Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 2
Текст из файла (страница 2)
определение 1.12).Теорема 1.1 (Ж. Бертран, 1873 [1]). В евклидовом пространстве существуют ровно 2 закона притяжения с аналитическим центральнымпотенциалом, при которых всякая траектория точки P, движущейсявокруг неподвижной точки O (при условии, что координаты начального положения точки и компоненты её начальной скорости не пропорциональны и начальная скорость точки меньше некоторого предела,зависящего от начального положения точки P ), является замкнутой,причем необязательно несамопересекающейся. Этими законами являются закон Ньютона с силой притяжения F1 = − rG2 и закон Гука ссилой притяжения F2 = −kr, где G > 0, k > 0.
Для закона сил Fβ7неособые (т.е. не содержащиеся в прямой, проходящей через притягивающий центр) ограниченные некруговые орбиты задаются периодическими функциями r = r(ϕ) с минимальным положительным периодомΦβ = 2π/β, β = 1, 2.Причем в случае обоих потенциалов (ньютоновского, т.е. гравитаци2онного, V1 (r) = − Gr и гуковского, т.е. осцилляторного, V2 (r) = k r2 ) геометрический вид орбит один и тот же: это конические сечения, а в случаезамкнутых орбит — эллипсы с фокусом или центром в точке притяжения.Рассуждения, содержащиеся в работах [1, 6, 7], основаны на следующем техническом утверждении, вытекающем из работы [1], которое мыбудем называть технической теоремой Бертрана.Теорема 1.2 (Ж. Бертран [1], техническая теорема). Рассмотрим одно1d2 zпараметрическое семейство дифференциальных уравнений dϕ2 +z = K 2 Ψ(z)на луче z > 0 с параметром K ∈ R \ {0}, где Ψ = Ψ(z) – аналитическаяфункция, такая что Ψ(z) > 0.
(Функция K12 Ψ(z) называется силовойили функцией внешних сил, а функция −z — центробежной силой иливнутренней силой). Функцию Ψ(z) назовем рационально замыкающей,если (i) для всех K все ограниченные непостоянные решения z = z(ϕ) являются периодическими функциями с периодами, соизмеримыми с 2π,(ii) всякая точка z > 0 является невырожденнымустойчивым полоpжением равновесия уравнения при |K| = Ψ(z)/z. Существуют две итолько две рационально замыкающие функции Ψ с точностью до мультипликативной константы: Ψ(z) = zβA2 −1 , где β ∈ {1, 2}, A > 0 — произвольная мультипликативная константа. При этом все ограниченныенепостоянные решения являются периодическими функциями с минимальным положительным периодом Φ = 2π/β.В действительности, теорема 1.2 и некоторые ограничения в ней нафункцию Ψ(z) и мультипликативную константу A (а именно: Ψ(z) > 0,A > 0) не были явно сформулированы в [1], однако именно при этих ограничениях эта теорема доказана в [1]. Теорема 1.2 является в некоторомсмысле переформулировкой теоремы 1.1: здесь z = 1r , функция z(ϕ) характеризует зависимость r(ϕ) расстояния от угла, 2π/β−периодичностькоторой (при рациональном β > 0) отвечает за замкнутость траекториидвижения точки, а функция −Ψ(z) есть производная от потенциала V ( z1 )по переменной z = z(r).8В дальнейшем 1−параметрическое семейство дифференциальных урав1d2 zнений вида dϕ2 + z = K 2 Ψ(z), K ∈ R \ {0}, будем называть семействомуравнений Бертрана.
Из теоремы 1.2 следует, что если уравнения орбитточки z(ϕ) образуют семейство уравнений Бертрана, где K — значениеинтеграла кинетического момента, то из условия замкнутости ограниченных орбит (и существования таких орбит) следует, что потенциал V (r)имеет один из двух определенных видов (с точностью до аддитивной имультипликативной констант).Определение 1.3. Константу β ∈ Q>0 назовем постоянной Бертрана, если неособые ограниченные орбиты являются графиками периодической функции r = r(ϕ) с минимальным положительным периодомΦ = 2π/β.В теоремах 1.1, 1.2 имеем β ∈ {1, 2}; β ∈ Q>0 в теореме 2.1; β = 2/µв теореме 2.3.Замечание 1.4. Вообще говоря, идею замкнутости траекторий можнонесколько расширить.
Если в условии (i) теоремы 1.2 потребовать соизмеримость всех периодов с числом 2π/ξ (вместо 2π) при некоторомξ > 0, получим определение 2π/ξ-замыкающей функции. Как показывают доказательства технической теоремы 1.2 в работах [1, 7], ее утверждение останется верным, если в условии (i) потребовать лишь попарную соизмеримость периодов (вместо соизмеримости с 2π). Поэтому прииррациональном ξ не существует ни одной 2π/ξ-замыкающей функцииΨ. Отсюда следует обобщение теоремы 1.1 Бертрана на случай всех (необязательно рациональных) конусов (см.
следствие 2.2), а также обобщение теоремы Либмана [6] на случай всех (не обязательно рациональных)“вещественных разветвленных накрытий” проколотой полусферы и проколотой плоскости Лобачевского (см. теорему 2.1 при c 6= 0).Динамика и геометрия движения на римановых многообразиях вращения (т.е. допускающих действие окружности изометриями) в поле центрального потенциала многократно и плодотворно рассматривалась.
Так,аналог ньютоновской силы как величины, обратной площади сферы радиуса r, для пространства H 3 предложил ещё Н.И. Лобачевский [13] иЯ. Больяи [14]. В 1860 г. П. Серре в работе [15] определил аналог гравитационного потенциала на сфере и решил задачу Кеплера на ней. В 1870 г.Ф. Шеринг написал аналитическое выражение для потенциала Ньютона9на H 3 [16]. В 1873 г. Р. Липшиц рассмотрел движение тела в центральномполе на сфере S 2 со стандартной метрикой, однако вместо потенциала− tg1 r он рассмотрел потенциал − sin1 r . Он нашел общее решение этой задачи в эллиптических функциях [17]. В 1885 г.
В. Киллинг обобщил законыКеплера на сферу S 3 , оснащенную стандартной метрикой [18]. ПодобноЛобачевскому и Больяи, он рассматривал силу притяжения как величину, обратную площади двумерной сферы радиуса r в S 3 . В следующемгоду эти результаты были заново получены К. Нейманом [19]. В работе [18] В. Киллинг также доказал, что переменные в задаче Кеплера сдвумя притягивающими центрами на сфере S n со стандартной метрикойразделяются, что влечёт интегрируемость задачи. В 1902 г. Г.
Либман[6, 7] перенёс эти результаты на H 3 .В 1940-х годах этот вопрос рассматривался в рамках теории относительности, а именно решалась квантово-механическая одночастичнаяспектральная задача для ньютоновского потенциала на сфере S 3 Э. Шрёдингером и Стивенсоном, на H 3 Инфельдом и Шильдом. В 1980-х годахцентральные потенциалы в рамках теории относительности на S 3 , H 3 , S nисследовались Ю.А.
Курочкиным, В.С. Отчиком, А.А. Богушем, Г. Лимоном. В 1994 году В.В. Козлов переоткрыл законы Кеплера для пространств постоянной секционной кривизны [20]. В этом же году он вместес Ю.Н. Фёдоровым установил интегрируемость классического движенияодной частицы по сфере S n в поле, создаваемом гуковскими потенциалами, расположенными в 2(n + 1) точках пересечения сферы с координатными осями.Что касается обратной задачи динамики, то в силу естественностипоставленной Бертраном задачи, за его работой последовали её различные обобщения. В первую очередь были рассмотрены обобщения в смысле изучения других конфигурационных многообразий задачи — заменаплоскости на другие многообразия вращения.
Упомянутым выше Г. Либманом задача Бертрана была решена в 1903 году на полусферах и плоскостях Лобачевского, причем ответ оказался прежним: искомыми потенциалами оказались гравитационный и осцилляторный. Обобщение результатов на случай n−мерной сферы S n было получено П. Хиггсом в 1979году [21], а частный случай для S 3 — Я.Е. Славяновским в 1980; ответоказался аналогичным. Перечисленные результаты многократно переоткрывались. Так, к примеру, в 1992 году результат Либмана для задачина полусфере был заново получен В.В. Козловым и А.О. Хариным [22].10Первый результат, связанный не с изучением потенциалов на даннойповерхности, но с поиском пар “многообразие – центральный потенциалс заданными свойствами замыкания траекторий”, принадлежит Дарбу(1877, [5], а затем 1886, [4]). Анализ его работы (необходимый, поскольку,как и в случае с первоначальной работой Бертрана, в действительностидоказанное не вполне совпадает с формулировкой теоремы) показывает,что из его (промежуточных) вычислений следует классификация бертрановых пар, в которых конфигурационным многообразием являетсяриманово многообразие вращения (не обязательно вложенной в R3 ) безэкваторов, а центральный потенциал — сильно замыкающий (см.
теорему 1.5 ниже). В качестве (ошибочного) окончательного результата Дарбу сформулировал (ошибочную) классификацию поверхностей вращения(реализуемых вложение в R3 ) без экваторов, допускающих такие потенциалы, однако она оказалась неполной, так как содержала лишь многообразия вращения с µ = 1 (см. теоремы 2.1, 2.3); и потому в его (ошибочную) классификацию не попали поверхности постоянной отрицательнойкривизны.В дальнейшем будем рассматривать многообразия S ≈ (a, b) × S 1 сримановой метрикойds2 = dr2 + f 2 (r)dϕ2 ,(r, ϕ mod 2π) ∈ (a, b) × S 1 ,(1.1.1)где f = f (r) — бесконечно гладкая и положительная функция на интервале (a, b), −∞ ≤ a < b ≤ ∞.Из работы Г.
Дарбу [5] 1877 г. (см. также [8, 9]) вытекает следующееутверждение.Теорема 1.5 (Г. Дарбу [5, 8], пары поверхность-потенциал Бертрана).Пусть на поверхности S с римановой метрикой (1.1.1) задан центральный потенциал V = V (r), где f, V — функции класса C ∞ , не имеющиекритических точек. Потенциал V является сильно замыкающим (см.определение 1.12) в том и только том случае, когда в координатах (V, ϕmod 2π) риманова метрика на S имеет хотя бы один из следующих видов:dϕ2A dV 2+ds2 = 2β (AV 2 − BV + C)2 AV 2 − BV + Cилиds2 =A dV 2dϕ2+,β 2 (−V − K)3 (A/(−V − K) − BV + C)2 A/(−V − K) − BV + C11где A, B, C, K ∈ R, β ∈ Q∩R>0 — константы, причем −2AV +B > 0 или−A/(V + K)2 + B > 0 соответственно. При этом неособые ограниченные некруговые орбиты задаются периодическими функциями r = r(ϕ)с минимальным положительным периодом Φ = 2π/β.
Поверхности одного вида, отвечающие наборам (β, A, B, C) и (β/α, α2 A, α2 B, α2 C) приα ∈ Q ∩ R>0 , локально изометричны друг другу.В действительности, теорема 1.5 и указанные в ней формулы дляримановой метрики, как и ограничения на функции f, V и константыA, B, K, не были явно сформулированы в работах [5, 8] (посвященных восновном реализуемым поверхностям вращения в R3 , а не абстрактнымповерхностям вращения). Однако именно при этих ограничениях эта теорема фактически доказана в [5, 8]. (Точнее, указанные выше формулыдля римановой метрики следуют из формулы (15.17) работы [8] путемподстановки в нее решений (15.10) и (15.11) с учетом соотношения (15.8)и обозначений (15.4), а остальные утверждения теоремы 1.5 следуют изсоотношений (15.3) и (15.19) работы [8].)Следующим продвижением в этой области стала работа В.
Перлика [9], который в 1992 году получил классификацию пар Бертрана длямногообразий без экваторов и слабо замыкающих центральных потенциалов. Перлик обобщил теорему 1.5 Дарбу (в других обозначениях) наболее широкий класс поверхностей и потенциалов: на поверхности классаC 5 без экваторов и слабо замыкающие центральные потенциалы классаC 5 (ослабив условие сильной устойчивости всех круговых орбит до их орбитальной устойчивости), выразив риманову метрику через координаты(f, ϕ mod 2π) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
