Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294)
Текст из файла
Московский государственный университет имени М.В. ЛомоносоваМеханико-математический факультетна правах рукописиУДК 514.853Федосеев Денис АлександровичКонфигурационные многообразия обобщеннойзадачи Бертрана и гамильтоновы системы01.01.04 — геометрия и топологиядиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучные руководители:Академик А.Т. ФоменкоДоцент Е.А. КудрявцеваМосква – 2015Оглавление1 Введение1.1 История вопроса и классические результаты1.2 Необходимые определения . .
. . . . . . . .1.3 Постановка обобщенной задачи Бертрана .1.4 Описание результатов . . . . . . . . . . . . .....................................2 Обобщенная задача Бертрана на многообразиях вращения без экваторов2.1 Формулировка основных результатов . . . . . . . . . . . . .2.1.1 Решение обобщенной задачи Бертрана . . . . .
. . .2.1.2 Геометрия и классификация поверхностей Бертрана2.2 Доказательство основных утверждений . . . . . . . . . . . .2.2.1 Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . .2.2.2 Частный случай: конус . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3 Общий случай движения в центральном поле сил . .3 Обобщенная задача Бертрана на многообразиях вращения с экваторами3.1 Принцип Мопертюи и некоторые вспомогательные утверждения . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.1 Принцип Мопертюи и вполне бертрановы многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1.2 Некоторые свойства вполне бертрановых пар . . . .3.2 Классификация вполне бертрановых пар . . . . . . .
. . . .3.3 Случай цилиндра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.4 Классификация устойчиво бертрановых пар . . . . . . . . .3.5 Обоснование диаграммы включения классов замыкающихпотенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235162021313131354545485058595961697779804 Некоторые геометрические и аналитические свойства многообразий Бертрана с метрикой ds2µ,c,d834.1 Реализуемость многообразий Бертрана .
. . . . . . . . . . . 834.1.1 Глобальная реализуемость римановых многообразийБертрана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1.2 Локальная реализуемость римановых многообразийБертрана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.2 Явный вид метрики . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935 Гамильтоновы системы5.1 Некоторые определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 Гамильтоновы системы на многообразиях вращения . . . .5.3 Пополненные бифуркационные диаграммы натуральных механических систем на многообразиях Бертрана . . . . . . .Список литературы . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .395959799113Глава 1ВведениеОбратная задача динамики в области небесной механики впервые быласформулирована французским математиком Ж. Бертраном в 1873 году. Он задался вопросом, каким должен быть закон притяжения планеты звездой, если все траектории ее движения (при условии не слишкомбольшой начальной скорости) — замкнутые кривые. Задача ставиласьдля движения в трехмерном евклидовом пространстве R3 , но, посколькупритягивающий потенциал полагался центральным, естественным образом индуцировалась на движение в плоскости. Эта задача (на самомделе, с некоторыми дополнительными техническими условиями на существование и свойства замкнутых траекторий) была успешно решенасамим Ж.
Бертраном в работе [1] (см. также английский перевод [2]).В силу естественности поставленной задачи, за оригинальной работой Бертрана последовали различные попытки ее обобщения. В качестведвух направлений обобщения следует выделить изменение требований наначальные условия, порождающие замкнутые траектории, на существование траекторий с определенными свойствами (иными словами, поискпотенциалов с различными свойствами, такие потенциалы в дальнейшембудут именоваться бертрановыми потенциалами различных классов) ирассмотрение различных многообразий вращения в качестве конфигурационного многообразия задачи.
Иными словами, рассмотрение иныхклассов потенциалов и конфигурационных многообразий задачи. Средиученых, занимавшихся обобщением задачи Бертрана, следует выделитьГ. Кёнигса, Х. Либмана, Г. Дарбу, В. Перлика, М. Сантопрете и других.Наиболее полное решение обобщенной задачи Бертрана на многообразиях без экваторов (частичный ответ на которую был ранее получен в4работах Дарбу [4, 5, 8] и Сантопрете [11]) удалось получить В.
Перлику[9], а затем О.А. Загрядскому, Е.А. Кудрявцевой и автору в 2011 году вработе [34]. При этом задача Бертрана на многообразиях с экваторамиоставалась не до конца решенной. Существенное продвижение в ее решении произошло в 2014 году, когда в работе [37] удалось построить полнуюклассификацию пар Бертрана для вполне замыкающих и устойчиво замыкающих центральных потенциалов (см. определения 1.12, 1.11).Кроме того, был получен ряд результатов о геометрии конфигурационных многообразий обобщенной задачи Бертрана (работы [35, 36]) ио свойствах отображения момента и бифуркационных диаграмм, возникающих при анализе натуральных гамильтоновых систем на этих многообразиях (движение в поле осцилляторного потенциала, движение вполе гравитационного потенциала), см.
работу автора [40]. В этом аспекте данные системы особенно интересны, поскольку предоставляют естественный и простой пример систем с некомпактными слоями Лиувилля иих нетривиальными перестройками, для которых пока почти нет общейклассификационной теории (см. работу [41]).Настоящая работа имеет следующую структуру. Во введении даетсяистория задачи Бертрана, вводятся необходимые определения, приводится строгая постановка обобщенной задачи Бертрана в той форме, решению которой посвящена настоящая работа, и формулируются основныеполученные результаты. Глава 2 посвящена решению поставленной задачи для случая отсутствия экваторов у конфигурационных многообразий.
В частности, дается классификация бертрановых пар пяти классов иописывается их геометрия. В главе 3 решается задача Бертрана на многообразиях с экваторами для случая вполне замыкающих и устойчивозамыкающих потенциалов. Для этого в §3.1 приводится формулировкапринципа Мопертюи и доказывается ряд вспомогательных утверждений.В §3.2 доказывается классификационная теорема для вполне бертрановых пар. В §3.3 рассматривается задача Бертрана на цилиндре. В §3.4дается решение обобщенной задачи Бертрана для устойчиво замыкающих потенциалов. Глава 4 посвящена геометрическим и аналитическимсвойствам многообразий Бертрана.
А именно, в §4.1 доказываются теоремы о реализуемости многообразий Бертрана в виде поверхностей вращения, вложенных в R3 , а в §4.2 формулируется теорема о явном виде бертрановых метрик. Глава 5 посвящена изучению натуральных механических систем на многообразиях Бертрана с бертрановыми потенциаламикак интегрируемых гамильтоновых систем. В §5.1 даются необходимые5определения, §5.2 посвящен общим свойствам гамильтоновых систем намногообразиях вращения, в §5.3 построены бифуркационные диаграммыдля систем на многообразиях, классификация которых была получена вглаве 2.Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику РАН Анатолию Тимофеевичу Фоменко за постановкузадачи и неоценимую помощь на всех этапах написания работы. Авторблагодарен своему научному руководителю доценту Е.А.
Кудрявцевойза многочисленные плодотворные дискуссии и ценные замечания и комментарии к работе, а также А.В. Болсинову, А.А. Ошемкову, А.С. Мищенко, И.Х. Сабитову, В.О. Мантурову и О.А. Загрядскому за полезные обсуждения задачи. Автор благодарен всем сотрудникам кафедрыдифференциальной геометрии и приложений механико-математическогофакультета МГУ за поддержку и царящую на кафедре творческую атмосферу.1.1История вопроса и классические результатыЗадача, сейчас носящая название “задача Бертрана”, была впервые поставлена Ж. Бертраном в 1873 году в работе [1].
Задача формулировалась следующим образом: найти закон силы притяжения, если оназависит только от расстояния и заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только начальная скорость точки меньше некоторого предела. Иначе можно сказать, что классическая задача Бертрана — это обратная задача динамики на плоскости (поиск закона сил по известнымсвойствам траекторий) в частном случае центральной потенциальной силы и замкнутости всех ограниченных траекторий. Следует отметить, чтозадача возникла из небесной механики, а потому ставилась для движения в трехмерном евклидовом пространстве, но в силу центральностиискомой силы индуцируется на плоскость.В той же работе (имеется также английский перевод [2]) Бертран далрешение поставленной задачи: он доказал, что существует только два (сточностью до аддитивной и положительной мультипликативной константы) потенциала с искомыми свойствами, причем это в точности ньюто-6новский (то есть гравитационный) и гуковский (то есть осцилляторный)потенциалы, которым соответствуют силы (записанные в естественныхполярных координатах на плоскости) − rG2 и −kr, а уравнения движения22точки имеют вид dtd 2 ~r = − rG3 ~r либо dtd 2 ~r = −k~r, где ~r = ~r(t) ∈ R3 – радиусвектор точки (планеты); r = |~r|, G = const > 0, k = const > 0.
Впрочем,как было недавно установлено, доказательство Бертрана требовало существенно более сильных условий на потенциал, нежели “все ограниченные траектории замкнуты” (см. теорему 1.5 и обсуждение после нее);выяснилось, что задача была решена для так называемых сильно замыкающих потенциалов (см. определение 1.12), которые характеризуютсятребованием, чтобы каждая круговая орбита являлась сильно устойчивой. Однако, как показывает один из результатов настоящей работы (см.теорему 2.1), ответ, полученный Бертраном, верен и для задачи в изначальной постановке.Была также поставлена и решена сходная задача (Г.
Кёнигс [3]): Зная,что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложенияописывать алгебраическую кривую, каковы бы ни были начальные условия, причем существуют ограниченные неособые некруговые орбиты,найти закон этой силы.Ответ на задачу Кенигса оказался таким же, как и для задачи Бертрана. Первая задача была решена Ж.Бертраном и Г. Дарбу [1, 4], см.также [4, 5]. Вторая решена Г.
Кёнигсом [3].Говоря более строго, в работе [1] Ж. Бертраном была сформулирована и доказана следующая теорема (в действительности, при дополнительном предположении о том, что центральный потенциал являетсясильно замыкающим, см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
