны. Наборы (µ, η, r0 , k) из (b) и (µ, λ/|λ|, r0 , k)из (c) совпадают. Параметры c, d и функция θ(r) из (b) связаны с параметрами λ, φ из (c) соотношениями c = λ2 cφ , d = λ4 dφ , θ(r) = λθγ(φ),k (λ(r−r0 )).2Потенциал V = V (r) из (a) имеет вид Vi (r) = (−1)i Ai |θ(r)|2−i /i+Biгде i ∈ {1, 2} при d = 0, i = 2 при d 6= 0, Ai , Bi ∈ R — любые мультипликативная и аддитивная константы, такие что A1 > 0, A2 (θ4 (r) + d) >0.(C) Отвечающие замыкающему центральному потенциалу Vi неособые некруговые ограниченные орбиты задаются периодическими функциями r = r(ϕ) с минимальным положительным периодом Φi = 2πµ/i,где µ то же, что и в (b) и (c), i = 1, 2.
При этом на фазовой траектории, отвечающей круговой орбите {r} q× S 1 ⊂ (a, b) × S 1 , значениекинетического момента K равно Ki = ± µ1 |θ(r)|Aii2 +d ; граничная окружность {r̂} × S 1 , на которой достигается inf f (r) (т.е. sup Ai |θ(r)|), является притягивающим центром поля с потенциалом Vi (т.е. на нейдостигается inf Vi (r)).Комментарий 2.8. В таблице 2.1 указаны максимальные интервалыIc,d,k , в которых принимает значения координата θ на поверхностях Бертрана (2.1.4), и области значений монотонных функций rc,d (θ), Fc,d (θ) :=fc,d,k (rc,d (θ)), Rc,d (θ) (натуральный параметр на меридиане, радиус параллели при µ = 1, скалярная кривизна).
В таблице использованы обозначения r4,1 := (π/2 − 1)/(4y4 ) иpparctg y1 /x1x24 + y42 − x4π1π y1−,r:=−ln.r1 :=42 y12 − x21y1 − x18y4 4x4y441Ic,d(−∞, −x2 )rc,d (Ic,d )(0, ∞)Fc,d (Ic,d )(0, ∞)Rc,d (Ic,d )2csgn A2+ √y2 = y3 = 0, x2 = x3 = −c(c, d) ∈ Ω3Два семейства полубесконечныхповерхностей БертранаIc,d,k(−∞, −x3 ) (−y3 , 0)rc,d (Ic,d,k )(0, ∞)(−∞, 0)Fc,d (Ic,d,k )(0, ∞)(∞, 0)2∆Rc,d (Ic,d,k ) (2c, − x2 ) (− 2∆, ∞)y323k, sgn A1, +2, −0 < y3 < x3(c, d) ∈ `3Две полубесконечныеповерхности БертранаIc,d,k(−∞, −y3 ) (−y3 , 0)rc,d (Ic,d,k )(0, ∞)(−∞, 0)Fc,d (Ic,d,k )(0, ∞)(∞, 0)Rc,d (Ic,d,k )(2c, 0)(0, ∞)k, sgn A1, p+2, −x3 = y3 = x4 = −c/2, y4 = 0(c, d) ∈ `2Плоскость Лобачевского42Таблица 2.1: Интервалы Ic,d,k и их образы (см. комментарий 2.8)(c, d) ∈ `1ПолусфераIc,d(−∞, 0)rc,d (Ic,d )(− 2yπ1 , 0)Fc,d (Ic,d )(0, y11 )Rc,d (Ic,d )2csgn A2+√x1 = x2 = 0, y1 = y2 = c(c, d) ∈ Ω1Семейство грушевидныхповерхностей√Бертрана√Ic,d(−∞, 0)Ic,d,k(−∞, − 4 −d) (− 4 −d, 0)rc,d (Ic,d )(0, ∞)rc,d (Ic,d,k ) ( 2(x−π, −r1 )(−r1 , 0)1 +y1 )11Fc,d (Ic,d )(0, ∞)Fc,d (Ic,d,k )(0, x1 +y1 )( x1 +y, 0)122Rc,d (Ic,d )0Rc,d (Ic,d,k )(2c, 32y4 )(32y4 , ∞)k, sgn A21, +k, sgn A1, +2, −0 < x1 < y1(c, d) ∈ Ω4(c, d) ∈ `4Семейство грушевидныхГрушевиднаяповерхностей√Бертрана√поверхность БертранаIc,d,k(−∞, − 4 −d) (− 4 −d, 0)Ic,d,k(−∞, −y4 )(−y4 , 0)π−πrc,d (Ic,d,k )(− 4y4 , −r4 )(−r4 , 0)rc,d (Ic,d,k )( 4y4 , −r4,1 )(−r4,1 , 0)111Fc,d (Ic,d,k )(0, 2y4 )( 2y4 , 0)Fc,d (Ic,d,k )(0, 2y4 )( 2y14 , 0)Rc,d (Ic,d,k )(2c, 32y42 )(32y42 , ∞) Rc,d (Ic,d,k )(2c, 16c)(16c, ∞)k, sgn A1, +2, −k, sgn A1, +p 2, −x4 > 0, y4 > 0x4 = 0, y4 = y1 = x1 = c/2(c, d) ∈ Ω2Семейство полубесконечныхповерхностей БертранаIc,d(−∞, −x2 )√ 2 , ∞)rc,d (Ic,d )(− 2πy∆Fc,d (Ic,d )(0, ∞)Rc,d (Ic,d )(2c, − 2∆)x22sgn A+x2 > 0, y2 > 0(c, d) = (0, 0)Евклидова плоскостьСледствие 2.9.
(Геометрия поверхностей Бертрана) (A) На любой поверхности Бертрана (S, ds2 ) = (Sc,d,k , ds2µ,c,d ) (см. (2.1.4)) существует единственная граничная окружность {r̂} × S 1 , определеннаяусловием limr→r̂ f (r) = 0 (т.е. стягивающаяся в точку, называемуюполюсом поверхности), причем limr→r̂ θ(r) = −∞ в случае k = 1, иlimr→r̂ θ(r) = 0 в случае k = 2. В полюсе поверхность имеет коническуюособенность с полным углом 2π limr→r̂ |f 0 (r)|, равным 2π/µ при k = 1или ∞ при k = 2.
Полюс является притягивающим центром для любого замыкающего центрального потенциала.(B) Поверхность (S, ds2 ) = ((a, b) × S 1 , ds2 ) ⊂ (Sc,d,k , ds2µ,c,d ) реализуема в R3 как поверхность вращения тогда √и только тогда, когда|f 0 (r)| ≤ 1 всюду на S, где f 0 (r) = −(θ + dθ−3 )/(µ θ2 + c − dθ−2 ). В частности, дополнительная поверхность Бертрана (k = 2) всегда нереализуема; при d ≤ 0 ≤ c основная поверхность Бертрана (k = 1) реализуематогда и только тогда, когда µ ≥ 1 (включая стандартную полусферупри (µ, c, d) = (1, 1, 0) и евклидову плоскость при (µ, c, d) = (1, 0, 0)); при(c, d) ∈ Ω2 ∪Ω3 \{(0, 0)} основная поверхность Бертрана (k = 1) нереализуема ни при каком µ (включая стандартную плоскость Лобачевскогопри (µ, c, d) = (1, −1, 0)).(C) Скалярная кривизна Римана R = −2f 00 (r)/f (r) =: Rc,d (θ) на поверхности Бертрана (2.1.4) удовлетворяет соотношениям0Rc,d(θ)6d 3cd 2d2dddRc,d (θ)2=c− 2 − 4 + 6 ,= 5 θ + c − 2 = 2 2 5,2θθθ4!θθµf θт.е.
R = R(θ) постоянна при d = 0, возрастает при d < 0, убывает приd > 0, и имеет область значений, указанную в таблице 2.1. В частности, R > 0 при d ≤ 0 ≤ c и (c, d) 6= (0, 0), а также при (c, d) ∈ Ω4 иk = 2; R < 0 при c ≤ 0 ≤ d и (c, d) 6= (0, 0), а также при (c, d) ∈ Ω3 иk = 1; R имеет непостоянный знак при остальных (c, d, k), таких что(c, d) 6= (0, 0).(D) На любой поверхности вращения или, более общо, на ее N −мерноманалоге, т.е.
на римановом многообразии (a, b)×S N −1 с римановой метрикой ds2 = dr2 + f 2 (r)dϕ2 , где N ∈ N и через dϕ2 обозначена стандартная риманова метрика на (N −1)−мерной единичной сфере S N −1 , оператор Лапласа-Бельтрами действует на центральные функции h = h(r)по формуле∆h(r) = h00 (r) + (N − 1)h0 (r)f 0 (r)/f (r) = (f N −1 (r)h0 (r))0 /f N −1 (r).43При N = 3 обобщенный гравитационно-кулоновский потенциал Θ =Θ(r), определенный условием Θ0 (r) = 1/f 2 (r), является гармоническойфункцией.Комментарий 2.10.
Опишем бифуркации поверхностей Бертрана (2.1.4)при движении пары параметров (c, d) ∈ R2 вокруг начала координат.(A) При (c, d) ∈ Ω1 ∪ `4 ∪ Ω4 поверхность Бертрана состоит из двухсвязных компонент, на которых θ ∈ (−∞, −(−d)1/4 ) и θ ∈ (−(−d)1/4 , 0)соответственно. Эти компоненты являются двумя половинками “грушевидной” аналитической римановой поверхности (−∞, 0) × S 1 , разрезанной по единственному экватору (где f 0 = 0). Грушевидность поверхности вращения означает, что существует единственный экватор, функцииr и f монотонны на каждой половинке поверхности вне экватора, принимают значения в конечных интервалах (т.е.
поверхность ограничена),причем в каждой половинке есть полюс (т.е. inf f = 0, откуда sup f достигается на экваторе), и в полюсах поверхность имеет конические особенности с разными полными углами (равными 2π/µ и ∞ в основном идополнительном полюсах соответственно). Соответствующий замыкающий (осцилляторный) потенциал на разных половинках пропорционаленодной и той же аналитической функции, однако знаки коэффициентовпропорциональности различны на разных половинках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
