Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Пусть функция f удовлетворяет тождеству f 00 f − (f 0 )2 = −ξ 2 , где ξ > 0 рационально, т.е. f имеет32один из следующих видов:±ξ(r − r0 ),√ξ√ sin( c(r − r0 )),f (r) = ξfc (r − α) :=c√ξ ± √ sh( −c(r − r0 )),−cc = 0,c > 0,(2.1.1)c < 0,где c — половина скалярной кривизны Римана этой поверхности; в данном случае кривизна постоянна; 2πξ — полный угол в конической точкеповерхности (центре поля). Пусть, далее, функция f 0 (r) не имеет нулей на интервале (a, b).

Тогда в классе центральных потенциалов на Sсуществуют два и только два (с точностью до аддитивной и мультипликативной констант) полулокально замыкающих (соответственнолокально замыкающих, замыкающих, сильно или слабо замыкающих)потенциала V1 (r), V2 (r).Эти замыкающие потенциалы являются обобщенными гравитационным V1 (r) и осцилляторным V2 (r), т.е. имеют вид2Vi (r) = (−1)i A|θ(r)|2−i /i q+ B, i = 1, 2, где A > 0, B — некоторые кон02(r)= ± f 2ξ(r) − c.

Соответствующие потенциалустанты, θ(r) = − ff (r)Vi (r) неособые некруговые ограниченные орбиты задаются периодическими функциями r = r(ϕ) с минимальным положительным периодомΦi = 2π, i = 1, 2. При этом на фазовой траектории, отвечающей круiξговой орбите {r} ×qS 1 ⊂ (a, b) × S 1 , значение кинетического моментаAi, i = 1, 2. Граничная окружность {r̂} × S 1 ,K равно Ki = ±ξ |θ(r)|i2на которой достигается inf f (r) (т.е.

sup |Θ(r)|), является притягивающим центром поля с замыкающим потенциалом Vi (r) (т.е. на нейдостигается inf Vi (r)).Пусть ξ = pq . Тогда q−листное накрытие S̃ всякой такой поверхности S может быть представлено как разветвленное p−листное накрытие(с одной или двумя точками ветвления) одной из трех “базисных” поверхностей: евклидова плоскость, сфера, плоскость Лобачевского.

Здесьнакрывающее пространство S̃ определено следующим свойством: это такое разветвленное накрытие минимальной степени, которое локальноизометрично накрывает проколотую плоскость (соответственно сферу,плоскость Лобачевского).33В виде иллюстрации подробно рассмотрим частный случай теоремы2.1: случай конуса (т.е. c = 0), не обязательно вложенного в трехмерноеобъемлющее пространство в виде поверхности вращения (т.е. не обязательно ξ ≤ 1).Следствие 2.2. (C ∞ -гладкие замыкающие центральные потенциалы на конусах) Пусть задан стандартный конус S ≈ (0, +∞)×S 1с римановой метрикойds2 = dr2 + ξ 2 r2 dϕ2 ,(r, ϕ mod 2π) ∈ (0, +∞) × S 1 ,(2.1.2)где ξ > 0, т.е.

угол при вершине конуса равен 2πξ. Если ξ не является рациональным, то не существует замыкающих (соответственно локально, полулокально, сильно или слабо замыкающих) центральных потенциалов на рассматриваемом конусе. Если ξ рационально, тосуществует два и только два (с точностью до аддитивной и мультипликативной констант) замыкающих (соответственно локально,полулокально, сильно или слабо замыкающих) центральных потенциала на конусе: гравитационный и осцилляторный потенциалы Vi (r) =2(−1)i Ari −2 /i + B, i = 1, 2, где A > 0, B — произвольные константы.

Соответствующие неособые некруговые ограниченные орбиты задаютсяпериодическими функциями r = r(ϕ) с минимальным положительнымпериодом Φi = 2π/(iξ). Вершина конуса {0} × S 1 является притягивающим центром поля для каждого потенциала V1 , V2 .В частном случае сильно замыкающих аналитических потенциаловтеорема 2.1 и следствие 2.2 вытекают из усиления технической теоремы1.2 Бертрана (см.

замечание 1.4), а при дополнительном условии ξ ≤ 1— из теоремы 1.6 Сантопрете.Теорема 2.3. (C ∞ −гладкая теорема для поверхностей Бертрана второго типа) Пусть дана гладкая двумерная поверхность S, диффеоморфная (a, b) × S 1 , снабженная римановой метрикой (1.1.1). Пустьфункция f не удовлетворяет тождеству f 00 f − (f 0 )2 = −ξ 2 ни для какого рационального ξ > 0, и пусть функция f (r) не имеет критическихточек на (a, b). Тогда существует не более одного полулокально замыкающего (соответственно локально замыкающего, замыкающего, сильно или слабо замыкающего) центрального потенциала (с точностьюдо аддитивной и мультипликативной констант).

При этом потенциал ровно один (с точностью до аддитивной и мультипликативной34констант) тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие:существует гладкая функция θ = θ(r) без нулей на (a, b), такая чтоθ0 (r) > 0 и риманова метрика в координатах (θ, ϕ mod 2π) имеет видdθ2dϕ2,ds = 2+(θ + c − dθ−2 )2 µ2 (θ2 + c − dθ−2 )2(2.1.3)где µ — положительная рациональная константа, d — ненулевая константа, а c — произвольная вещественная константа.При этом функция θ(r) и тройка чисел (µ, c, d) единственны (если существуют), и замыкающий потенциал будет являться обобщенным осцилляторным, т.е.

иметь вид V2 (r) = 2θ2A(r) + B, где A, B ∈ R,A(θ4 (r) + d) > 0. Соответствующие неособые некруговые ограниченныеорбиты задаются периодическими функциями r = r(ϕ) с минимальнымположительным периодом Φ = πµ. На фазовой траектории, отвечающей круговой орбите {r} ×qS 1 ⊂ (a, b) × S 1 , значение кинетическогоAмомента K равно K = ± µ1 θ4 (r)+d; граничная окружность {r0 } × S 1 ,на которой достигается inf f (r) (т.е. sup A|θ(r)|), является притягивающим центром поля с замыкающим потенциалом V2 (т.е.

на нейдостигается inf V2 (r)).Замечание 2.4. Отметим, что каждая из теорем 2.1, 2.3, а так же 2.7(см. далее) предполагает лишь C ∞ -гладкость (а не обязательно аналитичность) функций f (r), V (r), и включает в себя пять утверждений:1) описание замыкающих центральных потенциалов,2) описание полулокально замыкающих центральных потенциалов,3) описание локально замыкающих центральных потенциалов,4) описание сильно замыкающих центральных потенциалов,5) описание слабо замыкающих центральных потенциалов.В условии теорем 2.1, 2.3 и 2.7 все пять классов потенциалов совпадаютдля абстрактных поверхностей вращения без экваторов (см.

замечание1.14(b)). В теоремах 2.1, 2.3 и 2.7 данной работы (как и в [1], [5, 4, 8],[9], [11]) не рассматриваются поверхности с экваторами, например, цилиндр. Предположение об отсутствии экваторов существенно, так как35все поверхности вращения с замкнутыми геодезическими (т.е. поверхности Таннери [29, теорема 4.13]) обладают замыкающим центральнымпотенциалом, равным константе.

См. также главу 3 настоящей работы,в котором решена задача Бертрана без условия на экваторы для двухклассов потенциалов. Можно показать, что при отсутствии экваторовусловие (2.1.3) при c, d ∈ R, как условие на функцию f, равносильнобиквадратному уравнению из теоремы 1.6 Сантопрете на постояннуюБертрана β := 2π/Φ = i/µ, зависящую от типа сильно замыкающегопотенциала Vi , i = 1, 2.Замечание 2.5. Если в теореме 2.3 положить d = 0, µ = 1ξ , то соответствующие поверхности в действительности совпадут с поверхностями,описанными в теореме 2.1, а потенциал — с осцилляторным потенциалом V2 (r).

Пары поверхность-потенциал из теорем 2.1 и 2.3, очевидно,совпадают с парами из теоремы 1.5 Дарбу. Трехпараметрическое семейство пар (fβ,K (r), VK,G (r)) из работы Перлика [9] совпадает с описаннымв теореме 2.1 семейством для гравитационного потенциала с мультипликативной константой A1 = ξ/2, где β := ξ, K := −cµ2 , G := −2B– параметры семейства в [9]. Четырехпараметрическое семейство пар(fβ,D,K (r), VD,K,G (r)) из работы Перлика [9] совпадает с описанным в теореме 2.3 семейством (при любом d ∈ R) для мультипликативной константы A2 = ±1/(2µ2 ), где β := 2/µ, D := µ2 c, K := −4µ4 d, G := −2B —параметры семейства в [9].2.1.2Геометрия и классификация поверхностей БертранаНиже мы построим единое семейство максимальных аналитических (вообще говоря, несвязных) поверхностей, содержащих в себе любую из поверхностей, описанных в теоремах 2.1 и 2.3, и изучим геометрию и классификацию этих поверхностей.Рассмотрим семейство функций Qc,d (θ) := θ2 + c − dθ−2 , c, d ∈ R.Обозначимkc,dIc,d := {θ ∈ R | θ < 0, Qc,d (θ) > 0,Q0c,d (θ)6= 0} =:[Ic,d,k ,k=1где Ic,d,k = (θc,d,k, min , θc,d,k, max ) ⊂ Ic,d — максимальный по включениюинтервал, k – номер интервала, kc,d – количество интервалов, т.е.

kc,d := 136при d ≥ 0 и kc,d := 2 при d < 0. Пусть rc,d (θ) =первообразная в области Ic,d .RdθQc,d (θ)— некотораяЗамечание 2.6. Функции rc,d (θ) и максимальные интервалы Ic,d,k в зависимости от (c, d) ∈ R2 могут быть заданы явными формулами. А именно, обозначим ∆ = ∆(c, d) := c2 + 4d. Касающиеся друг друга прямая{d = 0} и парабола {∆ = 0} разбивают плоскость R2 на следующиеподмножества: области Ω1 = {∆ > 0, d < 0 < c}, Ω2 = {d > 0},Ω3 = {c < 0, d < 0 < ∆}, Ω4 = {∆ < 0}, кривые `1 = {d = 0 < c},`2 = {c < 0 = d}, `3 = {c < 0 = ∆}, `4 = {∆ = 0 < c} и точку{(0, 0)} (см.

рис. 2.1). В области Ωi через xi = xi (c, d) и yi = yi (c, d),(c, d) ∈ Ωi , i ∈ {1, 2, 3, 4}, обозначим следующие функции:sss√√√c− ∆−c + ∆−d c,x2 = x3 :=,x4 :=− ,x1 :=2224sss√√√c+ ∆−c − ∆−d cy1 = y2 :=,y3 :=,y4 :=+ .222437Тогда функция rc,d (θ) может быть задана следующими формулами:1− , (c, d) = (0, 0),θθ1θ−x1 arctg+ y1 arctg, (c, d) ∈ Ω1 ,22−xyxy11111θarctg , (c, d) ∈ `1 ,y1y1x2 θ − x2 1θln , (c, d) ∈ Ω2 ,+ y2 arctg22x2 + y2 2θ + x2y2 θ − x2 1 , (c, d) ∈ `2 ,ln rc,d (θ) =2xθ+x221x3 θ − x3 y3 θ − y3 ln− ln , (c, d) ∈ Ω3 ,x23 − y32 2 θ + x3 2θ + y3  θ + x3 11 θ−ln− 22 θ − x3 , (c, d) ∈ `3 ,2θ−x4x331θ+xθ−x1(θ + x4 )2 + y4244arctg+ arctg− ln, (c, d) ∈ Ω4 ,4y4y4y42 (θ − x4 )2 + y42θ1 θ1, (c, d) ∈ `4 .arctg − 22y4y4 2 θ + y42Интервалы Ic,d,k , на которых задана функция rc,d (θ), имеют вид(−∞, 0),(c, d) ∈ {(0, 0)} ∪ `1 ;kc,d[(−∞, −x3 ),(c, d) ∈ Ω2 ∪ `2 ;Ic,d =Ic,d,k :=(−∞, −x0),(c, d) ∈ Ω3 ∪ `3 ;3 ) ∪ (−y3 , √√k=144(−∞, − −d) ∪ (− −d, 0), (c, d) ∈ `3 ∪ Ω4 ∪ `4 ∪ Ω1 .Зависимость этих интервалов от (c, d) ∈ R2 и k ∈ {1, kc,d } показана нарис.

Характеристики

Список файлов диссертации