Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Отметим, чтообобщенная метрика Таннери не является, вообще говоря, римановойметрикой, поскольку она вырождена на параллелях {r0 } × S 1 , таких чтоf2 (r0 ) = 0 (т.е. g̃ 0 (cos ψ̃(r0 )) = 0).Из явных формул (3.1.2) и (3.1.3) (соответственно определения 3.2)следует важное свойство (обобщенных) метрик Таннери, которым мывоспользуемся четыре раза в доказательстве теоремы 3.8 (см. §3.2): если две (обобщенные) сферичные метрики Таннери сопряжены по однусторону своих экваторов, то они сопряжены всюду.3.1.2Некоторые свойства вполне бертрановых парЛемма 3.3. (см.
[37, §3, лемма 1]) Пусть V = V (r) — вполне замыкающий центральный потенциал на многообразии S с метрикой вращения(1.1.1) (т.е. любая неособая орбита замкнута). Тогда:(a) при любом K 6= 0 эффективный потенциал Ueff,K = Ueff,K (r)(определение 1.9) имеет единственную критическую точку r(K) ∈ (a, b),00причем Ueff,K(r(K)) > 0 (т.е.
{r(K)}×S 1 — сильно устойчивая круговаяорбита) и limr→s Ueff,K (r) = +∞ для любого s ∈ {a, b};(b) потенциал V на (a, b) либо не убывает, либо не возрастает, либо(для некоторого r1 ∈ (a, b)) не возрастает на (a, r1 ] и не убывает на[r1 , b);(c) если хотя бы одна круговая орбита является экватором {r0 }×S 1 ,то все круговые орбиты совпадают с этим экватором, а потенциал Vне возрастает на (a, r0 ] и не убывает на [r0 , b); в частности, для любогоs ∈ {a, b} существует предел limr→s V (r) =: V (s) ≤ +∞;(d) в случае пункта (c) потенциал V постоянен на (a, r0 ] или на[r0 , b).Доказательство. (a) Это следует из предложений 2.13 и 2.14 и замкнутости всех неособых орбит.(b) В силу (a) предельная функция V = Ueff,0 обязана иметь следующее свойство: для любых трех точек x < y < z из (a, b) не выполненоV (x) < V (y) > V (z).
Отсюда следует требуемый вид V .(c) Параллель {r0 } × S 1 является круговой орбитой тогда и только0тогда, когда для некоторого K0 6= 0 выполнено Ueff,K(r0 ) = 0, т.е. r0 =06200r(K0 ) (см. (a)). Так как Ueff,K(r(K)) 6= 0 в силу (a), то по теореме о неявной функции функция r(K) гладкая и является решением обыкновенно00го дифференциального уравнения r0 (K) = 2Kf 0 (r(K))/(f 3 (r(K))Ueff,K(r(K))).100Если r0 = r(K0 ) и {r0 } × S — экватор, то f (r0 ) = V (r0 ) = 0 и функцияr̃(K) := r0 тоже является решением. Из совпадения начальных условийr(K0 ) = r̃(K0 ) двух решений получаем совпадение решений. Поэтомуr(K) = r0 при любом K 6= 0.Так как все круговые орбиты {r(K)} × S 1 совпадают с экватором{r0 } × S 1 , то в силу (a) требуемым свойством потенциала обладает Ueff,Kпри любом K 6= 0.
Поэтому им обладает и V = Ueff,0 .(d) Предположим противное. Тогда (в силу (c)) V (a) > V (r0 ) < V (b).В силу (a) и (c) (для K 6= 0 и K = 0 соответственно), приpлюбых E изинтервала V (r0 ) < E < min{V (a), V (b)} и |K| < sup(f (r) 2E − 2V (r))−1множество Ueff,K(−∞, E) является непустым интервалом с концами ri (E, K) ∈(a, b), i = 1, 2. Так как концы интервала лежат в области (a, b) гладкостифункции Ueff,K (r), то при всех таких (E, K) интегралZr2 (E,K)r1 (E,K)f 2 (r)drp∈ R>0 ∪ {+∞}2E − 2Ueff,K (r)непрерывно зависит от (E, K), включая K = 0.
Но в случае K 6= 0 этотинтеграл равен π/(|K|β) для некоторой константы β > 0 (в силу леммы3.4(a) ниже и ее доказательства), поэтому при K → 0 он стремится к+∞. Поэтому при K = 0 он равен +∞. Значит, V 0 (r1 (E, 0)) = 0 илиV 0 (r2 (E, 0)) = 0 для любого E из рассматриваемого интервала.
Но этолегко приводится к противоречию с дифференцируемостью функции V .Лемма доказана.В силу леммы 3.3(a), если (ds2 , V ) — вполне бертранова пара (определение 1.12), то при любом K ∈ R\{0} существует единственная круговаяорбита {r(K)} × S 1 ⊂ S, и все круговые орбиты сильно устойчивы.Лемма 3.4. Пусть на многообразии S с метрикой вращения (1.1.1) задан центральный потенциал V = V (r). Предположим, что при любомдостаточно большом значении уровня энергии E 1 любая неособаянекруговая орбита на этом уровне замкнута (например, V — вполнезамыкающий потенциал).
Тогда:(a) любая такая орбита однозначно (с точностью до вращения) определяется значением K кинетического момента на соответствующей63траектории, таким что 0 < K 2 < 2 sup(f 2 (r)(E − V (r))), и являетсяграфиком периодической функции r = rE,K (ϕ) с минимальным положительным периодом Φ(E, K) = 2π/β (равным разности “долгот” соседнихперицентров орбиты) для некоторой константы β ∈ Q>0 , называемойконстантой Бертрана;(b) на римановом многообразии (S, ds2 ) не более одного экватора, наэкваторе f 00 < 0, существование экватора равносильно существованию неособой ограниченной геодезической; любая такая геодезическая,отличная от экватора, замкнута и является графиком периодическойфункции r = r(ϕ) с минимальным положительным периодом 2π/β, таким же как в (a);(c) если на (S, ds2 ) есть экватор {r0 } × S 1 и {a} × S 1 — полюс, то(S, ds2 ) изометрично вкладывается в многообразие (0, π)×S 1 с обобщенной метрикой Таннери ds̃2 = f 2 (r0 )(β −2 (dg̃(cos ψ)/dψ)2 dψ 2 + sin2 ψ dϕ2 ),ψ ∈ (0, π), ϕ = ϕ mod 2π ∈ S 1 (см.
определение 3.2, т.е. g̃ 0 ≤ 0 иg̃(− cos ψ) − g̃(cos ψ) = π − 2ψ для любого ψ ∈ (0, π)) при помощи диффеоморфизма ψ̃ × idS 1 : (a, b) × S 1 → (0, π − ψ1 ) × S 1 , где ψ̃ 0 > 0 и0 ≤ ψ1 < π/2; в частности, если (S, ds2 ) сферично, то оно являетсямногообразием Таннери.(d) Риманово многообразие вращения (S, ds2 ) является многообразием Таннери (определение 1.12) тогда и только тогда, когда оно имеетдва полюса (т.е.
сферично) и единственный экватор {r0 } × S 1 , и существует константа β ∈ Q>0 , удовлетворяющая условию из (a) дляпотенциала V ≡ 0 и такая, чтоx2для любого x ∈ (0, R],(3.1.4)r2 (x) − r1 (x) = R arccosβRгде R := f (r0 ) и ri = ri (x), i = 1, 2 — функции на (0, R], обратныефункциям f |(a,r0 ] и f |[r0 ,b) . В частности, для любого многообразия Таннери выполнено f 00 (r0 ) = −β 2 /R, и метрика Таннери приводится к виду(3.1.2) и (3.1.3).Доказательство. (a) Пусть E ≥ E0 , где E0 достаточно велико. Так какорбита неособая и некруговая, то K 6= 0 и E > inf Ueff,K , т.е. 0 < K 2 <2 sup((E − V )f 2 ), где Ueff,K — эффективный потенциал (определение 1.9).Так как любая орбита при K 6= 0 и E > inf Ueff,K , E ≥ E0 , ограничена, топри всех таких (E, K) подмножество интервала (a, b), заданное неравенством Ueff,K (r) < E, является интервалом (а значит, орбита единственна с точностью до вращения), его концы (обозначаемые через ri (E, K),640i = 1, 2) принадлежат интервалу (a, b), (−1)i Ueff,K(ri (E, K)) > 0, и орбитазадается периодической функцией r = rE,K (ϕ) с минимальным положительным периодомZ r2 (E,K)drp.(3.1.5)Φ(E, K) = 2|K|2r1 (E,K) f (r) 2E − 2Ueff,K (r)Поскольку орбита замкнута, значение интеграла в (3.1.5) соизмеримо с π.С другой стороны, интеграл в (3.1.5) непрерывно зависит от (E, K).
Нонепрерывная функция, принимающая дискретное множество значений,постоянна. Поэтому период (3.1.5) постоянен и равен Φ(E, K) = 2π/β,где β ∈ Q>0 — константа.(d) Докажем сначала сферичность любой метрики Таннери. Предположим, что ds2 — метрика Таннери на S. Так как все неособые геодезические замкнуты, то для любого K > 0 эффективный потенциал0Ueff,K:= K 2 /(2f 2 ) (для потенциала V0 = 0) обладает свойствами из п.(a).Значит, f имеет единственную критическую точку, причем в ней f 00 < 0и limr→a f (r) = limr→b f (r) = 0.
В частности, метрика Таннери всегдасферична и имеет единственный экватор.В силу [29, гл. 4, теорема 4.13] все сферичные метрики Таннери — этотакие метрики вращения, которые приводимы к виду (3.1.2), где константа β ∈ Q>0 обладает нужным нам свойством. Простая проверка показывает, что вид (3.1.2) метрики равносилен виду (3.1.3), а вид (3.1.3)равносилен требуемой формуле (3.1.4) ввиду соотношений R = f (r0 ) и(R/β)g(cos ψ) = ri (R sin ψ) при (−1)i (ψ − π/2) √∈ [0, π/2), i = 1, 2.(b) Для любых ε ∈ [0, 1/E0 ] и κ ∈ (0, sup(f 2 − 2εV )) положимεUeff,κ(r) :=Zρ2 (ε,κ)Ψ(ε, κ) := 2κρ1 (ε,κ)κ2,2f 2 (r)(1 − εV (r))drq,pε2f (r) 1 − εV (r) 2 − 2Ueff,κ (r)(3.1.6)(3.1.7)где ρi (ε, κ) ∈ [a, b], i = 1, 2 — концы интервала (см. ниже) в (a, b), заεдаваемого неравенством Ueff,κ(r) < 1.
Если ε > 0, то правые√ частиравенств (3.1.5) и √(3.1.7) совпадают для E = 1/ε и K = √κ/ ε, т.е.Ψ(ε, κ) = Φ(1/ε, κ/ ε) = 2π/β = const и ρi (ε, κ) = ri (1/ε, κ/ ε) ∈ (a, b)согласно п.(a) и его доказательству. Правая часть (3.1.7) принимает значения в R ∪ {+∞}, непрерывна по (ε, κ) во всех точках (ε, κ), таких65что ρi (ε, κ) ∈ (a, b), i = 1, 2 (например, при ε > 0), и полунепрерывнаснизу всюду(включая значение ε = 0). Поэтому при ε = 0 и любом√κ ∈ (0, 2 sup f ) имеемZ ρ2 (0,κ)dr2πp, (3.1.8)= lim Ψ(ε, κ) ≥ Ψ(0, κ) := 2κ222ε→0βρ1 (0,κ) f (r) 2 − κ /f (r)причем неравенство в (3.1.8) обращается в равенство, если ρi (0, κ) ∈(a, b), i = 1, 2.ε(r) <Покажем, что при ε = 0 множество, задаваемое неравенством Ueff,κ1, действительно является интервалом в (a, b) (при ε > 0 это доказано выше).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
