Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Во-первых, ее рангможет быть не максимальным, когда pϕ = 0. В этом случае возникаюттак называемые точки ранга нуль; с механической точки зрения эта ситуация означает, что точка движется по меридиану поверхности и стремится к ее краю, на который выйдет за конечное или бесконечное время,т.е. “падает на звезду”. Выясним, при каких еще условиях ранг даннойматрицы может падать. Вне множества {pϕ = 0} имеем!p2 f 0 (r)ϕgrad H− fϕ3 (r) + V 0 (r) 0 pr f 2p(r).=grad pϕ00 01Условие линейной зависимости градиентов в этом случае приобретаетвидpr = 0; −p2ϕ f 0 (r)+ V 0 (r) = 0.3f (r)Первое условие с механической точки зрения подразумевает движение по круговой орбите r = r0 .

Второе, в силу того, что функция f (r)не имеет нулей на интервале (a, b) по построению конфигурационногомногообразия S, может быть переписано в видеp2ϕ f 0 (r) = V 0 (r)f 3 (r).99(5.2.1)Пусть точка r0 является корнем этого уравнения, причем f 0 (r0 ) 6= 0,другими словами, окружность {r = r0 } не является экватором многообразия.В такомq случае имеется ровно два семейства особых точек ранга 1:03)f (r0 ); каждому из этих семейств отвечает единственr0 , ϕ, 0, ± V (rf00 (r0)ная точка на бифуркационной диаграммеs(K(r0 ), E(r0 )) =±V 0 (r0 )f 3 (r0 ) V 0 (r0 )f (r0 ),+ V (r0 )f 0 (r0 )2f 0 (r0 )!(5.2.2)для отображения момента F = (pϕ , H) : (T ∗ S) \ {pϕ = 0} → R2 .Далее, если r0 является координатой экватора многообразия S, то r0является корнем уравнения (5.2.1) если и только если эта точка является критической для потенциала, т.е.

V 0 (r0 ) = 0. Тогда уравнение (5.2.1)превращается в тождество. Такой экватор мы будемназывать особым;2на бифуркационему соответствует целая парабола K, 2fK2 (r ) + V (r0 )0ной диаграмме.Таким образом показано, что гамильтониан H и дополнительный интеграл F = pϕ функционально независимы, значит, рассматриваемая натуральная механическая система является вполне интегрируемой (но необязательно вполне интегрируемой по Лиувиллю, см. определение 5.3).5.3Пополненные бифуркационные диаграммы натуральных механических систем намногообразиях БертранаТеперь изучим конкретный частный случай гамильтоновых систем намногообразиях вращения: механическую систему на (T ∗ S) \ {pϕ = 0},где S = Sk,c,d = Ik,c,d × S 1 — многообразия Бертрана с метрикой ds2µ,c,d иосцилляторным потенциалом V (r) = θA2 или гравитационном потенциалом V (r) = −A|θ(r)|.

Выше говорилось, что натуральные механическиесистемы на многообразиях вращения не всегда интегрируемы (в смыслеприменимости теоремы Лиувилля). Как было показано О.А. Загрядским,для некоторых многообразий Бертрана семейства ds2µ,c,d это также имеетместо. Тем не менее, оказывается, что изучение лиувиллева слоения, а100также бифуркационных диаграмм и отображения момента таких системостается разумной и интересной задачей.Сначала изучим системы с осцилляторным потенциалом. Подставляя выражения для метрики и потенциала рассматриваемой системы вобщие формулы (5.2.2), легко видеть, что на плоскости R2 (K, E) критические (бифуркационные) кривые могут быть записаны в следующемпараметрическом виде:K 2 (θ) =2θ2 + c2A,E(θ)=A.µ2 (θ4 + d)θ4 + d(5.3.1)Для всех многообразий Бертрана функция H|pθ =0 =: W имеет видµ2 K 2 (θ2 + c − dθ−2 )W = W (θ, K) =+ Aθ−2 .2(5.3.2)Как следствие, уравнение W = E при pϕ = K является биквадратнымуравнением относительно θ:µ2 K 2 θ4 + (µ2 K 2 c − 2E)θ2 + (2A − dµ2 K 2 ) = 0.(5.3.3)Докажем следующую теорему:Теорема 5.4.

Для натуральных механических систем, описывающихдвижения в поле осцилляторного потенциала V (r) = θA2 по многообразиям Бертрана Sk,c,d = Ik,c,d ×S 1 с метрикой ds2µ,c,d справедливы следующиеутверждения об отображении момента, пополненной бифуркационнойдиаграмме и слоях слоения Лиувилля:(i) в случае сфер и конусов ({d = 0, c ≥ 0}) пополненная бифуркационная диаграмма состоит из двух симметричных относительно прямой{K = 0} дуг бифуркационной диаграммы, каждая из которых запараметризована в виде (5.3.1) параметром θ ∈ (−∞, 0), примыкающих кточке (0, 0) на плоскости (K, E); прообраз любой точки которых является окружностью, образованной критическими точками ранга 1;и луча {K = 0, E ≥ 0}, прообраз каждой точки которого пуст; образотображения момента — область, ограниченная снизу объединениемдуг бифуркационной диаграммы и {(0, 0)}, прообразом каждой ее внутренней точки является один компактный слой слоения Лиувилля (см.101рис.

5.1);(ii) в случае полубесконечных поверхностей и плоскости Лобачевского ({d > 0} ∪ {d = 0, c < 0}) пополненная бифуркационная диаграмма состоит из пары симметричных относительно прямой {K = 0}“сплошных” дуг, каждая qиз которых запараметризована в виде (5.3.1)√2параметром θ ∈ (−∞, − −c+ 2c +4d ), прообраз любой точки которыхявляется окружностью, образованной критическими точками ранга 1,пары горизонтальных “пунктирных” лучей (включающих концы), прообраз которых пуст, горизонтального “пунктирного” интервала, соединяющего верхние концы сплошных кривых, в прообразе каждой точкикоторого лежит один некомпактный слой слоения Лиувилля, а также луча {K = 0, E ≥ 0}, прообраз каждой точки которого пуст; образ отображения момента — область, ограниченная снизу объединением {(0, 0)}, сплошных дуг и пунктирных лучей; прообразом каждойего внутренней точки, лежащей выше прямой, содержащей пунктирные лучи, или на пунктирном интервале, является один некомпактныйслой слоения Лиувилля, а прообразом любой точки ниже этой прямой— один компактный слой (см.

рис. 5.2);√(iii) в случае пар полубесконечных поверхностей ({d < 0, c ≤ −2 −d})пополненная бифуркационная диаграмма, образ отображения моментаи слои слоения Лиувилля для основного многообразия устроены так же,как и в случае полубесконечных поверхностей, а для дополнительного многообразия пополненная бифуркационная диаграмма состоит изтрех пар симметричных дуг: пары “сплошных” и двух пар “пунктирных” (включающих концы) и прямой {K = 0}, прообраз точек которой пуст; “сплошные”дуги запараметризованы в виде (5.3.1) параметq√2ром θ ∈ (− −c− 2c +4d , 0), прообраз любой их точки является окружностью, образованной критическими точками ранга 1; образ отображения момента — область, ограниченная снизу сплошными дугами ипунктирными лучами, с вершинами в концах сплошных дуг; прообразом каждой точки внутри криволинейных треугольников, образованных сплошными и пунктирными дугами, является один компактныйслой слоения Лиувилля, прообразом прочих внутренних точек образаявляется один некомпактный слой, а прообраз граничных точек, находящихся на пунктирных дугах, пуст (см.

рис. 5.3);102√(iv) в случае грушевидных поверхностей ({d < 0, c > −2 −d}) пополненная бифуркационная диаграмма, образ отображения момента ислои слоения Лиувилля устроены аналогично предыдущему случаю, однако сплошные дуги пополненной бифуркационнойдиаграммы парамет√4ризованы в виде (5.3.1)параметром θ ∈ (−∞, − −d) для основной по√4верхности и θ ∈ (− −d, 0) для дополнительной поверхности и устроены следующим образом:их верхние концы, соответствующие значению√4параметра θ → − −d, устремляются к бесконечности по обеим координатам, и горизонтальные пунктирные дуги отсутствуют (см. рис.5.4 и 5.5).Доказательство.

Для доказательства теоремы прежде всего опишем,как устроены слои слоения Лиувилля. В данной задаче прообраз (автоматически внутренней) точки образа отображения момента можно понимать как два экземпляра “пояса” на конфигурационном многообразии(при этом пояс характеризуется тем, что это минимальный по включению пояс, в котором целиком лежит траектория, отвечающая соответствующим значениям интегралов), склеенных по границе.

При этом уточек на разных экземплярах пояса, отвечающих одной и той же точкепояса, значения координаты pr равны по модулю и отличаются знаком,а точкам на границах поясов, — по которым проводится склейка, — отвечает значение pr = 0.Как мы покажем чуть ниже, граница такого пояса в данной задаченепуста (а следовательно, прообраз связен и является слоем Лиувилля) и состоит из одной или двух компонент, причем при приближениик бифуркационной точке либо одна компонента остается граничной, адругая стремится к краю многообразия, либо обе компоненты границыстремятся к одной и той же компоненте края многообразия, либо компонента границы единственна и стремится к краю многообразия такимобразом, что пояс сужается.Отсюда видно, что для определения прообраза точки (K, E) образа отображения момента, необходимо изучить эффективный потенциалW (θ, K) из (5.3.2) и число корней уравнения W (·, K) = E, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации