Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Такой конус не может бытьвложен в R3 в виде поверхности вращения.В силу этого соображения интересной задачей становится поиск таких троек параметров (c, d, µ), что отвечающие им многообразия Бертрана с метрикой ds2µ,c,d вкладываются в R3 как поверхности вращения(иными словами, реализуются). Более того, если многообразие не реализуется целиком, имеет смысл поиск максимального по включению реализуемого подмногообразия (a0 , b0 ) × S 1 ⊂ (a, b) × S 1 (поиск реализуемого“пояса”).84Исчерпывающий ответ на обе поставленные задачи содержится в теоремах из следующих двух разделов.4.1.1Глобальная реализуемость римановых многообразий БертранаДокажем следующую теорему, анонсированную в следствии 2.9(B) выше:Теорема 4.1.

Верны следующие утверждения о реализуемости римановых многообразий Бертрана (Ik,c,d × S 1 , ds2µ,c,d ) целиком:1) Дополнительное многообразие не реализуемо никогда;2) Основное многообразие реализуемо тогда и только тогда, когда соответствующая тройка√параметров (µ, c, d) принадлежитp√ следующимобластям: {µ ≥ 2, c ≥ −2 −d, d ≤ 0}∪{1 ≤ µ < 2, c ≥ −2 −d h(µ), d ≤0}, где h ∈ Homeo+ ((0, +∞), R) — сохраняющий ориентацию гомеомор22 )2.физм интервалов, определенный формулой h(µ) := (µ −1)(8+µ27µ4Рассмотрим по очереди различные области изменения тройки параметров (µ, c, d) и докажем результаты о реализуемости соответствующихмногообразий как поверхностей вращения, вложенных в R3 .Многообразие Бертрана (Ik,c,d , ds2µ,c,d ) реализуемо как поверхность вращения, вложенная в трехмерное евклидово пространство, тогда и толькотогда, когда на всем интервале изменения θ ∈ Ik,c,d выполняется неравенство |f 0 ((r(θ)))| ≤ 1.

При этом, поверхность вращенияимеет видRp1 − (f 0 (r))2 dr.x = f (r) cos ϕ, y = f (r) sin ϕ, z = g(r), где g(r) = ±В случае, когда указанное неравенство выполнено только на подынтервалах Ii ∈ Ik,c,d , можно говорить о локальной реализуемости данногомногообразия Бертрана, см. далее.В силу равенства1dr(θ)= 2= µ2 f 2 (r).dθθ + c − dθ−2(4.1.1)−3df dθθ+dθимеем f 0 (r) = dθ= − µ1 (θ2 +c−dθ−2 )1/2 . Воспользовавшись тем, что в инdrтересующее нас неравенство входит модуль производной f и на областиизменения θ функция θ2 + c − dθ−2 положительна, получим следующийвид критерия реализуемости многообразия Бертрана:(θ4 + d)2 ≤ µ2 θ4 (θ4 + cθ2 − d).85(4.1.2)Лемма 4.2.

Дополнительное риманово многообразие Бертрана (k = 2)не реализуемо ни при каких значениях параметров (µ, c, d). Более того,никакая окрестность полюса {0} × S 1 в дополнительном многообразиине реализуема.Доказательство. Дополнительная поверхность Бертрана существуеттолько при d < 0. Но точка θ = 0 является корнем правой части неравенства (4.1.2), в то время как при ненулевых значениях параметра dзначение левой части неравенства в точке θ = 0 равно d2 > 0. Следовательно, в силу непрерывности, неравенство (4.1.2) нарушается вблизиполюса {0} × S 1 .

Лемма доказана.Лемма 4.3. Основное многообразие Бертрана (k = 1) при d = 0 реализуемо тогда и только тогда, когда µ ≥ 1, c ≥ 0. Более того, при0 < µ < 1 нереализуема любая окрестность полюса {−∞} × S 1 ; приµ = 1, c < 0 нереализуема любая окрестность любой параллели;при√µ > 1, c < 0 нереализема любая окрестность абсолюта {− −c} × S 1 .Доказательство. Поскольку интервал изменения θ является подынтервалом луча (−∞, 0), при d = 0 неравенство (4.1.2) приобретает видθ2 (µ2 − 1) + cµ2 ≥ 0.(4.1.3)Рассмотрим следующие случаи:1) µ < 1. В этом случае неравенство (4.1.3) нарушается при θ → −∞,и любая окрестность полюса многообразия не реализуема ни при какихзначениях c.2) µ = 1. Неравенство (4.1.3) принимает вид c ≥ 0, поэтому многообразиереализуемо тогда и только тогда, когда c ≥ 0.3) µ > 1.

Во-первых, в этом случае неравенство (4.1.3) всегда выполненопри c ≥ 0. Докажем, что при отрицательных значениях c оно нарушается. Заметим,q что в этом случае неравенство обращается в равенство2при θ = − µ−cµ2 −1 =: θ− и нарушается при θ ∈ (θ− , 0). С другой стороны, для рассматриваемыхповерхностей интервал изменения θ имеет√вид (−∞, − −c). Таким образом, для√реализуемости многообразия необходимо и достаточно, чтобы θ− ≥ − −c. Вычисление показывает, чтопоследнее неравенство не может быть выполнено ни для каких значенийпараметра µ. Тем самым лемма доказана.86Лемма 4.4.

Основное многообразие Бертрана при d > 0 не реализуемони при каких значениях параметров (µ, c, d). Более того, любая окрестность абсолюта в основном многообразии не реализуема.Доказательство. Этот факт основан на том, что правый конец интервала изменения θ при d > 0 — это корень уравнения θ2 + c − dθ−2 = 0.Отсюда следует, что в этой точке правая часть неравенства (4.1.2) обращается в нуль, а левая строго положительна. Следовательно, в силунепрерывности, вблизи правого конца интервала изменения θ неравенство (4.1.2) нарушается и вблизи абсолюта многообразие не может бытьреализовано.√Лемма 4.5.

Основное многообразие Бертрана при d < 0, c < −2 −d нереализуемо ни при каких значениях параметра µ > 0. Более того, любаяокрестность абсолюта в основном многообразии Бертрана не можетбыть реализована.√Доказательство. В рассматриваемой области {d < 0, c < −2 −d}правая частьнеравенства (4.1.2) имеет нули на луче (−∞, 0) в точкахq√2θ1,2 = − −c± 2c +4t , при этом θ1 (отвечающая знаку “+” перед корнем)является концом интервала изменения параметра θ для основного многообразия Бертрана. Заметим далее, что левая часть неравенства поло√жительна всюду на луче (−∞, 0), за исключением точки θ0 = − 4 −d.Отсюда следует, что если θ1 6= θ0 , то вблизи θ1 правая часть близка кнулю, а левая близка к значению (θ14 +d)2 > 0.

Следовательно, в этом случае вблизи абсолюта {θ1 }×S 1 многообразие не реализуемо ни для какогозначения µ. Вычисления показывают, что θ1 > θ0 . Лемма доказана.√Лемма 4.6. Основное многообразие Бертрана при d < 0, c = −2 −dреализуемо как поверхность вращения, вложенное в R3 , тогда и только тогда, когда µ ≥ 2. Более того, при 0 < µ ≤ 1 любая окрестностьлюбой параллели не может быть реализована, а при 1 < µ < 2 любая окрестность абсолюта в основном многообразии не может бытьреализована.Доказательство. Для римановых многообразий,соответствующих точ√2кам кривой {(c, d) ∈ R | d < 0, c = −2 −d}, неравенство (4.1.2) принимает следующий вид:√(1 − µ)θ4 + −dµθ2 + d ≤ 0.(4.1.4)87Поскольку в рассматриваемом многообразии θ2 −(4.1.4) может быть переписано в виде√(1 − µ)θ2 + −d ≤ 0.√−d > 0, неравенство(4.1.5)Рассмотрим следующие случаи:1) µ < 1.

В этом случае при любом θ ∈ R левая часть неравенства (4.1.5)положительна и неравенство не выполняется. Поэтому вблизи любой параллели {θ0 } × S 1 риманово многообразие нереализуемо.2) µ > 1. Для выполнения неравенства (4.1.5) на всем интервале изменения θ необходимо и достаточно, чтобыq √отрицательный корень уравнения√−d2, был не меньше правого конца(1−µ)θ + −d = 0, равный θ− := − µ−1√интервала изменения θ, то есть точки θ0 = − 4 −d.

Это неравенство выполняется в точности для всех µ ≥ 2. При 1 < µ < 2 неравенство (4.1.4)нарушается на подынтервале (θ− , θ0 ). Лемма доказана.√Лемма 4.7. Основное многообразие Бертрана при d < 0, c > −2 −dреализуемо в следующих областяхизменения параметров и только в√ √µ2 −1(8+µ2 )√них: {d < 0, 1 ≤ µ < 2, −2 −d 3√3µ2≤ c} ∪ {d < 0, µ ≥ 2, −2 −d <c}. Более того, при 0 < µ < 1 или µ = 1, c < 0 любая окрестностьполюса {−∞} × S 1 не может быть реализована.Доказательство.

Докажем прежде всего, что при 0 < µ < 1 основноемногообразие Бертрана нереализуемо. Рассмотрим функцию δ = δ(θ) =(θ4 + d)2 − µ2 θ4 (θ4 + cθ2 − d). Критерий реализуемости (4.1.2) в терминахфункции δ принимает вид δ(θ) ≤ 0. Но заметим, что при 0 < µ < 1δ(θ) → +∞ при θ → −∞, а значит, неравенство нарушается. Более того,заметим, что при µ = 1 поведение функции δ(θ) при θ → −∞ определяется знаком c, а потому при c < 0, µ = 1 многообразие нереализуемо.Покажем теперь, что при c ≥ 0 многообразия реализуются при всехµ ≥ 1.

Для этого вычислим производнуюδ 0 (θ) = 2θ3 (4(1 − µ2 )θ4 − 3µ2 cθ2 + 2t(2 + µ2 )).√√Заметим, что в концах a := −∞ и b := − 4 −d интервала (a, b) = (−∞, − 4 −d)изменения θ выполнены следующие неравенства: δ(a) < 0, δ(b) < 0,δ 0 (a) > 0, δ 0 (b) > 0. Это означает, в частности, что если на промежутке(a, b) содержится не более одного корня уравнения δ 0 (θ) = 0, то на всем88этом промежутке δ(θ) < 0. Проверка показывает, что при c ≥ 0 имеетместо именно этот случай.Наконец, покажем, что при отрицательных значениях c многообразиереализуемо только при µ ∈ [µ1 , ∞).

Характеристики

Список файлов диссертации