Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(A) Классический пример многообразия Бертрана (без экваторов) — это проколотая евклидова плоскость (отвечающая функцииf (r) = r на S = (0, +∞) × S 1 ). Все замыкающие центральные потенциалы на ней были найдены Ж. Бертраном [1], это — гравитационныйV1 (r) = −A/r + B и осцилляторный V2 (r) = Ar2 + B потенциалы, гдеA, B ∈ R, A > 0 — любые (аддитивная и положительно мультипликативная) константы.
Другие известные примеры — это проколотые полусфера, плоскость Лобачевского, их “рациональные накрытия” и другиемногообразия вращения без экваторов, для которых получены аналогитеоремы Бертрана (обзор этих результатов см., например, в §1.1).(B) Все максимальные (по включению) многообразия Бертрана безэкваторов и отвечающие им пары Бертрана классифицированы (см. главу 2, а также [34] и [9]).
А именно: такие римановы многообразия с точностью до изометричности образуют 3-параметрическое семейство, а отвечающие им пары Бертрана — два семейства: 4- и 5-параметрическое.Показано (теорема 2.3), что многообразия Бертрана без экваторов — этов точности такие римановы многообразия вращения без экваторов, длякоторых метрика в некоторых координатах (θ = θ(r), ϕ = ϕ mod 2π)имеет видdϕ2dθ2+,(3.2.1)ds2 = 2(θ + c − dθ−2 )2 µ2 (θ2 + c − dθ−2 )70где c, d ∈ R, µ ∈ Q>0 — некоторые константы (параметры семейства).Если при этом d = 0, то существует ровно два замыкающих центральных потенциала с точностью до аддитивной и положительно мультипликативной констант — это гравитационный V1 = −A|θ| + B и осцилляторный V2 = Aθ−2 + B потенциалы, где A > 0; в противном случаепотенциал один (осцилляторный) и имеет вид V2 = Aθ−2 + B, где A 6= 0,sgn A = sgn (θ4 + d); константа Бертрана (см.
лемму 3.4(a)) для потенциала Vi равна i/µ, i = 1, 2. Реализуемость этих римановых многообразийв виде поверхностей вращения в R3 изучена в [35], см. §4.1. Дифференциальное уравнение на f = f (r), решениям которого отвечают такиеметрики, получено в [11, 36], см. также §4.2.Изучим задачу о классификации вполне бертрановых многообразийи вполне бертрановых пар (ds2 , V ).Пример 3.7. Известны следующие пять семейств вполне бертрановыхмногообразий, с соответствующими вполне замыкающими центральными потенциалами на них:(i) сферичные (определение 1.13) “сферообразные” (т.е.
постояннойположительной кривизны) 2-мерные римановы многообразия вращения(образующие 2-параметрическое семейство, содержащее 1-параметрическоесемейство круглых сфер с выколотыми полюсами) с гравитационным потенциалом на них (см. главу 2 и [34]),(ii) “рациональные” конусы с плоской метрикой (образующие 1-параметрическое семейство, содержащее проколотую евклидову плоскость) с осцилляторным потенциалом на них [34, §2.1, следствие 1],(iii) “северные полусферы” многообразий из п.(i) с осцилляторнымпотенциалом на них (см.
главу 2 и [34]),(iv) грушевидные (определение 1.13) 2-мерные римановы многообразия вращения §2 (см. [34]) (образующие 3-параметрическое семейство)с осцилляторным потенциалом на них, где знак потенциала таков, что“основной” полюс является притягивающим, а “дополнительный” — отталкивающим (см. главу 2 выше),(v) все многообразия Таннери (определение 1.12), классифицированные в [29, гл. 4, теорема 4.13] (см. также (3.1.2) и (3.1.4) ниже), включающие многообразия из пп.(i,iv) и образующие “функционально-двупараметрическое”семейство (параметры которого суть два вещественных числа и нечетнаягладкая функция h : (−1, 1) → (−1, 1) с точностью до замены h → −h,71см. (3.1.2) ниже), являющиеся (в силу леммы 3.4(d) ниже) либо сферичными и сферообразными (h ≡ 0), либо грушевидными (h 6≡ 0), спостоянным потенциалом на них.Один из параметров каждого семейства (i—v) — это число β ∈ Q>0(константа Бертрана, см.
лемму 3.4(a) ниже), которое для семейства(iii) вдвое больше, чем для (i). Другие числовые параметры — это радиус2экватора R > 0 для√ семейств (i) и (v), пара чисел (c, d) ∈ R со свойствами d < 0, c > −2 −d для семейства (iv) (см. (3.2.1)). Семейства (ii—iv) в2действительности образуют√ единое семейство с параметрами (c, d) ∈ R ,такими что d ≤ 0, c > −2 −d или c = d = 0, где семействам (ii) и (iii)отвечают случаи c = d = 0 и c > d = 0 соответственно.
Вполне замыкающие центральные потенциалы на любом многообразии из пп.(i—iv) неимеют критических точек и образуют 2-параметрическое семейство, параметрами которого являются произвольные аддитивная и положительно мультипликативная константы, а в случае (v) — 1-параметрическоесемейство констант.Следующая теорема классифицирует вполне бертрановы пары.Теорема 3.8. Вполне бертрановы многообразия вращения (S, ds2 ), гдеS = (a, b) × S 1 , вместе с вполне замыкающими центральными потенциалами V на S (определение 1.12), с точностью до сопряженностипар (ds2 , V ) образуют пять семейств (i—v) из примера 3.7. Любые двевполне бертрановы пары (ds2 , V ), принадлежащие либо разным семействам, либо одному семейству с разными наборами параметров, несопряжены. Римановы многообразия семейств (i) и (iv) составляютчасть римановых многообразий семейства (v).
Любые два римановымногообразия, принадлежащие либо разным семействам (ii,iii,v), либоодному семейству (i—v) с разными наборами параметров, не изометричны.Мы также получаем (теорема 3.12) классификацию устойчиво бертрановых пар (определение 1.12), включающих сильно и слабо бертрановы пары (определение 1.12). Это — такие пары Бертрана, для которыхвсякая параллель является почти устойчивой круговой орбитой (определение 1.11). Мы показываем, что устойчиво бертрановы пары совпадают с полулокально бертрановыми парами без экваторов, которые ужеклассифицированы (см. пример 3.6(B)).72На многообразии S ' (a, b) × S 1 естественно действует окружностьS — группа вращений, сохраняющих метрику (1.1.1). Все диффеоморфизмы и замены координат на S, рассматриваемые в настоящей работе,предполагаются S 1 –эквивариантными.1Доказательство.
Пусть (ds21 , V1 ) — произвольная вполне бертранова пара на многообразии S1 = (a1 , b1 )×S 1 . Согласно лемме 3.3(а,в), существуеткруговая орбита, и все круговые орбиты либо одновременно не являютсяэкваторами, либо совпадают с одним и тем же экватором. Рассмотримдва случая.Случай 1 (семейства (i—iv)): указанная круговая орбита не являетсяэкватором. Так как эта орбита сильно устойчива по лемме 3.3(a), то вее максимальной (по включению) связной окрестности (a0 , b0 ) × S 1 ⊂ S1 ,не пересекающей экваторов, потенциал V1 является “локально замыкающим” (определение 1.12).
Значит, ограничение пары (ds2 , V ) на этуокрестность сопряжено ограничению на некоторый “пояс” (â0 , b̂0 ) × S 1 ⊂Ŝ некоторой максимальной (по включению) пары Бертрана (dŝ2 , V̂ ) безэкваторов на некотором многообразии Ŝ = (â, b̂) × S 1 . Согласно классификации пар Бертрана без экваторов из главы 2 (см. пример 3.6(B)),любое такое риманово многообразие (Ŝ, dŝ2 ) изометрично одной из связных компонент многообразия Iˆc,d × S 1 с метрикой (3.2.1) для некоторыхконстант c, d ∈ R и µ ∈ Q>0 , гдеIˆc,d = {θ ∈ R | θ < 0, θ2 + c − dθ−2 > 0, θ4 + d 6= 0},(3.2.2)а потенциал V̂ является осцилляторным или гравитационным при отождествлении Ŝ с упомянутой компонентой.
В частности, эффективный потенциал Ûeff,K на Ŝ для пары Бертрана (dŝ2 , V̂ ) имеет один из следующихвидов:11Ûeff,K= K 2 µ2 (θ2 + c) + Aθ + B2(3.2.3)в зависимости от того, является ли потенциал V̂ осцилляторным или гравитационным. Так как пара (ds21 , V1 ) на S1 — вполне бертранова (по предположению), то в силу леммы 3.3(a) для любого K 6= 0 эффективныйпотенциал Ueff,K для этой пары имеет предел +∞ на любой граничнойпараллели подмногообразия (a0 , b0 ) × S 1 , отличной от экватора многообразия (S1 , ds21 ). Отсюда и из формул (3.2.2), (3.2.3) следует, что d ≤ 0, “пояс” (â0 , b̂0 )×S 1 совпадает со всем многообразием Ŝ (т.е.
(â0 , b̂0 ) = (â, b̂)), и12Ûeff,K= K 2 µ2 (θ2 + c − dθ−2 ) + Aθ−2 + B,273одна из граничных параллелей Ŝ является полюсом (θ = −∞), а другая— абсолютом или “граничным экватором” (θ = −(−d)1/4 ), и вид парыБертрана (dŝ2 , V̂ ) без экваторов определяется одним из следующих подслучаев.Подслучай 1а (семейства (ii,iii)): у исходного вполне бертранова многообразия (S1 , ds21 ) нет экваторов. Тогда оно совпадает с указанной окрестностью в S1 (т.е. (a0 , b0 ) = (a1 , b1 )), вторая граничная параллель бертранова многообразия (Ŝ, dŝ2 ) — это абсолют (θ = 0 при c = d = 0) или“граничный экватор” (θ = 0 при c > d = 0), пара (dŝ2 , V̂ ) принадлежитсемейству (ii) или (iii) соответственно, и все доказано.Подслучай 1б (семейства (i,iv)): у исходного вполне бертранова многообразия (S1 , ds21 ) есть экватор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
