Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Отдельно отметим, что в рассмотренной задачи появляются некомпактные слои Лиувилля. С этой точки зрения гамильтоновы системы на многообразиях Бертрана особенно интересны, поскольку если перестройки компактных слоев (торов) полностью известны идля них существует классификационная теория Фоменко–Цишанга, тодля некомпактных перестроек общей теории пока нет. В рассмотренныхпримерах наблюдаются только слои вида “цилиндр”.
При этом возникающие перестройки имеют тип “перестройка тора в цилиндр”. Этот случай113возникает в примерах 2, 3, 4 систем с осцилляторным потенциалом (и соответствует внутренним точкам образа отображения момента, лежащимна некритических “пунктирных” кривых, принадлежащих пополненнойбифуркационной диаграмме, но не бифуркационной диаграмме) и в примерах 1, 3 систем с гравитационным потенциалом (и соответствует точкам на прямой {E = 0}).Заметим в заключение, что перестройки типа “рождение цилиндра” вданном случае возникают исключительно на границе образа отображения момента, не принадлежащей образу (на рисунках изображены пунктиром).Список литературы[1] J.
Bertran, “Théorème relatif au mouvement d’un point attiré vers un centrefixe”, C.R. Acad. Sci. Paris, 77 (1873), 849–853.[2] F. C. Santos, V. Soares, A. C. Tort, “An English translation of Bertrand’stheorem”, arXiv:0704.2396v1, 2007.[3] G. Koenigs, “Sur les lois de force central fonction de la distance pour laquelletoutes les trajectoires sont algébraiques”, Bull. de la Société de France, 17(1889), 153-155.[4] G. Darboux, “Sur un probléme de mécanique”, T. Despeyrous, Cours demécanique, Vol.
2, Note XIV, A. Herman, Paris, 1886, 461–466.[5] G. Darboux, “Étude d’une question relative au mouvement d’un point surune surface de révolution”, Bulletin de la S. M. F., 5 (1877), 100–113.[6] H. Liebmann, “Über die Zentralbewegung in der nichteuklidische Geometrie”,Berichte der Königl. Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaft, Math. Phys.Klasse, Bd. 55 (1903), 146–153.[7] H. Liebmann, “Die Kegelschnitte und die Planetenbewegung imnichteuklidischen Raum”, Berichte der Königl.
Sächsischen Gesellschaftder Wissenschaft, Math. Phys. Klasse, Bd. 54 (1902), 393–423.[8] G. Darboux, “Sur une question relative au mouvement d’un point sur unesurface de révolution”, T. Despeyrous, Cours de mécanique, Vol. 2, Note XV,A. Herman, Paris, 1886, 467–482.[9] V. Perlick, “Bertrand spacetimes”, Class. Quantum Grav., 9 (1992), 1009–1021.[10] A. Ballesteros, A. Enciso, F.J. Herranz, O. Ragnisco, “Hamiltonian systemsadmitting a Runge–Lenz vector and an optimal extension of Bertrand’stheorem to curved manifolds”, Comm.
Math. Phys., 290:3 (2003), 1033–1049.[11] M. Santoprete, “Gravitational and harmonic oscillator potentials on surfacesof revolution”, Journal of Math. Phys., 49:4 (2008), 042903.114[12] А. В. Щепетилов, Анализ и механика на двухточечно-однородных римановых пространствах, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, ИИКИ,Москва-Ижевск, 2008.[13] Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений.
Сочинения по геометрии,Т. II, ГИИТЛ, М.–Л., 1949.[14] W. Bolyai, J. Bolyai, Geometrische Untersuchungen, Teubner, Leipzig, 1913.[15] P. Serret, Théorie nouvelle géométrique et mécanique des lignes a doublecourbure, p. 205, Librave de Mallet-Bachelier, Paris, 1860.[16] F. Schering, “Die Schwerkraft im Gaussischen Räume”, Nachr. der Königl.Gessellschaft der Wissenschaften, 15 (1870), 311–321.[17] R. Lipshitz, “Extension of the planet-problem to a space of n dimensions andconstant integral curvature”, Quart. J.
Pure Appl. Math., 12 (1873), 349–370.[18] W. Killing, “Die Mechanik in den nicht-Euclidishen Raumformer”, J. ReineAngew. Math., Bd. 98 (1885), 1–48.[19] C. Neumann, “Ausdehnung der Kepler’schen Gesetze auf der Fall,dass die Bewegung auf einer Kugelfläche stattfindet”, Gessellschaft derWissenschaften, Math. Phys. Klasse, 38 (1886), 1–2.[20] В.
В. Козлов, “О динамике в пространствах постоянной кривизны”, Классическая динамика в неевклидовых пространствах, Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2004, 147–158.[21] P. W. Higgs, “Dynamical symmetries in a spherical geometry, I”, J. Phys. A.Math. Gen., 12 (1979), 309–323.[22] В. В. Козлов, А. О. Харин, “Задача Кеплера в пространствах постояннойкривизны”, Классическая динамика в неевклидовых пространствах, Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2004, 159–166.[23] Y.
Tikochinsky, “A simplified proof of Bertrand’s theorem”, Am. J. Phys.,56, No. 12 (1988), 1073–1075.[24] А. В. Болсинов, В. В. Козлов, А. Т. Фоменко, “Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случаев динамики твердого тела”, Успехи математических наук, 50, вып.3 (1995),3–32.[25] А. Т. Фоменко, “Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерныхсимплектических многообразиях”, Функц. анализ и его приложения, 25,вып.4 (1991), 23–35.[26] Т. З.
Нгуен, А. Т. Фоменко, “Топологическая классификация интегрируемых невырожденных гамильтонианов на изоэнергетической трехмернойсфере”, Успехи математических наук, 45, вып.6 (1990), 91–111.[27] А. Т. Фоменко, “Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю”, Функц. анализ и его приложения, 22, вып.4(1988), 38–51.[28] Е. А. Кудрявцева, И. М. Никонов, А.
Т. Фоменко, “Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия”, Математический Сборник, 199, номер 9 (2008), 3–96.115[29] A. Besse, Manifolds all of whose geodesics are closed, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg New York, 1978.[30] V. S. Matveev, Topological methods in the theory of integrable systems, Camb.Sci. Publ., Cambridge, 2006.[31] А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, “Интегрируемые геодезические потоки насфере, порожденные системами Горячева-Чаплыгина и Ковалевской в динамике твердого тела”, Математические заметки, 56:2 (1994), 139–142.[32] A. V. Bolsinov, A.
T. Fomenko, “Application of classification theory forintegrable Hamiltonian systems to geodesic flows on 2-sphere and 2-torus andto the description of the topological structure of momentum mapping nearsingular point”, J. Math. Sci., 78:5 (1996), 139–142.[33] А. В. Болсинов, В. С. Матвеев, А. Т. Фоменко, “Двумерные римановы метрики с интегрируемым геодезическим потоком. Локальная и глобальнаягеометрия”, Математический Сборник, 189:10 (1998), 5–32.[34] О. А.
Загрядский, Е. А. Кудрявцева, Д. А. Федосеев, “Обобщение теоремыБертрана на поверхности вращения”, Математический Сборник, 203:8(2012), 39–78.[35] О. А. Загрядский, Д. А. Федосеев, “О глобальной и локальной реализуемости римановых многообразий Бертрана в виде поверхностей вращения”,в печати, Вестник Моск. ун-та. Сер.
1, Математика. Механика, 2015,№ 3.[36] О. А. Загрядский, Д. А. Федосеев, “О явном виде метрик Бертрана”, Вестник Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 2013, № 5, 46–50.[37] Е. А. Кудрявцева, Д. А. Федосеев, “Механические системы с замкнутымиорбитами на многообразиях вращения”, Матем. сб., 206:5 (2015), 107–126.[38] G. Darboux, Leçons sur la Théorie générale des Surfaces et les Allpicationsgéométriques du Calcul infinitésimal, Tome 3.
Ed. Chelsea (3ème édition1972). First edition: Paris: Gauthier-Villars, Vol. 1, 2, 3, and 4 (1894 to 1915).[39] А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы.Геометрия, топология, классификация, УдГУ, Ижевск, 1999.[40] Д. А. Федосеев, “Бифуркационные диаграммы натуральных гамильтоновых систем на многообразиях Бертрана”, Вестник Моск.
ун-та. Сер. 1,Математика. Механика, 2015, № 1, 62–65.[41] Е. А. Кудрявцева, “Аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками”, Докл. РАН, 445:4, 383–385.116.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
