Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 3
Текст из файла (страница 3)
замечание 4.1.3 о связи параметров Дарбу и Перлика). И вновь, хотя в работе [9] результат сформулирован для еще болееширокого класса потенциалов, на самом деле он доказан в работе [9] дляслабо замыкающих потенциалов и только для них.Наконец, в 2007 году М. Сантопрете [11] доказал, что на аналитических многообразиях вращения с постоянной гауссовой кривизной безэкваторов, вложенных в R3 , существует в точности два сильно замыкающих потенциала — гравитационный и осцилляторный, а на всех прочихповерхностях вращения без экваторов существует не более одного сильно замыкающего центрального потенциала и указал вид этого потенциала (осцилляторный).
Он также нашел необходимое условие (в действительности являющееся и достаточным) на метрику существованиятакого потенциала и сформулировал его в виде биквадратного уравне12ния на постоянную Бертрана β ∈ Q>0 , см. определение 1.3. Он доказалследующую теорему:Теорема 1.6 (М. Сантопрете [11]). Пусть S ⊂ R3 — двумерная поверхность вращения с координатами (r, ϕ mod 2π) ∈ (a, b) × S 1 с аналитической римановой метрикой (1.1.1), причем функция f не имеет критических точек на (a, b). Тогда в классе аналитических центральныхпотенциалов на S:1. существует не более двух (с точностью до аддитивной и положительной мультипликативной констант) сильно замыкающихпотенциалов;2.
их ровно два, если и только если f 00 f − (f 0 )2 = −ξ 2 , где ξ — положительная рациональная константа, причем этими потенциалами являются обобщенный гравитационный V1 (r) и обобщенныйосцилляторный V2 (r) потенциалы;3. если потенциал единствен, то −f 00 f + (f 0 )2 =: h не константа, ипотенциал имеет вид обобщенного осцилляторного потенциала.Более того, для любого сильно замыкающего центрального потенциала неособые ограниченные некруговые орбиты задаются периодическимифункциями r = r(ϕ) с одним и тем же минимальным положительнымпериодом Φ = 2π/β, где β — положительная рациональная константа,зависящая от потенциала и удовлетворяющая биквадратному тождеству β 4 − 5(−f 00 f + f 02 )β 2 − 5f f 00 f 02 + 4f 002 f 2 − 3f 000 f 0 f 2 + 4f 04 = 0; различным (с точностью до аддитивной и положительной мультипликативной констант) потенциалам отвечают различные константы;потенциалу Vi (r) из п.
2 отвечает константа βi = iξ, i = 1, 2.Замечание 1.7. Для поверхности вращения с метрикой (1.1.1) скалярная кривизна Римана R вычисляется по формуле R/2 = c := −f 00 /f,причем c — гауссова кривизна поверхности в случае вложимости поверхности в R3 (см. также следствие 2.9(C)). Поэтому h0 = −f 000 f +f 00 f 0 = f 2 c0 ,где h := −f 00 f + (f 0 )2 .
Иными словами, выполнение условия 2 теоремы1.6 Сантопрете влечет постоянство гауссовой кривизны поверхности S.Описание всех абстрактных поверхностей вращения постоянной скалярной кривизны и без экваторов получается из леммы 2.16 и замечания2.17.13Замечание 1.8. Следует отметить, что в работе [11] Сантопрете не формулировал условие отсутствия у функции f критических точек, а вместо сильно замыкающих потенциалов рассматривал замыкающие потенциалы.
Также он не формулировал п. 3 и последнее утверждение теоремы в виде отдельных утверждений. Однако эти утверждения следуют из его работы, и именно такие условия необходимы для проведения его доказательства. Часть “если” пункта 2 теоремы 1.6 легко следует из теорем Бертрана и Либмана [7, 6], а пп. 1, 2 (часть “только если”) и 3 легко следуют из последнего утверждения теоремы, посколькуh := −f 00 f + f 02 = (β12 + β22 )/5, где βi — корни биквадратного уравнения,данного выше, а если h не равно константе, то может существовать не более одного постоянного корня β. Отметим, что биквадратное уравнениеиз теоремы 1.6 имеет вид β 4 − 5β 2 h + 3f f 0 h0 + 4h2 = 0 и превращается вбиквадратное уравнение Тикочинского [23] в случае метрик постояннойкривизны (см. замечание 1.7).Кроме того, теорема 1.6 рассматривает лишь поверхности, вложенныев R3 как поверхности вращения, что накладывает определенные условияна функцию f (r).
А именно, для вложимости поверхности с метрикой(1.1.1) в R3 как поверхности вращения необходимо, чтобы |f 0 (r)| ≤ 1 (идостаточно, чтобы |f 0 (r)| < 1). В силу (2.1.1) в условиях второго пунктатеоремы 1.6 это неравенство равносильно неравенству |ξ| ≤ 1, если c ≥ 0(см. замечание 1.7) и inf f = 0 (например, когда интервал (a, b) макси1, √ 1}, если c < 0.мален); неравенству |ξ| ≤ min{ ch(√−c(b−r0 )) ch( −c(a−r0 ))Подробный обзор истории задачи Бертрана и ее обобщений можетбыть найден, например, в книге А.В. Щепетилова [12].В диссертации рассмотрено более широкое обобщение задачи Бертрана.
А именно, варьируется не только конфигурационное многообразиезадачи, как было у Дарбу и Перлика, но и рассматриваются различныенаборы требований на потенциал (т.е. вводится несколько классов замыкающих потенциалов, см. определение 1.12): изучена задача Бертранане только для сильно замыкающих (как у Дарбу), слабо замыкающих(Перлик) и замыкающих (оригинальная формулировка Бертрана), но идля локально, полулокально, вполне и устойчиво замыкающих потенциалов, которые ранее не рассматривались (теоремы 2.1 и 2.3). На рис.1.1 наглядно показано, как связаны между собой эти классы потенциалов, причем диаграмма точна в том смысле, что все изображенные на14диаграмме “области” непусты кроме, быть может, области “1 \ 3” (см.утверждение 3.13).
Как видно, класс локально замыкающих потенциаловявляется самым общим из рассматриваемых — все прочие потенциалытакже являются локально замыкающими. Самыми узкими классами являются сильно замыкающий (для которого результаты были полученыБертраном и Дарбу) и вполне замыкающий. Отметим, что диаграммавключений классов потенциалов на рис. 1.1 не является тривиальнымследствием определений этих классов.
Из определения классов нетрудно следует лишь “грубая” диаграмма на рис. 1.2 (диаграмма нестрогихвключений классов), см. замечание 1.14(a). Включение “3 ⊆ 1”, скореевсего, является строгим, но для решения этого вопроса не достаточнорезультатов настоящей работы.Рис.
1.1: Диаграмма включений классов замыкающих потенциаловВажно отметить, что в случае поиска многообразий, на которых существуют вполне и устойчиво замыкающие потенциалы, удалось отказаться от условия отсутствия экваторов, которое существенно использовалось в ранее доказанных теоремах в этой области (см. теорему Дарбу1.5 и обсуждение после нее). В обоих случаях — поиск пар “многообразие вращения без экваторов – замыкающий (сильно, слабо, локально илиполулокально замыкающий) гладкий центральный потенциал” и “многообразие вращения – вполне/устойчиво замыкающий гладкий центральный потенциал” получена полная классификация как многообразий, так15и потенциалов, которые вновь оказываются гравитационным и осцилляторным, причем на части многообразий оба они являются бертрановыми,а на прочих бертрановым является лишь осцилляторный потенциал (теоремы 3.8 и 3.12).Как было сказано выше, далеко не все многообразия Бертрана могутбыть вложены в R3 с сохранением инвариантности относительно действия группы вращений.
Однако ранее никто не задавался вопросом, какие же из бертрановых многообразий (то есть многообразий вращения,на которых существует бертрановый потенциал в одном из рассматриваемых смыслов) могут быть реализованы в R3 — целиком (глобально)или в окрестности какой-то параллели (локально). В диссертации этотвопрос рассмотрен и доказано, какие из многообразий Бертрана могутбыть реализованы — как глобально, так и локально (теоремы 4.1 и 4.8).В частности, этот результат наглядно демонстрирует, каких многообразий не хватало в классификации Дарбу в решении задачи Бертрана длясильно замыкающих потенциалов.Движение в поле гладкого центрального потенциала по многообразию вращения является, очевидно, натуральной механической системой,обладающей дополнительными первыми интегралами.
В силу этих соображений естественной задачей является изучение интегрируемости этихсистем, а в случае положительного результата — построение инвариантовклассификационной теории Фоменко–Цишанга. Рассмотрением интегрируемых “бертрановых динамических систем” — движения по многообразию Бертрана в поле замыкающего (в одном из смыслов) центральногопотенциала — занимался, например, М. Сантопрете. Исследование показывает, однако, что бертранова система не всегда является интегрируемой по Лиувиллю (см. опр.
5.3), поскольку её гамильтоновы потоки не всегда полны. Тем не менее, понятия бифуркационной диаграммы, отображения момента и слоения Лиувилля все равно оказываютсяосмысленными. В диссертации построены бифуркационные диаграммыдля всех бертрановых систем с конфигурационным многообразием безэкваторов и исследованы свойства отображения момента и слоения Лиувилля, в частности, исследовано количество и компактность прообраза точек в каждой камере образа отображения момента (теоремы 5.4и 5.5). Оказывается, что такие системы предоставляют простой и естественный пример интегрируемых систем с некомпактными слоями сло16ения Лиувилля. Следует отметить, что в отличие от компактного случая, для которого существует исчерпывающая классификационная теория Фоменко–Цишанга (подробно изложенная, например, в [39]), перестройки некомпактных слоев на сегодняшний день остаются малоизученными. Перестройки, возникающие в случае многообразий Бертрана,поддаются описанию и классификации (что сделано в диссертации), апотому данные системы можно рассматривать как простой и наглядныйпример, полезный при построении общей теории классификации системс некомпактными слоями слоения Лиувилля.1.2Необходимые определенияВведем ряд определений, необходимых для формулировки теорем и изложения их доказательств.Под траекторией будем понимать решение ~r(t) уравнения движения,определенное на максимальном по включению интервале (t0 , t1 ) ⊂ R1 ,под орбитой — образ этого отображения O = {~r = ~r(t) | t ∈ (t0 , t1 )} ⊂ S,под фазовой траекторией — функцию (~r(t), ~r˙ (t)) со значениями в касательном пространстве T S, а под фазовой орбитой — ее образ Õ = {(~r =~r(t), ~r˙ = ~r˙ (t)) | t ∈ (t0 , t1 )} ⊂ T S.Определение 1.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
