Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 13
Текст из файла (страница 13)
По условию и принципу Мопертюи, при любом E ≥ E0 любая неособая некруговая геодезическая метрики (1/E)ds2E замкнута. Поэтому приε = 1/E эффективный потенциал (3.1.6), отвечающий метрике (1/E)ds2Eи нулевому потенциалу, обладает свойствами из леммы 3.3(a). Отсюдазаключаем (аналогично доказательству леммы 3.3(b)), что его предел0Ueff,κ(r) = κ 2 /(2f 2 (r)) обладает свойствами из леммы 3.3(b), т.е. f либонестрого монотонна на (a, b), либо не убывает на (a, r0 ] и не возрастаетна [r0 , b) для некоторого r0 ∈ (a, b). Поэтому неравенство κ 2 /f 2 (r) < 2действительно задает интервал в (a, b).Из рассуждений выше, доказанного свойства функции f и конечностиинтеграла в (3.1.8) следует, что либо (A) f = const, либо (B) f 0 > 0, либо(C) f 0 < 0, либо (D) f 0 |(a,r0 ) > 0, f 0 |(r0 ,b) < 0 и f 00 (r0 ) < 0 для некоторогоr0 ∈ (a, b).
Но случай√(A) невозможен, так как противоречит неравенствув (3.1.8) при κ → 2f0 . В частности, у метрики ds2 не более одногоэкватора и на нем f 00 < 0. Поэтому f монотонна вблизи любого концаинтервала (a, b), и можно положитьf (a) := lim f (r),f (b) := lim f (r).r→ar→bПредположим, что существует ограниченная неособая геодезическаяметрики ds2 на S, отличная от экватора (т.е. имеет место случай (D),см.
выше). Применяя аналог формулы (3.1.5) к таким геодезическим(т.е. к ограниченным неособым траекториям натуральной механическойсистемы с метрикой ds2 и нулевым потенциалом), получаем, что числоΨ(0, κ) в (3.1.8) равно минимальному положительному периоду функцииr√= r(ϕ), задающей такую √геодезическую, и ρi (0, κ) ∈ (a, b), i = 1, 2 (т.е.2 max{f (a), f (b)} < κ < 2f (r0 )), где уровень энергии и значение кинетического момента суть 1 и κ > 0. В силу доказанной формулы (3.1.8)66и того, что неравенство в (3.1.8) является равенством, получаем (согласно аналогу критерия Дарбу [38, стр.
6], [29, гл. 4, теорема 4.11]), что всеограниченныегеодезические√ (т.е. со значением кинетического момента√κ ∈ ( 2 max{f (a), f (b)}, 2f (r0 )], т.е. “достаточно близкие” к экватору)замкнуты, а соответствующая константа Бертрана (см. (a) при V ≡ 0)есть β.(c) Предположим, что метрика ds2 имеет полюс {a} × S 1 и экватор{r0 } × S 1 , где a < r0 < b. Из (b) следует, что в случае f (b) = 0 всенеособые геодезические замкнуты, т.е. ds2 является метрикой Таннери.Пусть далее f (b) > 0.По условию и принципу Мопертюи, при E ≥ E0 все неособые геодезические метрики (1/E)ds2E замкнуты, т.е.
она является метрикой Таннери. Поэтому в силу (d) она имеет единственный экватор {rε } × S 1 , асоответствующие функции ri,ε (x), x ∈ (0, Rε ], i = 1, 2, удовлетворяютсоотношениюr2,ε (Rε sin ψ) − r1,ε (Rε sin ψ) =Rε(π − 2ψ),βψ ∈ (0, π/2],(3.1.9)pгде ε := 1/E, fε (r) := f (r) 1 − εV (r), Rε := fε (rε ). Здесь константаБертрана равна β в силу (a) и принципаpМопертюи, а функции ri,ε (x)определяются условиями dri,ε (fε (r))/dr = 1 − εV (r) при (−1)i (r −rε ) >0, i = 1, 2, и r1,ε (Rε ) = r2,ε (Rε ) := rε . Из соотношения (3.1.9), с учетом0знаков (−1)i ri,ε(x) < 0, получаем оценки0 > (−1)i2dri,ε (Rε sin ψ) > − Rε ,dψβψ ∈ (0, π/2),i = 1, 2. (3.1.10)Так как fε (r) гладко зависит от пары (ε, r) (включая ε = 0), причем= 0 и f000 (r0 ) 6= 0 в силу (b), то по теореме о неявной функции точкаrε ∈ (a, b) гладко зависит от ε (включая ε = 0).
Из соотношения (3.1.9)и оценки (3.1.10) при 0 < ε ≤ 1/E0 и i = 1 получаем (с учетом свойствf0 = f, f 0 |(a,r0 ) > 0, f 0 |(r0 ,b) < 0 и ri,0 (x) = ri (x), i = 1, 2) аналогичныесоотношение и оценку при ε = 0 :fε0 (rε )r2 (R sin ψ)−r1 (R sin ψ) =0<R(π−2ψ),βd2r1 (R sin ψ) ≤ R,dψβψ ∈ (arcsinψ ∈ (arcsin67f (b), π/2] = (ψ1 , π/2],R(3.1.11)f (a), π/2) = (0, π/2), (3.1.12)Rгде R := R0 = f (r0 ), ψ1 := arcsin(f (b)/R) ∈ (0, π/2).Так как f 0 |(a,r0 ) > 0, f 0 |(r0 ,b) < 0 и f 00 (r0 ) 6= 0, то в силу леммы Морсасуществует диффеоморфизм ψ̃ : (a, b) → (0, π − ψ1 ), такой что ψ̃ 0 > 0 иf (r) = R sin ψ̃(r) для любого r ∈ (a, b).
Поэтому при диффеоморфизме,обратном диффеоморфизму ψ̃ × idS 1 : S1 = (a, b) × S 1 → (0, π − ψ1 ) × S 1 ,(r, ϕ) 7→ (ψ̃(r), ϕ), риманова метрика ds2 индуцирует риманову метрикуна (0, π − ψ1 ) × S 1 вида!2−1dg(cosψ)1dψ 2 + sin2 ψ dϕ2 , (3.1.13)ψ̃ × idS 1(ds2 ) = R2β2dψ∗где g : (− cos ψ1 , 1) → (0, (b − a)β/R) — некоторый диффеоморфизм,такой что g 0 < 0. Из соотношения (3.1.11) и оценки (3.1.12), с учетомсоотношенияRa+ g(cos ψ̃(r)) = r = ri (f (r)) = ri (R sin ψ̃(r)),β(−1)i (r−r0 ) > 0,i = 1, 2,получаем соотношение и оценкуg(− cos ψ) − g(cos ψ) = π − 2ψ,0<dg(cos ψ) ≤ 2,dψψ ∈ (ψ1 , π/2],(3.1.14)ψ ∈ (0, π/2).(3.1.15)Продолжим диффеоморфизм g : (− cos ψ1 , 1) → (0, (b − a)β/R) дофункции g̃ : (−1, 1) → R так, чтобы соотношение (3.1.14) для g̃ выполнялось всюду на (0, π/2].
Тогда продолженная функция g̃ является гладкой(ввиду 0 < ψ1 < π/2 и гладкости функций g, cos, arccos) и удовлетворяетнестрогому неравенству g̃ 0 ≤ 0 (в силу g 0 < 0 и (3.1.14), (3.1.15)). Значит, невозрастающая сюръективная гладкая функция g̃ : (−1, 1) → (0, π)определяет обобщенную метрику Таннери ds̃2 вида (3.1.3), которая привложении ψ̃ × idS 1 : S1 = (a, b) × S 1 → (0, ψ1 ) × S 1 ⊂ (0, π) × S 1 ,(r, ϕ) 7→ (ψ̃(r), ϕ), переходит в метрику ds2 (в силу (3.1.13)).Лемма доказана.Таким образом, по лемме 3.4(b,c) всякое сферичное вполне бертраново многообразие является многообразием Таннери и имеет вид “груши”(возможно, симметричной) — многообразия вращения с одним экватором и двумя (выколотыми) полюсами, в которых метрика и потенциалмогут иметь особенности.68Лемма 3.5.
Пусть на многообразии S = (a, b) × S 1 с метрикой вращения (1.1.1) заданы два центральных потенциала V1 = V1 (r) и V2 = V2 (r),гладких на интервалах (a1 , b1 ) ⊂ (a, b) и (a, b) соответственно. Предположим, что для любого достаточно большого значения уровня энергииE 1 две римановы метрики ds2i,E , соответствующие по принципуМопертюи метрике (1.1.1), потенциалу Vi и уровню энергии E, i = 1, 2(см. (3.1.1)), сопряжены при помощи диффеоморфизма (изометрии), зависящего от E и близкого к тождественному на любом компакте в(a1 , b1 )×S 1 .
Тогда в любом “поясе” (a0 , b0 )×S 1 ⊂ (a1 , b1 )×S 1 , не содержащем экваторов метрики (1.1.1), выполнено тождество V1 − V2 = Cf 0 ,где C — константа (зависящая от “пояса”), f = f (r) — радиус параллели, r — натуральный параметр на меридиане.Доказательство. При любом E 1, по принципу Мопертюи получаемдве метрики (1/E)ds2i,E = (1 − εVi (r))(dr2 + f 2 (r)dϕ2 ) на многообразияхSi,ε := Vi−1 (−∞, E) × S 1 , i = 1, 2, где ε := 1/E. По условию существует изометрия mε : S1,ε → S2,ε между этими двумя метриками.
Значит,выполнены тождества(1 − εV1 (r)) f 2 (r) = (1 − εV2 (mε (r))) f 2 (mε (r)),s1 − εV1 (r)∂mε (r)=.∂r1 − εV2 (mε (r))(3.1.16)(3.1.17)Здесь знак перед корнем +, так как изометрия mε близка к тождественной.Равенства (3.1.16) и (3.1.17) верны при 0 < ε 1, а также при ε = 0(т.е. при E = +∞) для тождественной изометрии m0 (r) = r. В силутеоремы о неявной функции, зависимость mε (r) от ε — гладкая при ε = 0и r ∈ (a0 , b0 ).
Продифференцировав равенство (3.1.16) по ε при ε = 0, сучетом m0 (r) = r, получим:1f (r)∂mε (r) = (V2 (r) − V1 (r)) 0 ,r ∈ (a0 , b0 ).(3.1.18)∂ε ε=0 2f (r)В левых частях равенств (3.1.18) и (3.1.17) мы имеем частные производные (т.е. компоненты дифференциала) функции mε (r) по переменным ε и r.
Но дифференциал любой гладкой функции — это замкнутая1-форма. Запишем условие замкнутости этой 1-формы при ε = 0. То69есть, приравняем производную правой части равенства (3.1.18) по r кпроизводной правой части равенства (3.1.17) по ε (при ε = 0). Получимравенствоf 00 (r)(V1 (r) − V2 (r)) = (V1 (r) − V2 (r)) 0 ,f (r)0r ∈ (a0 , b0 ).(3.1.19)Полное решение уравнения (3.1.19) (с неизвестной функцией V1 − V2 )имеет требуемый вид V1 − V2 = Cf 0 , где C — произвольная вещественнаяконстанта (зависящая от интервала (a0 , b0 )).Лемма доказана.3.2Классификация вполне бертрановых парПрежде, чем приступать к доказательству теоремы классификации, приведем ряд примеров бертрановых многообразий, часть из которых ужевозникала в предыдущих разделах.Пример 3.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
