Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Любому значению K 6= 0 кинетического момента сопоставим уровень энергии E = E(K) = Ê + (K 2 − K̂ 2 )/(2Cf2 ). Вчастности, E(K̂) = Ê иE(K) − Ueff,K (r) = Ê − Ueff,K̂ (r),78r ∈ (a, b), K ∈ R \ {0}.(3.3.1)Так как выполнено (3.3.1), то при любом K ∈ R \ {0} существует (единственная с точностью до вращения) ограниченная орбита в “поясе” [r1 , r2 ]×S 1 , отвечающая уровню энергии E = E(K) и кинетическому моменту K,причем на этой орбите нижняя и верхняя грани координаты r тоже равны r1 , r2 . Аналогично доказательству леммы 3.4(a) отсюда заключаем,что каждая такая орбита задается периодической функцией r = rK (ϕ) сминимальным положительным периодом Φ(K), для которого справедливаналог формулы (3.1.5).В условиях настоящей леммы, с учетом (3.3.1), формула (3.1.5) приобретает видZdr|K||K| r2p=Φ(K) = 2 2Φ(K̂),(3.3.2)Cf r12E(K) − 2Ueff,K (r)|K̂|причем период Φ(K̂) соизмерим с 2π ввиду замкнутости исходной орбиты.
Следовательно, при изменении значения K ∈ R \ {0} период Φ(K) вформуле (3.3.2) изменится и будет несоизмерим с 2π при иррациональном K/K̂, а значит, соответствующая ограниченная орбита в “поясе”[r1 , r2 ] × S 1 , с уровнем энергии E(K) и кинетическим моментом K небудет замкнутой. Это доказывает (A) и первую часть (B).Докажем вторую часть (В). При рациональном K/K̂ будем иметьΦ(K) = 2π/β(K) для некоторого рационального β(K) = |K̂/K|β(K̂) =p(K)/q(K) > 0, где p(K), q(K) ∈ N взаимно просты. Поэтому соответствующая орбита в “поясе” [r1 , r2 ] × S 1 будет замкнута и гомотопна q(K)ой степени параметризованной параллели ϕ 7→ (r1 , ϕ) ∈ S, ϕ ∈ S 1 , нацилиндре. Так как для последовательности Kn = (1 + 1/n)K̂, n ∈ N,имеем Kn → K̂ и [n/p(K̂), nq(K̂)] 3 q(Kn ) → ∞ при n → ∞, то существует подпоследовательность, для которой соответствующие замкнутыеорбиты в “поясе” [r1 , r2 ] × S 1 попарно негомотопны на цилиндре.Лемма доказана.Замечание 3.11.
На самом деле, утверждение (A) леммы 3.10 справедливо для более широкого класса потенциалов. А именно, на цилиндрах не существует локально замыкающих потенциалов (определение1.12). Доказательство этого факта дословно повторяет приведенное доказательство для случая замыкающих потенциалов.793.4Классификация устойчиво бертрановыхпарС учетом леммы о цилиндрах 3.10 оказывается возможным полностьюклассифицировать устойчиво бертрановые пары.
А именно, справедливаследующая теорема:Теорема 3.12. На многообразиях вращения с экваторами не существует устойчиво замыкающих центральных потенциалов. Другими словами, любое устойчиво бертраново многообразие вращения (S, ds2 ) неимеет экваторов. В частности, следующие классы бертрановых пар(ds2 , V ) совпадают: (a) класс сильно бертрановых пар, (b) класс слабо бертрановых пар, (c) класс устойчиво бертрановых пар, (d) класслокально бертрановых пар без экваторов, (e) класс пар (ds2 , V ), у которых метрика вращения ds2 имеет вид (3.2.1) и не имеет экваторов,а центральный потенциал V является гравитационным или осцилляторным (см.
пример 3.6(B)).Доказательство. Нужно доказать совпадение классов (a)–(e) пар Бертрана. Включения (a)⊂(b)⊂(c) очевидны. Включения (d)⊂(e)⊂(a) следуют из классификации пар Бертрана без экваторов (см. главу 2). Такимобразом, осталось доказать включение (c)⊂(d), т.е. что на любом устойчиво бертрановом многообразии вращения нет экваторов.Предположим противное, т.е. что на многообразии вращения (S, ds2 ) сэкваторами существует устойчиво замыкающий центральный потенциалV = V (r). В силу леммы 3.10(A) на многообразии S существует непустой“пояс” (r1 , r2 ) × S 1 , внутри которого нет экваторов.
Возьмем наибольшийпо включению из таких “поясов” и обозначим его через γ = γr1 ,r2 . Таккак на многообразии вращения (S, ds2 ) есть экватор, то хотя бы одна изграничных параллелей “пояса” γ содержится внутри S и является экватором. Без ограничения общности можно считать, что таким экваторомявляется параллель {r1 } × S 1 . Таким образом, a < r1 < b и f 0 (r1 ) = 0.Так как потенциал V = V (r) — устойчиво замыкающий, тоa) пара (ds2 |γ , V |γ ) является бертрановой (и даже устойчиво бертрановой) парой без экваторов;b) экватор {r1 } × S 1 является круговой орбитой для некоторого зна0чения K̂ ∈ R \ {0} кинетического момента, т.е.
Ueff,(r ) = 0.K̂ 1800Так как f 0 (r1 ) = 0 и Ueff,(r ) = 0, то V 0 (r1 ) = 0. Но из явного видаK̂ 1(3.2.1) пар Бертрана без экваторов (согласно их классификации в главе2, теоремы 2.1, 2.3) следует, что существуют константы c, d ∈ R и µ ∈ Q>0и регулярная замена θ = θ(r) координаты r на интервале (r1 , r2 ), такиечто в координатах θ, ϕ = ϕ mod 2π на “поясе” γ выполнено dθ 10|θ (r)| = = θ2 + c − dθ−2 = 2 2 |γdrµfи потенциал V |γ является либо гравитационным V |γ = V1 = −A|θ| +B, либо осцилляторным V |γ = V2 = Aθ−2 + B.
Поэтому на “поясе” γпроизводная потенциала V = V (r) по переменной r имеет видV 0 |γ =dV1 dVdV|γ = ±(θ2 + c − dθ−2 )=± 2 2drdθµ f dθи выполнен один из следующих случаев.Случай 1: потенциал V |γ является гравитационным. Значит, V 0 |γ =±A/(µf )2 . Поэтому условие limr→r1 V 0 (r) = V 0 (r1 ) = 0 дает f (r1 ) =limr→r1 f (r) = +∞. Но последнее невозможно, так как r1 ∈ (a, b) и0 < f < +∞ всюду на (a, b).Случай 2: потенциал V |γ является осцилляторным. Значит, V 0 |γ =±2A/(µ2 f 2 θ3 ).
Поэтому условие limr→r1 V 0 (r) = V 0 (r1 ) = 0 дает либо (A)limr→r1 |θ(r)| < +∞ и f (r1 ) = limr→r1 f (r) = +∞, либо (B) limr→r1 |θ(r)| =+∞. Но в случае (B) с учетом соотношения 1/f 2 = (θ2 + c − dθ−2 )µ2имеем f (r1 ) = limr→r1 f (r) = 0. Полученное включение f (r1 ) ∈ {0, +∞}невозможно, так как r1 ∈ (a, b) и 0 < f < +∞ всюду на (a, b).Теорема 3.12 доказана.3.5Обоснование диаграммы включения классов замыкающих потенциаловТеперь мы можем доказать следующее утверждение о диаграмме строгихвключений классов замыкающих потенциалов (см.
рис. 1.1):Утверждение 3.13. Верна диаграмма строгих включений классов замыкающих потенциалов, изображенная на рис. 1.1. Более точно :(a) классы локально и полулокально замыкающих потенциалов совпадают;81(b) классы сильно, слабо и устойчиво замыкающих потенциалов совпадают;(c) класс замыкающих потенциалов лежит в классе локально замыкающих потенциалов (и по-видимому не совпадает с ним);(d) класс вполне замыкающих потенциалов лежит в классе замыкающих потенциалов и не совпадает с ним;(e) класс устойчиво замыкающих потенциалов лежит в классе замыкающих потенциалов, имеет непустое пересечение с классом вполнезамыкающих потенциалов и не совпадает ни с одним из этих двух классов.Доказательство. Согласно замечанию 1.14(a) верна диаграмма нестрогих включений.
Докажем теперь более точные включения классов.(a) Пусть потенциал локально замыкающий (т.е. верны условия (∃)locи (∀)loc , см. определение 1.12). Докажем, что он полулокально замыкающий (т.е. верны условия (∃), (∀)loc и (∀)s−loc , см. определение 1.12). Требуется доказать выполнение условий (∃) и (∀)s−loc .Имеет место следующее свойство: из условия (∃)loc следует условие(∃) для того же уровня кинетического момента K0 , что в определениисильно устойчивой круговой орбиты, в любом достаточно малом поясе,содержащем сильно устойчивую круговую орбиту {r0 } × S 1 (см.
предложение 2.13 и лемму 2.15). Но тогда и (∀)s−loc автоматически выполнено,так как следует из (∀)loc ввиду того, что по построению ограниченнаяорбита из (∃) (а потому и кольцо из (∀)s−loc ) содержится в кольце из(∀)loc , а уровень кинетического момента из (∃) (а потому и из (∀)s−loc )равен K0 и поэтому содержится в интервале (K0 − ε, K0 + ε) из (∀)loc .(b) следует из теоремы 3.12.Осталось доказать пункты (c), (d), (e) в части несовпадения рассматриваемых классов и непустоты их пересечений.
Докажем это, непосредственно приведя примеры многообразий вращения, на которых существуют соответствующие потенциалы.(c) Поясним “обоснование” того, что включение классов строгое. Вкачестве примера можно, видимо, взять любое многообразие вращения,полученное из многообразия из случая (i) или (iv) из перечня в примере 3.7 путем такого его изменения на дополнительной полусфере (т.е.82на полусфере, не содержащей притягивающий центр), при котором невозникнет новых сильно устойчивых круговых орбит (например, путем“малого” возмущения).(d) В качестве примера возьмем собственный пояс многообразия изслучая (i), (iv) или (v) из перечня в примере 3.7, содержащий экватор.Соответствующий потенциал на нем является замыкающим, посколькув нем содержатся сильно устойчивая орбита, не являющаяся экватором.(e) Приведенная в доказательстве пункта (d) бертранова пара не является устойчиво бертрановой в силу теоремы 3.12 и существования экватора у данного многообразия.
Примерами потенциалов из пересеченияклассов сильно (а значит и слабо, и устойчиво) замыкающих потенциалов и вполне замыкающих потенциалов могут служить пункты (ii) и (iii)из перечня в примере 3.7.Пункты (i), (iv), (v) этого перечня дают примеры вполне, но не устойчиво замыкающих потенциалов, так как соответствующие многообразияимеют экваторы. Собственные пояса многообразий из пунктов (ii) и (iii)перечня в примере 3.7 (и соответствующие потенциалы) дают примерыустойчиво, но не вполне замыкающих потенциалов в силу классификации вполне замыкающих потенциалов (см.
теорему 3.8).Таким образом, утверждение доказано.83Глава 4Некоторые геометрические ианалитические свойствамногообразий Бертрана сметрикой ds2µ,c,d4.1Реализуемость многообразий БертранаКак было замечено выше, хотя многообразия Бертрана и являются поопределению многообразиями вращения, далеко не все из описанныхмногообразий являются поверхностями вращения, инами словами, вкладываются в R3 в виде “настоящих” поверхностей вращения, получаемыхвращением некоторой профильной кривой вокруг оси OZ. В самом деле,в качестве примера рассмотрим конус с углом при вершине превосходящим 2π, то есть многообразие Бертрана с метрикой ds2µ,0,0 для подходящего значения рационального параметра µ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
