Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для этого преобразуем неравенство(4.1.2) и приведем его к следующему эквивалентному виду:d(2 + µ2 ) d2+ 6 =: z(x), x := θ2 .(4.1.6)θ2θВоспользуемся аналогом рассуждения из предыдущего абзаца: вычислим критические точки функции z(x); поскольку на концах интерваланеравенство (4.1.6) выполнено, его необходимо и достаточно проверитьв критических√ точках функции z(x). В исследуемом случае x пробегаетчто корнями уравненияинтервал ( −d, +∞). Вычисления показывают,q√3t0z (x) = 0 являются точки ± −d и ± 1−µ2 . Рассматриваем только знакплюс перед корнем в силу x > 0 в интервале изменения переменной x.Заметим, что первая критическая точка совпадает с концом интервала.
Проверка показывает, что вторая положительная критическая точкапринадлежит интервалу изменения x, если и только если |µ| < 2. Темсамым показан промежуточный результат: при µ ≥ 2 неравенство (4.1.6)выполнено и соответствующее риманово многообразие Бертрана реализуемо.Остается проверить, какие ограничения на µ√ ∈ (1, 2) накладываетqqp−2 −d(µ2 −1)3t3t22√.Имеемz==−2µ−th(µ).условие µ c ≥ z221−µ1−µ3 3Решая полученное неравенство относительно µ, pполучаем, что неравенство (4.1.6) выполнено, если и только если c ≥ −2 −th(µ), причем функция h = h(µ) строго возрастает от −∞ до +∞ при µ ∈ (0, ∞); h(1) =0, h(2) = 1. Лемма доказана.µ2 c ≥ (1 − µ2 )θ2 +Леммы 4.2–4.7 доказывают теорему 4.1.4.1.2Локальная реализуемость римановых многообразий БертранаВ случае, когда многообразие Бертрана не может быть реализуемо целиком, возникает вторая важная задача — поиск максимальных подынтервалов Ii ⊂ Iµ,c,d , таких что риманово многообразие Ii × S 1 с метрикойds2µ,c,d реализуемо как поверхность вращения.
Верна следующая теорема:89Теорема 4.8. Риманово многообразие Бертрана (Ik,c,d , ds2µ,c,d ) реализуемо целиком в виде поверхности вращения в R3 тогда и только тогда,когда оно является основным (k = 1) и тройка параметров (µ, c, d) принадлежит области, указанной в теореме 4.1. Для остальных значенийk, (µ, c, d) ∈ R3 , µ > 0, верны следующие утверждения о локальной реализуемости многообразий Бертрана:0) Пусть d = c = 0, 0 < µ < 1.
Риманово многообразие нереализуемодаже локально (т.е. любоя окрестность любой параллели нереализуема).1) Пусть d = 0, c > 0, µ < 1. Реализуема часть многообразия, примыкающая к экватору {0} × S 1 .2) Пусть d = 0, c < 0. При µ ≤ 1 многообразие нереализуемо дажелокально. При µ > 1 реализуема часть многообразия, примыкающая кполюсу {+∞} × S 1 .3) Пусть d > 0, c ≤ 0. При µ > 1 реализуема часть многообразия,примыкающая к полюсу {+∞} × S 1 ; при µ ≤ 1 поверхность нереализуема даже локально.4) Пусть d > 0, c > 0. При µ ≥ 1 реализуема часть многообразия,примыкающая к полюсу {+∞}×S 1 ; целиком риманово многообразие ни2когда не реализуемо.
При 0 < µ < 1, − c4t < h(µ) реализуем “поясок” в√окрестности параллели {− x0 } × S 1 , отвечающей локальному минимуму x0 > 0 функции z(x), края которого никогда не достигают граничных параллелей (т.е. полюса и абсолюта) многообразия Бертрана.2Наконец, при 0 < µ < 1, − c4t ≥ h(µ) многообразие Бертрана нереализуемо даже локально.√5) Пусть d < 0, c < −2 −d. При 0 < µ ≤ 1 ни основное, ни дополни2тельное многообразие нереализуемо даже локально.
При 1 < µ, − c4t ≥h(µ) реализуема часть основного многообразия Бертрана, прилегающая2к полюсу {+∞}×S 1 . При µ > 1, − c4t < h(µ) у основного многообразия реализуема часть, прилегающая к полюсу {+∞}×S 1 , а у дополнительного√реализуем “пояс” вокруг параллели {− x0 } × S 1 , отвечающей локальному минимуму x0 > 0 функции z(x).90√6) Пусть d < 0, c = −2 −d. При µ ≤ 1 ни основное, ни дополнительное многообразия нереализуемы даже локально. При µ ∈ (1, 2) реализуема часть основного многообразия Бертрана, прилегающая к абсолюту {+∞} × S 1 . При µ = 2 реализуемо все основное многообразие.
Приµ√> 2 реализуемо все основное многообразие и окрестность абсолюта{ 4 −d} × S 1 дополнительного.√7) Пусть d < 0, c > −2 −d. При 0 < µ < 1 и у основного, и у дополнительнгомногообразия реализуемы части, прилегающая к экватору√41{ −d} × S . При c ≥ 0, µ ≥ 1 основное многообразие Бертрана реализуемо целиком,√ а у дополнительного реализуема часть, прилегающая к экватору { 4 −d} × S 1 .
При c < 0, µ = 1 и у основнго, и у дополнительного√многообразия реализуема часть, прилегающая к экватору { 4 −d} × S 1 ;2при µ > 1, − c4t > h(µ) реализуемы часть основного многообразия, прилегающая к полюсу {+∞} √× S 1 , часть дополнительного многообразия,4−d} × S 1 , и часть основного многообразия,прилегающая к экватору { √24прилегающая к экватору { −d} × S 1 ; при µ > 1 − c4t ≤ h(µ) основноемногообразие реализуемоцеликом, а у дополнительного — часть, при√4легающая к экватору { −d} × S 1 .В каждом из случаев указанная реализуемая часть многообразияБертарана максимальна в следующем смысле: любая окрестность любой параллели, не содержащейся в указанной части, не реализуема ввиде поверхности вращения в R3 .Более того, в каждом из случаев границей реализуемой части многообразия Бертрана, прилегающей к полюсу либо абсолюту, являетсяпараллель, отвечающая ближайшему к полюсу (абсолюту) корню по θуравнения (θ4 + d)2 − µ2 θ4 (θ4 + cθ2 − d) = 0; границами реализуемого“пояса” вокруг определенной параллели {θ0 } × S 1 являются параллели,отвечающие корням этого уравнения, ближайшим к θ0 .Доказательство.
Для доказательства теоремы воспользуемся критерием реализуемости (4.1.2) в форме (4.1.6):d(2 + µ2 ) d2+ 3 , x := θ2 .xxЗадача сводится к поиску числа точек, принадлежащих интервалу изменения переменной θ (или x), в которых неравенство обращается в раµ2 c ≥ z(x) := (1 − µ2 )x +91венство, и анализу неравенства на интервалах между этими точкамии концами интервала изменения переменной. Для решения этой задачирассмотрим производную z 0 (x) правой части неравенства и найдем ееположительные корни. Простые вычисления показывают, что существует следующая зависимость между числом положительных корней x > 0уравнения z 0 (x) = 0 и параметрами d, µ:0<µ<1µ=1d<01−1d=00∞ (все значения x)d>01+0µ ∈ (1, 2) µ = 2 µ > 2212000000Здесь 1± означаетединственного положительного корq существование√3tня x± , где x+ = 1−µ2 , x− = −d; 1 без индекса означает, что у производной z 0 (x) имеется единственный положительный корень кратностидва.Рассмотрим области изменения тройки параметров (µ, c, d) с учетоминтервала изменения переменной x, соответствующего этим параметрам.Заметим, что области, фигурирующие в теореме 4.1, рассматривать ненужно: в них риманово многообразие Бертрана реализуемо целиком.1) d = 0, c = 0, 0 < µ < 1.
Из графика функции z(x) видно, что в этойобласти многообразие нереализуемо, даже локально.2) d = 0, c > 0, 0 < µ < 1. В этой области функция z(x) монотонновозрастает, z(0) = 0, z(+∞) = +∞, поэтому реализуема часть многообразия Бертрана, примыкающая к {0} × S 1 .3) d = 0, c < 0. В этой области многообразие Бертрана нереализуемодаже локально.4) d > 0. Если µ > 1, z(x) монотонно убывает, и реализуема частьмногообразия, примыкающая к {+∞} × S 1 ; целиком многообразие никогда не реализуемо.
Если µ < 1, имеется один корень производной z 0 (x).Поскольку z(+∞) = +∞ и этот корень не кратный, он доставляет локальный минимум функции z(x). Следует проверить, как изменение параметров влияет на взаимное расположение конца интервала измененияx и этого корня, а также, в каких условиях минимальное значение z(x)92на интервале изменения x не превосходит µ2 c. Вычисления показыва2ют, что это возможно только при − c4t < h(µ) (см.
лемму 4.7). При этомреализуется “поясок” в окрестности параллели, отвечающей локальномуминимуму функции z(x), края которого никогда не достигают концовинтервала изменения x. Наконец, при µ = 1 функция z(x) монотонностремится к +0 при x → +∞. Следовательно, при c ≤ 0 многообразиеБертрана нереализуемо даже локально, а при c > 0 реализуема его часть,прилегающая к полюсу {+∞} × S 1 .√5) d < 0, c < −2 −d. В случае µ ≤ 1 вычисления показывают, чтонеравенство (4.1.6) не выполняется ни при каком x, поэтому при µ ≤ 1поверхность не реализуется даже локально. При µ ∈ (1, 2] видно,√ чтопрямая z = cµ2 проходит ниже первогоэкстремума,равногоz(−d),√−c± c2 +4tи ниже z(x1 ), z(x2 ), где x1,2 =— края основного и дополни2тельного многообразий Бертрана, что следует из критерия реализуемости в форме (1). Иными словами, реализуема только часть основногомногообразия, прилегающая к полюсу {+∞} × S 1 .
Наконец, при µ > 2реализуема часть основного многообразия Бертрана, прилегающая к полюсу {+∞} × S 1 . Дополнительное многообразие реализуемо локальнов окрестности параллели, отвечающей второму экстремуму (x̃ = µ−3t2 −1 )2функции z(x) тогда и только тогда, когда z(x̃) > cµ . Это эквивалентно2тому, что µ > 1, − c4t < h(µ).√В случае µ ≤ 1 неравенство (4.1.6) выполнено в6) d < 0, c = −2 −d.
√единственнойточкеx=−d, где оно обращается в равенство. Но точке√x = −d отвечает абсолют риманова многообразия Бертрана, поэтомупри µ ≤ 1 многообразие нереализуемо даже локально.√ При µ ∈ (1, 2) видно, что прямая z = cµ2 проходит через первый (z( −d)) экстремум, т.е.реализуема только часть основного многообразия, прилегающая к полюсу {+∞} × S 1 . При µ = 2 функция z(x) монотонно убывает, поэтомув данном случае реализуется все основное многообразие. Наконец, приµ > 2 реализуются все основное многообразиеБертрана и часть допол√нительного, прилегающая к экватору { 4 −d} × S 1 , что следует из того,что прямая z = cµ2 проходит через первый экстремум, √а допустимая область изменения переменной x есть в точности R>0 \ { −d}.√7) d < 0, c > −2 −d.
Если c ≥ 0 и µ < 1, имеется единственный93√минимум z(x), в точке x = −d. Вычисления показывают, что в этойобласти как у основного, так и у дополнительногомногообразия реали√2зуема часть, прилегающая к экватору { 4 −d}×S 1 . При µ > 1, − c4t > h(µ)(см. лемму 4.7) реализуема всегда часть основного многообразия, прилегающая к полюсу {+∞}√× S 1 , часть дополнительного многообразия,4прилегающая к экватору {√−d} × S 1 , и часть основного многообразия,4прилегающая к экватору { −d} × S 1 .
Во всех прочих случаях основноемногообразие Бертрана реализуемо целиком,а у дополнительного реа√4лизуема часть, прилегающая к экватору { −d} × S 1 .Теорема 4.8 доказана.Следствие 4.9. Для римановых многообразий Бертрана, указанных втеоремах 1 и 2, реализуемых в виде поверхностей вращения, соответствующие поверхности вращения задаются параметрически в виде x =ϕ√ cos ϕ, y = µ√θ2sin, z = g̃(θ), (θ, ϕ) ∈ Ii × S 1 , гдеµ θ2 +c−dθ−2+c−dθ−2Z p 2θ + c − dθ−2 − (θ + dθ−2 )2 µ−2dθ.g̃(θ) := ±(θ2 + c − dθ−2 )3/2При этом вдоль граничной параллели {θ0 }×S 1 поверхности Ii ×S 1 , не являющейся ни полюсом, ни абсолютом, ни экватором (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
