Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогда вторая граничная параллель бер21/4транова многообразия√ (Ŝ, dŝ ) — это “граничный экватор” (θ = −(−d)при d ≤ 0, c > −2 −d), которому отвечает (не граничный) экватор исходного риманова многообразия (S1 , ds21 ), и потенциал V1 имеет конечныйпредел при стремлении к этому экватору. Поэтому пара (dŝ2 , V̂ ) являетсяограничением одной из пар семейств (i,iv) на (“северную” или “южную”)полусферу, причем одна из граничных параллелей этой полусферы является притягивающим полюсом.Изучим подслучай 1б. Продолжим пару (dŝ2 , V̂ ) по другую сторону“граничного экватора” так, чтобы продолженная пара (ds22 , V2 = V2 (r))на S2 = (a2 , b2 )×S 1 ⊃ Ŝ была представима формулами из примера 3.7(B)с расширенной областью определения Ic,d ×S 1 (содержащей экватор), гдеIc,d := {θ ∈ R | θ < 0 < θ2 +c−dθ−2 } при d 6= 0 или c ≤ 0,Ic,0 := R при c > 0,для некоторого диффеоморфизма (a2 , b2 ) → Ic,d , r 7→ θ = θ(r), т.е.
чтобыпродолженная пара была сопряжена одной из пар семейств (i,iv). Безограничения общности считаем, что метрики ds2i на Si = (ai , bi ) × S 1имеют видds2i := dr2 + fi2 (r)dϕ2 ,i = 1, 2,(3.2.4)причем (ввиду изометричности метрик ds21 |(a0 ,b0 )×S 1 и dŝ2 ) упомянутымвыше полюсам многообразий (Si , ds2i ) отвечает одно и то же значениеa1 = a2 =: a координаты r (т.е. “широта”), а экваторам — одна и таже “широта” b0 = b̂0 = b̂ =: r0 . Всюду далее fi , Vi рассматриваются какфункции переменной r.Итак, в рассматриваемом случае исходная пара функций (f1 , V1 ) совпадает с парой функций (f2 , V2 ) одного из семейств (i,iv) по одну сторону74экватора {r0 } × S 1 , точнее на (a, r0 ] × S 1 .
Покажем, что пары (f1 , V1 ) и(f2 , V2 ) совпадают всюду (включая этот экватор и по другую его сторону).Любая метрика семейств (i,iv) (а потому и ds22 ) является метрикойТаннери. (В самом деле: любая пара, принадлежащая семействам (i,iv),— бертранова. Все ее неособые орбиты ограничены ввиду limr→s Ûeff,K (r) =+∞, s ∈ {a2 , b2 } (см. (3.2.3)).
Поэтому такая пара является вполне бертрановой. Отсюда и из сферичности любой метрики семейств (i,iv) следует, в силу леммы 3.4(c), что она является метрикой Таннери.) С другойстороны, исходное риманово многообразие (S1 , ds21 ) имеет полюс {a} ×S 1 ⊂ ∂S1 и экватор {r0 } × S 1 ⊂ S1 , поэтому в силу леммы 3.4(c) оноизометрично вкладывается в многообразие (0, π) × S 1 с некоторой обобщенной метрикой Таннери ds̃21 . Значит, метрика Таннери ds22 и обобщенная метрика Таннери ds̃21 сопряжены по одну сторону своих экваторов (на(a, r0 ]×S 1 ). Но в силу определения 3.2 две обобщенные метрики Таннери,сопряженные по одну сторону своих экваторов, обязаны быть сопряженывсюду. Поэтому обобщенная метрика Таннери ds̃21 в действительности является метрикой Таннери (т.е.
всюду невырождена), и S1 ⊂ S2 (поэтомуb1 ≤ b2 =: b) и f1 = f2 |(a,b1 ) , т.е. первая метрика из (3.2.4) совпадает с ограничением второй на подмногообразие (a, b1 ) × S 1 = S1 ⊂ S2 = (a, b) × S 1 .Положим f := f2 .Осталось доказать совпадение многообразий S1 ⊂ S2 и совпадениевполне замыкающих потенциалов V1 и V2 всюду на S1 (а не только поодну сторону экватора {r0 }×S 1 ). В силу принципа Мопертюи и того, чтооба потенциала Vi — вполне замыкающие, имеем два 1-параметрическихсемейства метрик Таннери:11 2dsi,E = (1 − Vi (r))(dr2 + f 2 (r)dϕ2 ),EEi = 1, 2,(3.2.5)на многообразиях Vi−1 (−∞, E) × S 1 ⊂ Si с параметром E > inf Vi , гдеS1 ⊂ S2 .
Экваторы метрик i−го семейства совпадают (в силу принципаМопертюи) с круговыми орбитами пары Бертрана (ds2i , Vi ), которые приi = 2 лежат в области (a, r0 ) × S 1 совпадения пар (ds21 , V1 ) = (ds22 , V2 ).Поэтому при любом E 1 две метрики из (3.2.5) совпадают по однусторону своего экватора. Но в силу леммы 3.4(d) две метрики Таннери,совпадающие по одну сторону экватора, обязаны быть сопряжены всюду.Значит, для любого E 1 две метрики из (3.2.5) всюду сопряжены.Так как ds21 = dr2 + f 2 (r)dϕ2 — вполне бертранова метрика на S1 =75(a, b1 ) × S 1 с экватором {r0 } × S 1 ⊂ S1 , то в силу леммы 3.4(b) выполненоf 0 < 0 на (r0 , b1 ). Значит, в силу леммы 3.5, на (r0 , b1 ) имеем V1 −V2 = Cf 0для некоторой константы C ∈ R. Так как по доказанному выше V1 −V2 =0 на (a, r0 ], а метрика и оба потенциала Vi гладкие, то0 = V10 (r0 ) − V20 (r0 ) = Cf 00 (r0 ).Но, по лемме 3.4(b), f 00 (r0 ) 6= 0.
Поэтому C = 0, т.е. V1 = V2 всюду наS1 = (a, b1 ) × S 1 .Итак, исходная вполне бертранова пара (ds21 , V1 ), заданная на многообразии S1 , является ограничением вполне бертрановой пары (ds22 , V2 )из семейств (i,iv), заданной на многообразии S2 , на подмногообразиеS1 ⊂ S2 . Так как у каждой пары (ds2i , Vi ) все неособые орбиты замкнуты(т.е.
эта пара вполне бертранова), то в силу леммы 3.3(a) ее эффективныйпотенциал имеет предел +∞ на обеих граничных параллелях многообразия Si (при любом K 6= 0), i = 1, 2. Отсюда получаем, что включениеS1 ⊂ S2 является равенством, что и требовалось доказать.Случай 2 (семейство (v)): указанная круговая орбита является экватором, который обозначим через {r0 }×S 1 . По лемме 3.3(c,d) потенциал V1постоянен по одну сторону этого экватора, скажем на (a1 , r0 ]×S 1 .
Значит,в силу леммы 3.3(a), по эту сторону экватора имеется полюс {a1 }×S 1 . Полемме 3.4(c) наше риманово многообразие (S1 , ds21 ) изометрично вкладывается в многообразие (0, π) × S 1 с некоторой обобщенной метрикой Таннери ds̃21 . С другой стороны, в силу принципа Мопертюи и полной бертрановости пары (ds21 , V1 ), имеем метрику Таннери ds21,E0 := (E0 − V1 (r))ds21при E0 := V1 (r0 ) + 1 на V1−1 (−∞, E0 ) × S 1 ⊂ S1 , которая совпадает сметрикой ds21 по одну сторону экватора (точнее, на (a1 , r0 ] × S 1 ). Значит, обобщенная метрика Таннери ds̃21 и метрика Таннери ds21,E0 сопряжены по одну сторону своих экваторов. Но в силу определения 3.2 двеобобщенные метрики Таннери, сопряженные по одну сторону своих экваторов, обязаны быть сопряжены всюду.
Поэтому обобщенная метрикаТаннери ds̃21 в действительности является метрикой Таннери (т.е. всюдуневырождена). Итак, наше риманово многообразие (S1 , ds21 ) содержитсяв некотором многообразии Таннери S2 = (a, b) × S 1 с метрикой видаds22 = dr2 + f 2 (r)dϕ2 ,где a := a1 < b1 ≤ b и ds21 = ds22 |(a,b1 )×S 1 . В частности, пара (ds22 , V2 :=V1 (r0 ) = const) на многообразии S2 является вполне бертрановой.76Осталось доказать совпадение многообразий S1 ⊂ S2 и совпадениевполне замыкающих потенциалов V1 и V2 всюду на S1 (а не только поодну сторону экватора). В силу принципа Мопертюи и того, что обапотенциала Vi — вполне замыкающие, имеем два 1-параметрических семейства метрик Таннери (3.2.5) на многообразиях Vi−1 (−∞, E) × S 1 ⊂ Siс параметром E > inf V1 = V1 (r0 ) = V2 в силу леммы 3.3(c).
Их экваторы совпадают (в силу принципа Мопертюи) с круговыми орбитамипары Бертрана (ds2i , Vi ), которые при i = 1 совпадают (в силу предположения и леммы 3.3(c)) с экватором {r0 } × S 1 метрики ds21 . Поэтомупри любом E > V1 (r0 ) две метрики из (3.2.5) совпадают по одну сторонусвоего экватора {r0 } × S 1 . Но в силу леммы 3.4(d) две метрики Таннери,совпадающие по одну сторону своего экватора, обязаны быть сопряжены всюду. Значит, для любого E > V1 (r0 ) две метрики из (3.2.5) всюдусопряжены.Дословным повторением предпоследнего абзаца доказательства в случае 1 получаем, что V1 = V2 всюду на S1 . Значит, V1 = const всюду наS1 , поэтому (S1 , ds21 ) — многообразие Таннери.
Значит, в силу построенияS1 = S2 , что и требовалось доказать.Первое утверждение теоремы доказано. Докажем остальные утверждения. Из явного вида (3.1.2) метрик Таннери следует, что разнымтройкам (β, R, ±h) отвечают неизометричные римановы многообразиясемейства (v). Разным постоянным потенциалам на одном римановоммногообразии семейства (v) отвечают, очевидно, несопряженные парыБертрана. Римановы многообразия семейств (ii,iii) не имеют экваторов,а потому неизометричны никаким римановым многообразиям семейства(v). В силу леммы 3.4(c), римановы многообразия семейств (i,iv) являются многообразиями Таннери, т.е. римановыми многообразиями семейства(v). У всех пар Бертрана семейства (v) потенциал — константа, поэтомуони не сопряжены никаким парам других семейств.
Согласно следствию2.9(A), римановы многообразия семейств (i—iv) попарно неизометричны.Любая изометрия любого риманова многообразия семейств (ii—iv) в себяпереводит любую параллель в себя, а потому разным парам (A, B) отвечают несопряженные пары Бертрана на любом таком римановом многообразии. Если две пары Бертрана семейства (i) сопряжены друг другу,то сопрягающая изометрия переводит притягивающий полюс (θ = −∞)в себя, а потому переводит любую параллель в себя, поэтому эти парыБертрана отвечают одной и той же паре (A, B).Теорема 3.8 доказана.77Замечание 3.9.
Семейства (ii,iii) из теоремы 3.8 и примера 3.7 характеризуются отсутствием экваторов. Семейства (i,iv) характеризуются тем,что все круговые орбиты находятся по одну сторону экватора (по ту,где находится притягивающий полюс, т.е. потенциал принимает меньшиезначения) и потенциал — не константа. Семейство (v) характеризуетсятем, что все круговые орбиты совпадают с экватором и потенциал — константа. Любая вполне бертранова пара семейств (i—iv) после выкидывания в случаях (i,iv) экватора и полусферы, содержащей отталкивающийполюс, остается бертрановой, а потому присутствует в примере 3.6(B).3.3Случай цилиндраСлучай цилиндра, т.е. многообразия вращения S = (a, b)×S 1 с римановойметрикой (1.1.1) при f (r) = Cf = const, стоит особняком, посколькуцилиндр является единственным многообразием, целиком состоящим изэкваторов.
Для него справедливо следующее утверждение, первая частькоторого принадлежит О.А. Загрядскому, а вторая получена совместнос Е.А. Кудрявцевой:Лемма 3.10. (A) (О.А. Загрядский) На любом цилиндре не существуетзамыкающих центральных потенциалов.(B) (Е.А. Кудрявцева, Д.А. Федосеев) Более того, для любого центрального потенциала на цилиндре S и любой замкнутой некруговойнеособой орбиты, в “поясе” [r1 , r2 ] × S 1 ⊂ S существуют как незамкнутые неособые ограниченные орбиты, так и бесконечное число замкнутыхи попарно негомотопных орбит, где r1 , r2 — минимальное и максимальное значения координаты r на исходной замкнутой орбите.Доказательство. Пусть V = V (r) — любой центральный потенциал нацилиндре. Предположим, что существует неособая замкнутая орбита, неявляющаяся круговой.
Обозначим отвечающие данной орбите уровеньэнергии через Ê, а значение кинетического момента — K̂. Пусть r1 , r2 ∈(a, b) — минимальное и максимальное значения координаты r на даннойзамкнутой орбите. Значит, r1 , r2 — это корни уравнения Ueff,K̂ (r) = Ê,такие что Ueff,K̂ |(r1 ,r2 ) < Ê.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
