Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Предположим, что f 0 (r) 6= 0 в окрестности некоторой точки. Положим f 0 = p(f ). Тогда f 00 = p0 p. Пусть w = p2 . Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид w0 f = 2w − 2ξ 2 .Его решением является функция w = w(f ) = C1 f 2 + ξ 2 . Отсюда получаем: ±dr = √ df2 2 .
В зависимости от знака константы C1 полуC1 f +ξчаются решения (2.2.4) при C1 < 0, C1 > 0 и C1 = 0 соответственно. Начальные условия (f (0), f 0 (0)) этих решений образуют множество{( αξ sin β, ξ cos β), ±( αξ sh β, ξ ch β), (β, ±ξ)} ⊃ (R \ {0}) × R, где α ∈ R \ {0},β ∈ R. Поскольку f является решением дифференциального уравненияII порядка, разрешенного относительно старшей производной, с гладкойправой частью (ввиду f 6= 0), то других решений без нулей нет.55Замечание 2.17.
Аналогичным образом доказывается, что не имеющими нулей решениямиуравнения f 00 f − (f 0 )2 = h = const ≥ 0 являются√функции f (r) = αh ch(αr + β) при h > 0, f (r) = αeβr при h = 0, гдеα 6= 0, β ∈ R.С учетом замен Θ(r) = µ2 θ(r), C = µ4 c, D = µ8 d теоремы 2.1 и 2.3, атакже формулы для орбит доказаны.Мы также доказали теорему 2.7(C), равносильность условий (a) и(b) и единственность набора в (b) из теоремы 2.7(B). Равносильностьусловий (b) и (c) теоремы 2.7(B) следует из соотношений Qc1 ,d1 (θ) =(1/λ2 )Qc,d (λθ), rc1 ,d1 (θ) = λ(rc,d (λθ) − r0 ), (1/λ)fc1 ,d1 ,k (λ(r − r0 )) = fc,d,k (r)для c := λ2 c1 , d := λ4 d1 , λ > 0.Докажем включения классов из теоремы 2.7(A).
Включение классаслабо замыакющих потенциалов в класс полулокально замыкающих очевидно, как было сказано в замечании 1.14. Включение класса сильно замыкающих потенциалов в слабо замыкающие следует из замечания 1.10и предложения 2.13 с учетом леммы 2.15.
А включение класса полулокально замыкающих потенциалов в класс локально замыкающих нетрудно следует из предложений 2.13 и 2.14 с учетом леммы 2.15.Следствие 2.9(A),(B),(C) выводится из приводимых в нем формул итаблицы 2.1. Следствие 2.9(D) является известным фактом, относящимсяк произвольным поверхностям вращения и их многомерным аналогам.Замечание 2.18. На одном из докладов, посвященных обобщению задачи Бертрана, А.С. Мищенко задал следующий вопрос: как можно конструктивно проверить условие на приводимость метрики вращения квидам, указанным в теоремах 2.1 и 2.3? Вопрос этот важен для понимания эффективности доказанных теорем, поэтому дадим на него ответ,принадлежащий Е.
А. Кудрявцевой.Пусть дана произвольная метрика вращенияf1 (s)2 ds2 ± f2 (s)2 dϕ2 ,(2.2.5)где ϕ = ϕmod2π, f1 (s) > 0, f2 (s) > 0. Перейдем к (натуральному) па= f1 (s). В координатах (r, ϕ) метрикараметру r = r(s) такому, что drdsвращения имеет видdr2 ± f (r)2 dϕ2 ,(2.2.6)56где f (r(s)) = f2 (s). Перейдем к параметру Θ = Θ(r) такому, что1. В координатах (Θ, ϕ) метрика вращения имеет видf 2 (r)dΘdr=f 4 (r(Θ))dΘ2 ± f 2 (r(Θ))dϕ2 .Заметим, что для любой метрики вращения (2.2.5) параметр r(s) определен с точностью до сдвига r(s) → r(s) + r0 , где r0 — любая константа,а параметр Θ(r) — с точностью до сдвигаΘ(r) → Θ(r) − Θ0 ,(2.2.7)где Θ0 — любая константа.Введем аналогичный параметр Θ для метрик вращения из теорем 2.1и 2.3, т.е.
для метрик вращенияdθ2 /(θ2 + c − tθ−2 )2 ± dϕ2 /(µ2 (θ2 + c − tθ−2 )),(2.2.8)где µ > 0, c, t — вещественные константы. Для метрик (2.2.8) имеем√1/f (r(Θ)) = µ θ2 + c − tθ−2 ,поэтомуΘ − Θ0 = µ2 θ(2.2.9)для некоторой вещественной константы Θ0 .Из (2.2.7) и (2.2.9) нетрудно выводится равносильность следующихдвух условий:(a) метрика (2.2.6) некоторой заменой θ = θ(r) приводится к виду (2.2.8)для некоторых вещественных констант µ > 0, c, t (т.е. к виду, указанномув теоремах 2.1 и 2.3),(b) функция F (Θ) := 1/f (r(Θ)) является аналитической функцией (идаже квадратным корнем из рациональной функции) видаp(2.2.10)F (Θ) = µ (Θ − Θ0 )2 /µ4 + c − tµ4 (Θ − Θ0 )−2для некоторых вещественных констант µ > 0, c, t, Θ0 .Отметим, что из формулы (2.2.10) следует, что функция F 2 (Θ) являетсялибо многочленом степени 2 (при t = 0), либо рациональной функциейвида P (Q(Θ))/Q(Θ), где P и Q — многочлены степени 2, Q есть квадратлинейной функции и P (0) 6= 0 (при t 6= 0).57Условие (b) равносильно следующему условию:(c) функция F (Θ) := 1/f (r(Θ)) аналитична и имеет вид (2.2.10), гдеконстанты µ > 0, c, t, Θ0 однозначно выражаются через аналитическоепродолжение функции F (Θ) следующим образом:1/µ = lim |F (Θ)/Θ|,Θ→∞Θ0 — это либо полюс функции F (Θ) в случае, когда F 2 (Θ) не являетсямногочленом, либо точка минимума функции F (Θ) в противном случае,c = lim (F 2 (Θ)/µ2 − (Θ − Θ0 )2 /µ4 ),Θ→∞t = − lim (Θ − Θ0 )2 F 2 (Θ)/µ6 .Θ→Θ0В силу равносильности условий (a) и (c), условие (c) служит ответомна упомянутый выше вопрос А.
С. Мищенко.58Глава 3Обобщенная задача Бертранана многообразиях вращения сэкваторамиТеоремы, доказанные в предыдущем разделе, существенно использовалиотсутствие экваторов у рассматриваемых многообразий. Наличие экватора может существенно “портить” поведение траекторий системы. Так,к примеру, нижняя полусфера с осцилляторным потенциалом являетсябертрановой парой, но вся сфера с тем же осцилляторным потенциаломне является замыкающей в смысле ни одного из пяти классов, фигурировавших в формулировке теорем 2.1, 2.3.
С другой стороны, существование многообразий Таннери, то есть таких многообразий вращения с экваторами, что все геодезические на них замкнуты (см. определение 1.12и [29]), свидетельствует о непустоте множества многообразий Бертрана (для некоторого класса потенциалов) с экваторами. Оказывается, чтодля случаев вполне замыкающих и устойчиво замыкающих центральныхпотенциалов (см. определения 1.12, 1.11), можно полностью классифицировать соответствующие бертрановы пары. Нижеследующие теоремыпоказывают, что никаких “новых” многообразий (кроме фигурировавших в теоремах 2.1, 2.3 и многообразий Таннери) и потенциалов в этомслучае не возникает.В первую очередь классифицируем вполне бертрановы пары.
Дляэтого нам потребуются некоторые дополнительные наблюдения, которыеудобно вывести из принципа Мопертюи.593.13.1.1Принцип Мопертюи и некоторые вспомогательные утвержденияПринцип Мопертюи и вполне бертрановы многообразияПринцип Мопертюи заключается в следующем (см., например, [24]).Пусть на гладком римановом многообразии (M, g) задана натуральнаямеханическая система с функцией Лагранжа L = L(x, ẋ) = (1/2)gij (x)ẋi ẋj −V (x), где x = (xi ) — локальные координаты на M , gij — компоненты метрического тензора, V — гладкая функция (потенциал) на M .
Тогда прилюбом достаточно большом значении E ∈ R (E > inf V ) все локальные решения x(t) уравнения движения, на которых ẋ(t) 6= 0 и значениеэнергии H = H(x, ẋ) = (1/2)gij (x)ẋi ẋj + V (x) равно E, совпадают (с точностью до перепараметризации) с геодезическими линиями на подмногообразии ME := V −1 (−∞, E) ⊂ M , снабженном римановой метрикой(E − V (x))g.Применительно к вполне бертрановым многообразиям этим принципом можно воспользоваться так.
В качестве риманова многообразия(M, g) возьмем многообразие S с метрикой вращения (1.1.1), а в качествеV — вполне замыкающий центральный потенциал. Из принципа Мопертюи получаем, что на каждом уровне энергии H = E > inf V неособыетраектории совпадают (с точностью до перепараметризации) с неособыми геодезическими нового многообразия SE := V −1 (−∞, E) × S 1 ⊂ S сметрикой вращенияds2E := (E − V (r))ds2 = (E − V (r))dr2 + (E − V (r))f 2 (r)dϕ2 .(3.1.1)При этом неособые траектории остаются замкнутыми, а следовательно,риманово многообразие (SE , ds2E ) при любом E > inf V является многообразием Таннери (определение 1.12).Сферичные многообразия Таннери были классифицированы: доказано (см.
[29, гл. 4, теорема 4.13]), что эти многообразия — это в точноститакие сферичные римановы многообразия вращения, для которых метрика в некоторых координатах (ψ = ψ(r), ϕ), таких что ψ : (a, b) → (0, π)— диффеоморфизм и ψ 0 > 0, имеет вид1222222(1 + h(cos ψ)) dψ + sin ψ dϕ ,(3.1.2)ds = Rβ260где h : (−1, 1) → (−1, 1) — некоторая нечетная (необязательно монотонная и необязательно сюръективная) функция, R ∈ R и β ∈ Q —положительные числа. При этом число β удовлетворяет условию Дарбу[38, стр.
6], [29, гл. 4, теорема 4.11], т.е. 2π/β равно минимальному положительному периоду функций ψ ◦ r = ψ ◦ r(ϕ), задающих неособыегеодезические, отличные от экватора. Отметим, что вид (3.1.2) метрикиравносилен виду!21 dg(cos ψ)dψ 2 + sin2 ψ dϕ2 ,(3.1.3)ds2 = R22βdψ0где g : (−1, 1) → (0, π) — такой диффеоморфизм,√ что g < 0 и g(− cos ψ)−02g(cos ψ) = π − 2ψ.
При этом 1 + h(x) = −g (x) 1 − x , x ∈ (−1, 1).Итак, из [29, гл. 4, теорема 4.13] и общего принципа Мопертюи, с учетом леммы 3.4(a) ниже, вытекает следующееУтверждение 3.1. Пусть V — вполне замыкающий центральный потенциал на многообразии вращения (S, ds2 ). Тогда для всякого E > inf Vсуществует такая замена координат ψ = ψE (r), что в координатах(ψ, ϕ) на S метрика ds2E из (3.1.1) имеет вид (3.1.2) и вид (3.1.3) длянекоторых R = RE > 0, рационального β > 0, равного константе Бертрана (см. лемму 3.4(a) ниже), нечетной функции h = hE : (−1, 1) →(−1, 1) (необязательно монотонной и необязательно сюръективной) идиффеоморфизма g = gE : (−1, 1) → (0, π), такого что gE0 < 0 и gE (− cos ψ)−gE (cos ψ) = π − 2ψ.Было бы интересно найти явно или охарактеризовать 1-параметрическиесемейства нечетных функций hE и диффеоморфизмов gE , E > inf V , изутверждения 3.1, отвечающие вполне бертрановым парам из примераB(i–iv).Определение 3.2.
Пусть ds̃2 = f22 (r)dr2 +f12 (r)dϕ2 — поле неотрицательно определенных квадратичных форм (т.е. обобщенная риманова метрика) на многообразии S = (a, b) × S 1 , для некоторых гладких функцийf1 > 0, f2 ≥ 0 на (a, b). Предположим, что ds̃2 обладает аналогом представления (3.1.2) для некоторых диффеоморфизма ψ̃ : (a, b) → (0, π),ψ̃ 0 > 0, и нечетной гладкой функции h̃ : (−1, 1) → [−1, 1].
Это равносильно тому, что ds̃2 обладает аналогом представления (3.1.3) для ψ̃ и некоторой невозрастающей сюръективной гладкой функции g̃ : (−1, 1) → (0, π),61такой что g̃(− cos ψ̃) − g̃(cos ψ̃) = π − 2ψ̃. В этом случае ds̃2 будем называть обобщенной метрикой Таннери. Любая метрика Таннери являетсяобобщенной метрикой Таннери в силу леммы 3.4(d) ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
