Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

уравнения(5.3.3), для соответствующих значений K и E, попадающих в область изменения переменной θ. Их количество указывает на структуру прообразаточки при отображении момента: в случае двух корней слоем являетсятор, в случае одного — цилиндр, в случае нуля корней — два цилиндра;103более двух корней у уравнения быть не может в силу его биквадратности и того факта, что область изменения переменной θ всегда являетсяподмножеством луче (−∞, 0). При этом корни имеют видsp2E − µ2 K 2 c ± (µ2 K 2 c − 2E)2 − 4µ2 K 2 (2A − dµ2 K 2 )θ1,2 = −.2µ2 K 2Внутренние точки образа отображения момента, в окрестности которыхчисло корней постоянно, не являются бифуркационными. Бифуркационные точки (не обязательно внутренние) в этой задаче можно разделить на два типа: критические бифуркационные точки, в данном случаележащие на границе образа отображения момента, и некритические бифуркационные точки, в которых меняется топология прообраза.Кроме того, образ отображения момента устроен следующим образом.

Для фиксированного значения первого интеграла K значение интеграла энергии может быть сделано сколь угодно большим выборомзначения импульса pθ . Поэтому, если точка K0 , E0 принадлежит образуотображения момента, то ему принадлежит и луч {K = 0K0 , E ≥ E0 }.Как следствие, для определения образа отображения момента достаточно найти его нижнюю границу, для чего необходимо найти минимумфункции H = H(θ, ϕ, pθ , pϕ по θ (с учетом области изменения переменной) при pθ = 0 и pϕ = K для каждого значения интеграла K.Теперь рассмотрим по очереди каждое из семейств многообразий Бертрана и докажем для них требуемые утверждения.

В дальнейшем через(K̃ 2 (θ), Ẽ(θ)) будет обозначаться указанная выше параметризация (5.3.1)2θ2 +cбифуркационной кривой: K̃ 2 (θ) := µ2 (θ2A4 +d) , Ẽ(θ) := A θ 4 +d .1. Сферы и конусы: {d = 0, c ≥ 0}. В этом частном случае областьизменения переменной θ есть (−∞, 0) и бифуркационная кривая имеетвид2θ2 + c2A.K2 = 2 4 , E = Aµθθ4Нижняя граница образа отображения момента совпадает с этой кривой (рис. 5.1). Прообразом внутренней каждой точки образа отображения момента является один тор (компактный слой слоения Лиувилля), апрообразом каждой граничной точки — одна окружность, отвечающаякруговой орбите и состоящая из критических точек ранга 1 отображения104момента.Рис. 5.1: Случай сферы с осцилляторным потенциалом2.

Полубесконечные поверхности и плоскости Лобачевского: {d >0} ∪ {d = 0,c < 0}. В данномслучае область изменения переменнойq√2θ имеет вид −∞, − −c+ 2c +4t =: (−∞, θ0 ).Обозначим через K0 предел K̃(θ) при θ → θ0 . Для K 2 < K02 минимум функции W |K=f ix достигается внутри интервала изменения θ, апотому совпадает с точкой особой кривой для соответствующего K.

ПриK 2 ≥ K02 минимум W |K=f ix не достигается, поэтому нижняя границаотображения момента будет образована точками (K, W (θ0 , ·)). Тем самым вне полосы {−K0 < K < K0 } нижней границей образа отображениямомента является прямая, не включенная в образ, на рис. 5.2 изображенная горизонтальными пунктирными линиями.105Рис.

5.2: Случай полубесконечной поверхностиВычисление количества корней уравнения (5.3.3) показывает, что подпрямой {E = W (θ0 , K)} в прообразе каждой точки находится один тор,а над этой прямой — один некомпактный слой.√3. Пары полубесконечных поверхностей: {d < 0, c ≤ −2 −d}. Область измененияθсостоитиз двух непересекающихсяинтервалов: θ ∈ qq−∞, −√−c+ c2 +4t2∪−√−c− c2 +4t,02=: (−∞, θ1 ) ∪ (θ2 , 0). В соот-ветствии с обозначениями из главы 2 будем называть многообразие, отвечающее интервалу (−∞, θ1 ), основным, а интервалу (θ2 , 0) — дополнительным.Легко видеть, что в случае основного многообразия вид пополненнойбифуркационной диаграммы и свойства слоения Лиувилля совпадают срассмотренным выше случаем полубесконечных поверхностей.

Дополнительное многообразие устроено иначе.Обозначим через K0 предел K̃(θ) при θ → 0, а через K2 — предел106при θ → θ2 . При K 2 ∈ (K0 , K2 ) нижняя граница образа отображения момента совпадает с бифуркационной кривой, в то время как при K 2 ≥ K2имеем не включенную в образ прямую {E = W (θ2 , K2 )} (на рис. 5.3 изображенную горизонтальным пунктиром); при K 2 < K02 функция W |K=f ixне ограничена снизу; при K = ±K0 функция W |K=±K0 ограничена снизузначением Ac, т.е.

нижняя граница образа отображения момента совпаdдает с нижним концом бифуркационной кривой (рис. 5.3).Рис. 5.3: Случай дополнительной полубесконечной поверхностиИсследование корней уравнения (5.3.3) показывает, что в прообразевнутренних точек криволинейных треугольников, образованных бифуркационными кривыми и прямыми {E = W (θ2 )} и {K = ±K0 }, находитсяодин тор Лиувилля; в прообразе всех прочих внутренних точек образаотображения момента находится один некомпактный слой.√4. Грушевидные поверхности:{d<0,c>−2−d}. Здесь область√√изменения θ имеет вид (−∞, − 4 −d) ∪ (− 4 −d, 0).Бифуркационная диаграмма в данном случае строится совершенноаналогично предыдущему случаю. Однако вычисление показывает, чтоконцыбифуркационных кривых, отвечающие значению параметра θ →√4− −d (отвечавшие в предыдущем случае значениям θ → θ1 и θ → θ2 на107основном и дополнительном многообразии соответственно), устремляются к бесконечности по обеим координатам.

Количество и компактностьпрообразов определяются так же, как и для пар полубесконечных поверхностей.Рис. 5.4: Случай основной части грушевидной поверхности108Рис. 5.5: Случай дополнительной части грушевидной поверхностиТем самым теорема полностью доказана.Теперь рассмотрим случай гравитационного потенциала. Как былопоказано выше, гравитационный потенциал является бертрановым только на многообразиях Бертрана с метрикой ds2µ,c,0 , то есть на проколотыхполусферах, проколотой плоскости, проколотых плоскостях Лобачевского и описанных ранее рациональных накрытиях над ними.

Поэтому изучать будем именно эти системы. Докажем следующую теорему:Теорема 5.5. Для натуральных динамических систем движения в поле гравитационного потенциала V (r) = −A|θ(r)| по многообразиям Бертрана Sk,c,0 = Ik,c,0 ×S 1 с метрикой ds2µ,c,0 справедливы следующие утверждения об отображении момента и пополненной бифуркационной диаграмме:(i) в случае конусов ({c = 0}) пополненная бифуркационная диаграмма состоит из двух симметричных относительно прямой {K = 0}109дуг, каждая из которых запараметризована в виде (5.2.2) параметромr ∈ (0, +∞), причем каждая из них имеет в качестве асимптот прямые {K = 0} и {E = 0} на плоскости (K, E), прообраз любой ее точки является окружностью, состоящей из критических точек ранга 1,“пунктирной прямой” {E = 0} и прямой {K = 0}, прообраз точек которой пуст; образ отображения момента — область, ограниченная снизудугами бифуркационной диаграммы, прообраз любой внутренней точки,лежащей ниже прямой {E = 0}, является компактный слой слоенияЛиувилля, а прообраз точек выше и на этой прямой — некомпактнымслоем (см.

рис. 5.6);(ii) в случае проколотых полусфер и их “рациональных накрытий”({c > 0}) пополненная бифуркационная диаграмма состоит из двухсимметричных относительно прямой {K = 0} дуг, каждая из которых запараметризована в виде (5.2.2) параметром r ∈ (0, π/2), причемпрямая {K = 0} является их асимптотой, прообраз любой их точкиявляется окружностью, состоящей из критических точкек ранга 1, ипрямой {K = 0}, прообраз точек которой пуст; образ отображениямомента — область, ограниченная снизу дугами бифуркационной диаграммы, прообразом любой внутренней точки является компактнымслоем слоения Лиувилля (см. рис. 5.7);(iii) в случае проколотых плоскостей Лобачевского и их “рациональных накрытий” ({c < 0}) пополненная бифрукационная диаграмма, образ отображения момента и слои слоения Лиувилля устроены аналогично случаю конусов (см.

рис. 5.8).Доказательство. Для доказательства теоремы рассмотрим по очередикаждое из семейств многообразий Бертрана и докажем для них требуемые утверждения. Аналогично рассуждениям в доказательстве предыдущей теоремы, устройство слоения Лиувилля определяется по числудопустимых корней уравнения W (θ, K) = E для данных значений первых интегралов K и E, причем W := Hpθ =0 . Но в силу простоты устройства рассматриваемых многообразий, в данном случае их исследованиеможно провести без использования громоздких общих формул.

Чтобыувеличить наглядность рассуждений, ограничимся рассмотрением случая µ = 1, т.е. “базисных” многообразий — проколотых плоскости, полу110сферы и плоскости Лобачевского, общий случай исследуется аналогично.1. Проколотая плоскость {c = 0}. В данном случае метрика можетбыть записана в виде ds2 = dr2 + r2 dϕ2 , где область изменения координаты r имеет вид (0, +∞). Бифуркационные кривые в плоскости R2 (K, E)параметризуются параметром r следующим образом:√A.γ(r) = ± Ar, −2rНижняя граница образа отображения момента совпадает с этой кривой(рис. 5.6).

Как показывает исследование корней уравнения W |K=f ix = E,прообразом каждой внутренней точки образа отображения момента приE < 0 является один тор (компактный слой слоения Лиувилля); приE > 0 прообразом является один цилиндр (некомпактный слой).Рис. 5.6: Случай конуса с гравитационным потенциалом2. Проколотая полусфера {c > 0}. В данном случае метрика может111быть записана в виде ds2 = dr2 + sin2 (r)dϕ2 , где область изменения координаты r имеет вид (0, π/2).

Бифуркационные кривые в плоскостиR2 (K, E) параметризуются параметром r следующим образом: pγ(r) = ± A tg r, −A ctg 2r .Нижняя граница образа отображения момента совпадает с этой кривой(рис. 5.7). Как показывает исследование корней уравнения W |K=f ix = E,прообразом каждой внутренней точки образа отображения момента приявляется один тор (компактный слой слоения Лиувилля).Рис. 5.7: Случай сферы с гравитационным потенциалом3. Проколотая плоскость Лобачевского {c < 0}. В данном случаеметрика может быть записана в виде ds2 = dr2 + sh2 (r)dϕ2 , где областьизменения координаты r имеет вид (0, +∞).

Бифуркационные кривые вплоскости R2 (K, E) параметризуются параметром r следующим образом: √γ(r) = ± A th r, −A cth 2r .112Нижняя граница образа отображения момента совпадает с этой кривой(рис. 5.8). Общее устройство бифуркационной диаграммы и образа отображения момента в данном случае такое же, как и у системы на конусе. Вчастности, как показывает исследование корней уравнения W |K=f ix = E,прообразом каждой внутренней точки образа отображения момента приE < 0 является один тор (компактный слой слоения Лиувилля); приE ≥ 0 прообраз является цилиндром (некомпактным слоем).Рис. 5.8: Случай плоскости Лобачевского с гравитационным потенциаломЗамечание 5.6.

Характеристики

Список файлов диссертации