Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 4
Текст из файла (страница 4)
(a) Орбита точки, движущейся по поверхности S сримановой метрикой 1.1.1 по закону сил, заданному центральным (т.е.зависящим только от r) потенциалом V (r), называется круговой, если онасовпадает с орбитой действия группы вращений. Траектория называетсякруговой, если соответствующая ей орбита является круговой. КруговуюK2орбиту назовем сильно устойчивой, если на ней функция V (r) + 2f 2 0(r) ,называемая эффективным потенциалом, имеет невырожденный локальный минимум при некотором K0 6= 0.Замкнутую орбиту назовем орбитально устойчивой, если отвечающая ей фазовая траектория орбитально устойчива для ограничения системы на множество уровня кинетического момента, содержащее эту траекторию.(b) Траектория называется ограниченной, если она определена навсей оси времени t ∈ R1 , и ее образ содержится в некотором компакте[r1 , r2 ] × S 1 ⊂ (a, b) × S 1 .
Орбита называется ограниченной, если соответствующая ей траектория ограничена.17(c) Траекторию (и соответствующую орбиту) назовем особой, еслизначение интеграла кинетического момента K на этой траектории равно0, т.е. ϕ = const.Замечание 1.10. (a) Пусть имеется двумерная поверхность S с метрикой (1.1.1), где f (r) — гладкая функция, и центральный гладкий потенциал V (r) на ней. Проверка показывает, что окружность {r0 } × S 1является круговой орбитой тогда и только тогда, когда r0 является криK2тической точкой эффективного потенциала V (r) + 2f 2 0(r) , где K0 — значение интеграла кинетического момента на соответствующей траектории.Заметим сразу, что f > 0. Пусть теперь f 0 (r0 ) и V 0 (r0 ) имеют одинаковый знак или одновременно равны нулю.
Получаем, что в этом и тольков этом случае окружность {r0 } × S 1 является круговой орбитой, причемзначениемомента на соответствующей траектории равноqкинетическогоV 0 (r0 ) 3K0 = ± f 0 (r0 ) f (r0 ) или любое K0 6= 0 соответственно.(b) Окружность {r} × S 1 является сильно устойчивой круговой орбитой тогда и только тогда, когда она является круговой орбитой и соответствующая фазовая орбита является боттовским критическим множеством локальных минимумов ограничения интеграла энергии на поверхность уровня интеграла кинетического момента в фазовом пространстве.Поэтому сильно устойчивые круговые орбиты орбитально устойчивы.Заметим, что если траектория неограничена в смысле определения1.9(b), то планета “выходит на край поверхности”.Введем следующие классы центральных потенциалов на абстрактныхповерхностях вращения.Определение 1.11.
Круговую орбиту назовем почти устойчивой, еслив любой ее окрестности содержится неособая ограниченная некруговаяорбита (см. определение 1.9).Определение 1.12. Пусть V (r) – центральный потенциал на поверхности S с метрикой (1.1.1). Будем называть его замыкающим, если(∃) существует неособая ограниченная некруговая орбита γ в S;(∀) всякая неособая ограниченная орбита в S замкнута.В этом случае будем называть риманово многообразие (S, ds2 ) и пару(ds2 , V ) — бертрановыми.Потенциал V (r) будем называть локально замыкающим, если18(∃)loc существует сильно устойчивая круговая орбита {r0 } × S 1 в S;(∀)loc для всякой сильно устойчивой круговой орбиты {r0 } × S 1 в S существует ε > 0, такое что всякая неособая ограниченная орбита,целиком лежащая в кольце [r0 − ε, r0 + ε] × S 1 и имеющая уровенькинетического момента в интервале (K0 −ε, K0 +ε), является замкнутой, где K0 — значение кинетического момента на соответствующейкруговой траектории.В этом случае будем называть риманово многообразие (S, ds2 ) и пару(ds2 , V ) — локально бертрановыми.Потенциал V (r) будем называть полулокально замыкающим, если выполнены условия (∃), (∀)loc и следующее условие:(∀)s−loc любая неособая ограниченная орбита в кольце U = [a0 , b0 ] × S 1 суровнем кинетического момента K̂ является замкнутой, где a0 :=inf r|γ , b0 := sup r|γ , γ – некоторая ограниченная орбита из (∃), K̂ —значение кинетического момента на ней.В этом случае будем называть риманово многообразие (S, ds2 ) и пару(ds2 , V ) — полулокально бертрановыми.Потенциал V (r) назовем сильно (соответственно слабо или устойчиво) замыкающим, если выполнено условие (∀)loc (соответственно егоаналог для всякой орбитально устойчивой или почти устойчивой круговой орбиты) и следующее условие, налагаемое в работах [1], [5, 4, 8]и [11] (соответственно [9]): любая окружность {r} × S 1 является сильноустойчивой (соответственно орбитально устойчивой или почти устойчивой) круговой орбитой.
В этом случае риманово многообразие (S, ds2 ) ипару (ds2 , V ) назовем сильно бертрановыми (соответственно слабо бертрановыми, устойчиво бертрановыми).Потенциал V (r) будем называть вполне замыкающим, если все неособые орбиты замкнуты, в этом случае будем называть риманово многообразие (S, ds2 ) и пару (ds2 , V ) — вполне бертрановыми.Если все неособые геодезические замкнуты (т.е. постоянный потенциал V0 = const является вполне замыкающим), то риманову метрикувращения ds2 на S назовем метрикой Таннери, а риманово многообразие (S, ds2 ) — многообразием Таннери [29, гл.
4, теорема 4.13].19Нетрудно показывается, что всякая круговая орбита, являющаясясильно устойчивой (определение 1.9) или орбитально устойчивой, почти устойчива (определение 1.11). Поэтому любой сильно замыкающий илюбой слабо замыкающий (определение 1.12) центральные потенциалыявляются устойчиво замыкающими.Определение 1.13.
Параллель {r0 } × S 1 , где r0 ∈ (a, b), называется экватором, если f 0 (r0 ) = 0. Граничная параллель {r0 } × S 1 ⊂ ∂S,где r0 ∈ {a, b}, называется полюсом (соответственно абсолютом), еслиlimr→r0 f (r) = 0 (соответственно limr→r0 f (r) = +∞). Риманово многообразие вращения с двумя полюсами назовем сферичным [11, §II, definition1]. Сферичное многообразие с одним экватором и неизометричными “северной” и “южной” полусферами назовем грушевидным.Замечание 1.14. (a) Очевидно, что любой вполне замыкающий центральный потенциал V (r) является замыкающим, а любой замыкающий — полулокально замыкающим; любой слабо замыкающий являетсяустойчиво замыкающим, а любой устойчиво замыкающий — полулокально замыкающим. Нетрудно также показывается (см.
теорему 2.7(A)), чтолюбой сильно замыкающий потенциал является слабо замыкающим, илюбой полулокально замыкающий — локально замыкающим, причем существует сильно устойчивая круговая орбита {r = r0 }, на которой значение интеграла кинетического момента K совпадает с K|γ для неособойограниченной некруговой траектории γ из (∃). Тем самым, первые пятьпотенциалов из определения 1.12 являются локально замыкающими (безпредположения об отсутствии на поверхности экваторов, см. ниже).Таким образом, имеет место диаграмма нестрогих включений замыкающих потенциалов, изображенная на рис.
1.2. На самом деле, верноболее точное утверждение 3.13, дающее диаграмму строгих включений,изображенную на рис. 1.1.(b) Мы покажем (теоремы 2.1, 2.3, 2.7(B)), что если поверхностьне имеет экваторов (т.е. таких окружностей {r} × S 1 , что f 0 (r) = 0),то первые пять понятий замыкающего потенциала V (r) (см. определение 1.12) равносильны, причем тройка (f (r), V (r), β) имеет определенный вид (см. теорему 1.5 или теоремы 2.1, 2.3): либо вид (ξfc,0 (±(r −r0 )), Vc,0,i (±(r − r0 )), iξ) для некоторых i ∈ {1, 2}, c ∈ R и ξ ∈ Q ∩ R>0 ,либо вид (fc,d (±(r − r0 ))/µ, Vc,d,2 (±(r − r0 )), 2/µ) для некоторых c ∈ R,d ∈ R \ {0} и µ ∈ Q ∩ R>0 , где {ξfc,0 (r)} и {fc,d (r)/µ} — двупараметрическое и трехпараметрическое семейства функций, определяющие соот20ветствующие семейства римановых многобразий вращения (поверхностиБертрана первого и второго типов, состоящие из одной или двух связныхкомпонент).
Здесь {Vc,0,1 (r)} и {Vc,d,2 (r)} — соответствующие семействазамыкающих центральных потенциалов с точностью до аддитивной иположительной мультипликативной констант, ξ, c, d, µ ∈ R — параметрысемейств (см. таблицу 2.1), β = 2π/Φ — постоянная Бертрана.(c) В отличие от теорем 1.1 и 1.5 Бертрана и Дарбу (а также теоремыПерлика [9]), в наших определениях замыкающего, локально или полулокально замыкающего потенциала не требуется, чтобы все окружности{r} × S 1 являлись сильно устойчивыми (или орбитально устойчивыми)круговыми орбитами.
Лишь в одном определении требуется существование хотя бы одной такой окружности.Рис. 1.2: Диаграмма нестрогих включений классов замыкающих потенциалов1.3Постановка обобщенной задачи БертранаОпределим обобщенную задачу Бертрана. Она является определеннымчастным случаем общей обратной задачи динамики (задачи нахождениязакона сил по известным свойствам траекторий движения). В качестве21конфигурационного многообразия задачи возьмем абстрактную поверхность вращения, т.е. двумерное многообразие S ≈ (a, b)×S 1 с римановойметрикой 1.1.1. Отметим, что доказанные ниже теоремы остаются справедливыми и для более низких классов гладкости функции f .Рассмотрим систему на этом многообразии, состоящую из неподвижного притягивающего центра (“Солнца”) и притягиваемой точки (“планеты”). Обобщенная задача Бертрана заключается в поиске пар (S, V )“многообразие вращения – центральный потенциал”, причем на искомый центральный потенциал накладываются определенные требования,связанные с замкнутостью некоторого множества траекторий движенияточки по многообразию S в поле этого потенциала.
Набор этих требований определяет класс обобщенной задачи Бертрана. Так, в настоящей работе решается обобщенная задача Бертрана для замыкающих, локальнозамыкающих, полулокально замыкающих, сильно и слабо замыкающихпотенциалов на многообразиях без экваторов и для вполне замыкающихи устойчиво замыкающих потенциалов на многообразиях вращения безналожения условия на наличие экваторов (см. определение 1.12 классовбертрановых потенциалов).1.4Описание результатовВ настоящей работе получены следующие результаты по решению обобщенной задачи Бертрана, сформулированной в параграфе “Постановкаобобщенной задачи Бертрана” введения, и исследованию аналитическихи геометрических свойств ее конфигурационных многообразий и натуральных гамильтоновых систем на них.1. Решена задача классификации пар Бертрана для случая многообразий вращения без экваторов и классов замыкающих, локально замыкающих, полулокально замыкающих, сильно замыкающих и слабо замыкающих потенциалов (см.
определение 1.12). А именно, доказано, что намногообразиях вращения с метриками из трехпараметрического семейства ds2µ,c,d , где (c, d) ∈ R2 , µ ∈ Q+ (см. рис. 2.1) потенциалы пяти перечисленных классов совпадают, при этом на многообразиях с метрикамиds2c,0,µ , построенными в настоящей работе, таких потенциалов в точностидва, а на прочих многообразиях семейства (для ненулевого параметраd) потенциал единствен.
Более того, в первом случае потенциалами яв22ляется обобщенный гравитационный и обобщенный осцилляторный, а вовтором — только обобщенный осцилляторный. На иных многообразияхвращения без экваторов не существует потенциалов рассмотренных пятиклассов. Более точно, доказаны следующие теоремы.Первая соответствует случаю d = 0:Теорема A (теорема 2.1). Пусть дана гладкая двумерная поверхностьS, диффеоморфная (a, b) × S 1 , снабженная римановой метрикой (1.1.1)(т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
