Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

θ02 +c−dθ0−2 ∈{0, +∞}, θ04 + d 6= 0), поверхность вращения касается плоскости, содержащей эту параллель. Вдоль граничной параллели {θ0 }×S 1 , являющейся экватором, поверхность вращения касается цилиндра, содержащегоэту параллель.4.2Явный вид метрикиКак было показано в разделе 3, римановы многообразия Бертрана безэкваторов (т.е. такие, что f 0 (r) 6= 0 на I) — это в точности те многообразия, риманова метрика которых может быть записана в определенномявном виде в некоторых координатах (θ, ϕ mod 2π), таких что θ = θ(r),причем µ = β1 или µ = β2 .С другой стороны, в работе [11] М.

Сантопрете доказал, что функция f , фигурирующая в метрике многообразия Бертрана без экваторов,должна удовлетворять определенному дифференциальному уравнению94(см. (4.2.1) ниже), где β — постоянная Бертрана. Важность этого дифференциального уравнения заключается в том, что при помощи его анализа Сантопрете доказывает, что на таких римановых многообразияхможет существовать не более двух центральных бертрановых потенциалов с точностью до аддитивной и положительной мультипликативнойконстант.Будем говорить, что риманово многообразие вращения с метрикой(1.1.1) имеет первый тип, если f f 00 − f 02 ≡ const (это равносильно постоянству римановой кривизны многообразия), в противном случае будемговорить, что многообразие относится ко второму типу.Совместно с О.А.

Загрядским было доказано, что указанные два условия (представимость метрики в определенном виде в некоторых координатах и дифференциальное условие Сантопрете) эквивалентны. А именно, справедлива следующая теорема, которую мы приведем без доказательства для полноты изложения:Теорема 4.10. Пусть S ≈ (a, b) × S1 — двумерное многообразие с координатами (r, ϕ mod 2π) и римановой метрикой ds2 = dr2 + f 2 (r)dϕ2 ,где f (r) — гладкая функция на (a, b) и f 0 (r) 6= 0 на (a, b). Тогда, еслифункция f (r) удовлетворяет уравнениюβ 4 − 5(−f 00 f + f 02 )β 2 − 5f 00 f f 02 + 4f 002 f 2 − 3f 000 f 0 f 2 + 4f 02 = 0,(4.2.1)для некоторой константы β ∈ R>0 , то это риманово многообразие(S, ds2 ) является многообразием Бертрана, т.е.

существуют координаты (θ, ϕ mod 2π), такие что θ = θ(r), в которых метрика имеетвидdϕ2dθ2+,(4.2.2)ds2 = 2(θ + c − dθ−2 )2 µ2 (θ2 + c − dθ−2 )где µ, c и d — некоторые вещественные константы, µ > 0. При этомµ ∈ { β1 , β2 }. Более того, если f f 00 − f 02 ≡ const (риманово многообразие2вращения первого типа), то f f 00 − f 02 ≡ − βi2 , µ = βi для i ∈ {1, 2}, d = 0;если f f 00 − f 02 6= const (многообразие второго типа), то d 6= 0, µ = β2 .Обратно, для всякого многообразия Бертрана без экваторов (т.е.

риманова многообразия с метрикой (4.2.2)) функция f (r), полученная при1записи метрики в виде (4.2.2), т.е. такая что f 2 (r(θ)) = µ2 (θ2 +c−dθ−2 ) ,0где зависимость r = r(θ) от θ определяется из равенства r (θ) = (θ2 +c−dθ−2 )−1 , удовлетворяет уравнению (4.2.1) для константы β := µ2 приd 6= 0, для любой константы β ∈ { µ1 , µ2 } при d = 0.95Глава 5Гамильтоновы системы5.1Некоторые определенияДадим некоторые основные определения теории интегрируемых гамильтоновых систем. Подробная информация о гамильтоновых системах итеории инвариантов Фоменко–Цишанга дана в [39].Определение 5.1.

Симплектической структурой на гладком многообразии M называется дифференциальная 2-форма ω, удовлетворяющаядвум условиям:1. ω замкнута, т.е. dω 6= 0,2. ω невырождена в каждой точке многообразия, т.е. в локальных координатах det Ω(x) 6= 0, где Ω(x) = (ωij (x)) — матрица формы.Многообразие M , снабженное симлектической структурой ω, называется симплектическим и обозначается (M, ω). Всякое симплектическое многообразие четномерно. Одним из важных и естественных примеров симплектических многообразий является кокасательное расслоениегладкого многообразия M .Пусть H — гладкая функция на симплектическом многообразии (M, ω).Определим для этой функции вектор косого градиента sgradH из тождестваω(v, sgradH) = v(H),(5.1.1)где v — произвольный касательный вектор, v(H) — производная функции H вдоль v.96Определение 5.2.

Векторные поля вида sgradH называются гамильтоновыми. Функция H называется гамильтонианом векторного поля sgradH.Динамическая система называется гамильтоновой, если она можетбыть записана в виде v =sgradH для некоторого гамильтониана H. Теперь определим понятие интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системы.Определение 5.3. Гамильтонова система v =sgradH на симплектическом многообразии M 2n называется вполне интегрируемой по Лиувиллю,если существует набор гладких функций f1 , . .

. , fn таких, что:1. f1 , . . . , fn — первые интегралы v,2. они функционально независимы на M , то есть почти всюду на Mих градиенты линейно независимы,3. {fi , fj } = 0 при любых i 6= j (интегралы находятся в инволюции),4. векторные поля sgradfi полны, т.е. естественный параметр на ихинтегральных траекториях определен на всей числовой прямой.Если выполнены только условия 1–3, то гамильтонову систему назовемвполне интегрируемой.Здесь {f, g} обозначает скобку Пуассона гладких функций на симплектическом многообразии, определенную по правилу {f, g} = ω(sgradf, sgradg).Здесь мы различаем два понятия интегрируемости: полная интегрируемость и полная интегрируемость по Лиувиллю.Для вполне интегрируемой гамильтоновой системы v =sgradH с независимыми инволютивными интегралами f1 , . .

. , fn на симплектическоммногообразии M 2n определим гладкое отображение, именуемое отображением момента:F : M 2n → Rn ; F(x) = (f1 (x), . . . , fn (x)).(5.1.2)Точки x ∈ M 2n , в которых ранг dF меньше n называются критическими точками отображения момента. Образ совокупности критических точек называется бифуркационной диаграммой. M 2n расслоено насвязные компоненты совместных поверхностей уровня первых интегралов f1 , . . .

, fn , такое слоение называется слоением Лиувилля. Оно состоит97из регулярных слоев (которые заполняют почти все M ) и особых слоев (заполняющих множество меры нуль). Со слоением Лиувилля тесносвязано отображение момента и бифуркационная диаграмма. А именно, слой лиувиллева слоения — это связная компонента прообраза точкипри отображении момента. При этом бифуркационная диаграмма — этообраз особых слоев слоения Лиувилля.

Точку y ∈ Rn назовем бифуркационной для отображения момента F : M 2n → Rn , если не существуетокрестности U точки y в Rn такой, что прообразы любых двух точекy1 , y2 ∈ U — F −1 (y1 ) и F −1 (y2 ) гомеоморфны. Объединение бифуркационной диаграммы и множества бифуркационных точек назовем пополненной бифуркационной диаграммой.В силу этих замечаний изучение образа отображения момента и (пополненной) бифуркационной диараммы является важной задачей, необходимой для описания топологии слоения Лиувилля данной гамильтоновой системы и ее классификации (см. [39]).5.2Гамильтоновы системы на многообразиях вращенияПростым, наглядным и важным примером гамильтоновых систем могутслужить натуральные механические системы на римановых многообразиях вращения.

Подобные системы часто возникают в механике, в частности, в задачах небесной динамики.Рассмотрим двумерное риманово многообразие S ' (a, b) × S 1 с метрикой ds2 = dr2 + f 2 (r)dϕ2 в естественных “полярных” координатах (r, ϕmod 2π), r ∈ (a, b), иными словами, многообразие вращения. Оно непредполагается вложимым в трехмерное евклидово пространство в виде поверхности вращения, однако функция f (r) имеет тот же геометрический смысл, что и “радиус параллели как функция от натуральногопараметра на меридиане” поверхности вращения, вложенной в R3 .

Этафункция полагается гладкой и не имеющей нулей на интервале (a, b).Пусть, далее, на интервале (a, b) задана гладкая функция V (r). Рассмотрим теперь динамическую систему движения точки в потенциальном поле, заданном этой функцией — центральным потенциалом на поверхности вращения. Такая динамическая система (называемая натуральной механической) является гамильтоновой системой на кокасатель-98ном расслоении к многообразию S с координатами (r, ϕ, pr , pϕ ), где p(·)обозначает соответствующий обобщенный импульс.

Гамильтониан такойсистемы хорошо известен из механики, он имеет видp2ϕp2r+ 2+ V (r).H=22f (r)Система такого вида, вообще говоря, не всегда вполне интегрируема по Лиувиллю. В самом деле, хотя интегралов в инволюции у системы достаточно — одним из первых интегралов является гамильтонианH, а в качестве дополнительного интеграла можно взять, к примеру, pϕ(на самом деле, система допускает большее количество интегралы, что вслучае полноты потоков делает ее суперинтегрируемой), — но вот соответствующие поля sgradfi могут оказаться неполными. Покажем однако,что в случае многообразий вращения и гладких центральных потенциалов интегралы функционально независимы.Для этого исследуем матрицу (grad H grad pϕ )T .

Характеристики

Список файлов диссертации