Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Реализуема часть многообразия, примыкающая к экватору {0} × S 1 .2) Пусть d = 0, c < 0. При µ ≤ 1 многообразие нереализуемо дажелокально. При µ > 1 реализуема часть многообразия, примыкающая кполюсу {+∞} × S 1 .3) Пусть d > 0, c ≤ 0. При µ > 1 реализуема часть многообразия,примыкающая к полюсу {+∞} × S 1 ; при µ ≤ 1 поверхность нереализуема даже локально.4) Пусть d > 0, c > 0. При µ ≥ 1 реализуема часть многообразия,примыкающая к полюсу {+∞}×S 1 ; целиком риманово многообразие ни2когда не реализуемо. При 0 < µ < 1, − c4t < h(µ) реализуем “поясок” в√окрестности параллели {− x0 } × S 1 , отвечающей локальному минимуму x0 > 0 функции z(x), края которого никогда не достигают граничных параллелей (т.е.

полюса и абсолюта) многообразия Бертрана.2Наконец, при 0 < µ < 1, − c4t ≥ h(µ) многообразие Бертрана нереализуемо даже локально.√5) Пусть d < 0, c < −2 −d. При 0 < µ ≤ 1 ни основное, ни дополни2тельное многообразие нереализуемо даже локально. При 1 < µ, − c4t ≥h(µ) реализуема часть основного многообразия Бертрана, прилегающая2к полюсу {+∞}×S 1 . При µ > 1, − c4t < h(µ) у основного многообразия реализуема часть, прилегающая к полюсу {+∞}×S 1 , а у дополнительного√реализуем “пояс” вокруг параллели {− x0 } × S 1 , отвечающей локально27му минимуму x0 > 0 функции z(x).√6) Пусть d < 0, c = −2 −d. При µ ≤ 1 ни основное, ни дополнительное многообразия нереализуемы даже локально.

При µ ∈ (1, 2) реализуема часть основного многообразия Бертрана, прилегающая к абсолюту {+∞} × S 1 . При µ = 2 реализуемо все основное многообразие. Приµ√> 2 реализуемо все основное многообразие и окрестность абсолюта{ 4 −d} × S 1 дополнительного.√7) Пусть d < 0, c > −2 −d. При 0 < µ < 1 и у основного, и у дополнительнгомногообразия реализуемы части, прилегающая к экватору√41{ −d} × S . При c ≥ 0, µ ≥ 1 основное многообразие Бертрана реализуемо целиком,а у дополнительного реализуема часть, прилегающая к эк√4ватору { −d} × S 1 . При c < 0, µ = 1 и у основнго, и у дополнительного√многообразия реализуема часть, прилегающая к экватору { 4 −d} × S 1 ;2при µ > 1, − c4t > h(µ) реализуемы часть основного многообразия, прилегающая к полюсу {+∞} √× S 1 , часть дополнительного многообразия,4−d} × S 1 , и часть основного многообразия,прилегающая к экватору { √2прилегающая к экватору { 4 −d} × S 1 ; при µ > 1 − c4t ≤ h(µ) основноемногообразие реализуемо√ целиком, а у дополнительного — часть, прилегающая к экватору { 4 −d} × S 1 .В каждом из случаев указанная реализуемая часть многообразияБертарана максимальна в следующем смысле: любая окрестность любой параллели, не содержащейся в указанной части, не реализуема ввиде поверхности вращения в R3 .Более того, в каждом из случаев границей реализуемой части многообразия Бертрана, прилегающей к полюсу либо абсолюту, являетсяпараллель, отвечающая ближайшему к полюсу (абсолюту) корню по θуравнения (θ4 + d)2 − µ2 θ4 (θ4 + cθ2 − d) = 0; границами реализуемого“пояса” вокруг определенной параллели {θ0 } × S 1 являются параллели,отвечающие корням этого уравнения, ближайшим к θ0 .4.

Изучены натуральные механические системы на бертрановых многообразиях без экваторов, полученных в предыдущих главах. Рассматривается два типа систем: движение в поле осцилляторного и движениев поле гравитационного потенциала (гравитационный потенциал изучается только для многообразий, для которых он является бертрановым).28Для этих систем показано, что они являются гамильтоновыми системамис набором дополнительных интегралов (хотя и не всегда интегрируемыми по Лиувиллю), показана функциональная независимость интегралов,изучено отоборажение момента, в частности вычислены границы его образа, исследованы бифуркационные диаграммы и установлено количество и компактность слоев слоения Лиувилля в прообразе каждой точкиобраза отображения момента.

Более точно, доказаны следующие теоремы:Теорема F (Движение в поле осцилляторного потенциала, теорема 5.4).Для натуральных механических систем, описывающих движения в поле осцилляторного потенциала V (r) = θA2 по многообразиям БертранаSk,c,d = Ik,c,d × S 1 с метрикой ds2µ,c,d справедливы следующие утверждения об отображении момента, пополненной бифуркационной диаграммеи слоях слоения Лиувилля:(i) в случае сфер и конусов ({d = 0, c ≥ 0}) пополненная бифуркационная диаграмма состоит из двух симметричных относительно прямой{K = 0} дуг бифуркационной диаграммы, каждая из которых запараметризована в виде (5.3.1) параметром θ ∈ (−∞, 0), примыкающих кточке (0, 0) на плоскости (K, E); прообраз любой точки которых является окружностью, образованной критическими точками ранга 1;и луча {K = 0, E ≥ 0}, прообраз каждой точки которого пуст; образотображения момента — область, ограниченная снизу объединениемдуг бифуркационной диаграммы и {(0, 0)}, прообразом каждой ее внутренней точки является один компактный слой слоения Лиувилля (см.рис.

5.1);(ii) в случае полубесконечных поверхностей и плоскости Лобачевского ({d > 0} ∪ {d = 0, c < 0}) пополненная бифуркационная диаграмма состоит из пары симметричных относительно прямой {K = 0}“сплошных” дуг, каждая qиз которых запараметризована в виде (5.3.1)√2параметром θ ∈ (−∞, − −c+ 2c +4d ), прообраз любой точки которыхявляется окружностью, образованной критическими точками ранга 1,пары горизонтальных “пунктирных” лучей (включающих концы), прообраз которых пуст, горизонтального “пунктирного” интервала, соединяющего верхние концы сплошных кривых, в прообразе каждой точкикоторого лежит один некомпактный слой слоения Лиувилля, а так29же луча {K = 0, E ≥ 0}, прообраз каждой точки которого пуст; образ отображения момента — область, ограниченная снизу объединением {(0, 0)}, сплошных дуг и пунктирных лучей; прообразом каждойего внутренней точки, лежащей выше прямой, содержащей пунктирные лучи, или на пунктирном интервале, является один некомпактныйслой слоения Лиувилля, а прообразом любой точки ниже этой прямой— один компактный слой (см.

рис. 5.2);√(iii) в случае пар полубесконечных поверхностей ({d < 0, c ≤ −2 −d})пополненная бифуркационная диаграмма, образ отображения моментаи слои слоения Лиувилля для основного многообразия устроены так же,как и в случае полубесконечных поверхностей, а для дополнительного многообразия пополненная бифуркационная диаграмма состоит изтрех пар симметричных дуг: пары “сплошных” и двух пар “пунктирных” (включающих концы) и прямой {K = 0}, прообраз точек которой пуст; “сплошные”дуги запараметризованы в виде (5.3.1) параметq√2ром θ ∈ (− −c− 2c +4d , 0), прообраз любой их точки является окружностью, образованной критическими точками ранга 1; образ отображения момента — область, ограниченная снизу сплошными дугами ипунктирными лучами, с вершинами в концах сплошных дуг; прообразом каждой точки внутри криволинейных треугольников, образованных сплошными и пунктирными дугами, является один компактныйслой слоения Лиувилля, прообразом прочих внутренних точек образаявляется один некомпактный слой, а прообраз граничных точек, находящихся на пунктирных дугах, пуст (см.

рис. 5.3);√(iv) в случае грушевидных поверхностей ({d < 0, c > −2 −d}) пополненная бифуркационная диаграмма, образ отображения момента ислои слоения Лиувилля устроены аналогично предыдущему случаю, однако сплошные дуги пополненной бифуркационнойдиаграммы парамет√4ризованы в виде (5.3.1)√ параметром θ ∈ (−∞, − −d) для основной поверхности и θ ∈ (− 4 −d, 0) для дополнительной поверхности и устроены следующим образом:их верхние концы, соответствующие значению√4параметра θ → − −d, устремляются к бесконечности по обеим координатам, и горизонтальные пунктирные дуги отсутствуют (см.

рис.5.4 и 5.5).Теорема G (Движение в поле гравитационного потенциала, теорема305.5). Для натуральных динамических систем движения в поле гравитационного потенциала V (r) = −A|θ(r)| по многообразиям БертранаSk,c,0 = Ik,c,0 × S 1 с метрикой ds2µ,c,0 справедливы следующие утверждения об отображении момента и пополненной бифуркационной диаграмме:(i) в случае конусов ({c = 0}) пополненная бифуркационная диаграмма состоит из двух симметричных относительно прямой {K = 0}дуг, каждая из которых запараметризована в виде (5.2.2) параметромr ∈ (0, +∞), причем каждая из них имеет в качестве асимптот прямые {K = 0} и {E = 0} на плоскости (K, E), прообраз любой ее точки является окружностью, состоящей из критических точек ранга 1,“пунктирной прямой” {E = 0} и прямой {K = 0}, прообраз точек которой пуст; образ отображения момента — область, ограниченная снизудугами бифуркационной диаграммы, прообраз любой внутренней точки,лежащей ниже прямой {E = 0}, является компактный слой слоенияЛиувилля, а прообраз точек выше и на этой прямой — некомпактнымслоем (см.

рис. 5.6);(ii) в случае проколотых полусфер и их “рациональных накрытий”({c > 0}) пополненная бифуркационная диаграмма состоит из двухсимметричных относительно прямой {K = 0} дуг, каждая из которых запараметризована в виде (5.2.2) параметром r ∈ (0, π/2), причемпрямая {K = 0} является их асимптотой, прообраз любой их точкиявляется окружностью, состоящей из критических точкек ранга 1, ипрямой {K = 0}, прообраз точек которой пуст; образ отображениямомента — область, ограниченная снизу дугами бифуркационной диаграммы, прообразом любой внутренней точки является компактнымслоем слоения Лиувилля (см.

рис. 5.7);(iii) в случае проколотых плоскостей Лобачевского и их “рациональных накрытий” ({c < 0}) пополненная бифрукационная диаграмма, образ отображения момента и слои слоения Лиувилля устроены аналогично случаю конусов (см. рис. 5.8).31Глава 2Обобщенная задача Бертранана многообразиях вращения безэкваторовВ этом разделе будет полностью решена обобщенная задача Бертранадля классов замыкающих, локально, полулокально, сильно и слабо замыкающих потенциалов в предположении отсутствия экваторов у конфигурационного многообразия системы. Другими словами, в предположении,что f 0 (r) 6= 0 на интервале (a, b).2.12.1.1Формулировка основных результатовРешение обобщенной задачи БертранаТеорема 2.1. (C ∞ −гладкая теорема для поверхностей Бертрана первого типа) Пусть дана гладкая двумерная поверхность S, диффеоморфная (a, b) × S 1 , снабженная римановой метрикой (1.1.1) (т.е.абстрактная поверхность вращения).

Характеристики

Список файлов диссертации