Конфигурационные многообразия обобщенной задачи Бертрана и гамильтоновы системы (1103294), страница 5
Текст из файла (страница 5)
абстрактная поверхность вращения). Пусть функция f удовлетворяет тождеству f 00 f − (f 0 )2 = −ξ 2 , где ξ > 0 рационально, т.е. fимеет один из следующих видов:±ξ(r − r0 ), c = 0,√ξ√ sin( c(r − r0 )), c > 0,f (r) = ξfc (r − α) :=c√ξ ± √ sh( −c(r − r0 )), c < 0,−cгде c — половина скалярной кривизны Римана этой поверхности; в данном случае кривизна постоянна; 2πξ — полный угол в конической точкеповерхности (центре поля).
Пусть, далее, функция f 0 (r) не имеет нулей на интервале (a, b). Тогда в классе центральных потенциалов на Sсуществуют два и только два (с точностью до аддитивной и мультипликативной констант) полулокально замыкающих (соответственнолокально замыкающих, замыкающих, сильно или слабо замыкающих)потенциала V1 (r), V2 (r).Случаю d 6= 0 соответствует следующее утверждение:Теорема B (теорема 2.3). Пусть дана гладкая двумерная поверхностьS, диффеоморфная (a, b) × S 1 , снабженная римановой метрикой (1.1.1).Пусть функция f не удовлетворяет тождеству f 00 f − (f 0 )2 = −ξ 2 нидля какого рационального ξ > 0, и пусть функция f (r) не имеет критических точек на (a, b).
Тогда существует не более одного полулокальнозамыкающего (соответственно локально замыкающего, замыкающего,сильно или слабо замыкающего) центрального потенциала (с точностью до аддитивной и мультипликативной констант). При этом потенциал ровно один (с точностью до аддитивной и мультипликативной констант) тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие: существует гладкая функция θ = θ(r) без нулей на (a, b), такая23что θ0 (r) > 0 и риманова метрика в координатах (θ, ϕ mod 2π) имеетвидdθ2dϕ2ds2 = 2,(1.4.1)+(θ + c − dθ−2 )2 µ2 (θ2 + c − dθ−2 )где µ — положительная рациональная константа, d — ненулевая константа, а c — произвольная вещественная константа.При этом функция θ(r) и тройка чисел (µ, c, d) единственны (если существуют), и замыкающий потенциал будет являться обобщенным осцилляторным, т.е.
иметь вид V2 (r) = 2θ2A(r) + B, где A, B ∈ R,A(θ4 (r) + d) > 0. Соответствующие неособые некруговые ограниченныеорбиты задаются периодическими функциями r = r(ϕ) с минимальнымположительным периодом Φ = πµ. На фазовой траектории, отвечающей круговой орбите {r} ×qS 1 ⊂ (a, b) × S 1 , значение кинетическогоA; граничная окружность {r0 } × S 1 ,момента K равно K = ± µ1 θ4 (r)+dна которой достигается inf f (r) (т.е. sup A|θ(r)|), является притягивающим центром поля с замыкающим потенциалом V2 (т.е. на нейдостигается inf V2 (r)).В качестве следствия исследован частный случай задачи Бертрана наконусах: доказано следствие 2.2.Кроме того, подробно изучены геометрические свойства полученныхмногообразий и их бифуркации при изменении параметров (c, d) — утверждение 2.9 и комментарий 2.10.
Показано, что все многообразия Бертрана (т.е. двумерные римановы многообразия вращения, на которыхсуществуют “бертрановы” потенциалы, см. определение 1.12) без экваторов образуют трехпараметрическое семейство ds2c,d,µ (см. (2.1.3)) и могутбыть описаны следующим образом (при µ = 1). На прямой {d = 0} расположены многообразия постоянной кривизны: проколотые полусферыпри c > 0, евклидова плоскость при c = 0 и плоскости Лобачевскогопри c < 0. Полуплоскости {d > 0} отвечают “полубесконечные” многообразия вращения.
Полуплоскость {d < 0} делится на две части левойветвью параболы c2 + 4d = 0 (см. рис. 2.1). В области справа от параболы находятся “грушевидные” многообразия с экватором, которые следуетрассматривать как пары многообразий вращения без экваторов, каждоеиз которых является многообразием Бертрана и попарно эти многообразия являются аналитическим продолжением одно другого. Наконец,слева от параболы находится семейство пар полубесконечных многооб24разий, получаемых из грушевидных устремлением радиуса экватора кбесконечности и “разведением” половин.Изменение параметра µ ведет к переходу от “базисного” многообразия к некоторому определенному разветвленному накрытию над ним.2.
Решена обобщенная задача Бертрана в случае вполне замыкающих (теорема 3.8) и устойчиво замыкающих (теорема 3.12) потенциаловна произвольных многообразиях вращения (с экваторами или без них).Доказано, что в обоих случаях не возникает новых многообразий, помимо полученных в теореме 2.3. При этом “грушевидные” многообразия,которые при изучении задачи Бертрана на многообразиях без экватороврассматривались как пары многообразий, в данном случае целиком являются многообразиями Бертрана. Более точно, доказано, что все устойчиво бертрановы многообразия являются многообразиями без экваторов(и их семейство совпадает с семейством всех бертрановых многообразийбез экваторов), а для вполне бертрановых пар справедлива следующаятеорема:Теорема C (теорема 3.8).
Вполне бертрановы многообразия вращения(S, ds2 ), где S = (a, b) × S 1 , вместе с вполне замыкающими центральными потенциалами V на S (определение 1.12), с точностью до сопряженности пар (ds2 , V ) образуют пять семейств:(i) сферичные (определение 1.13) “сферообразные” (т.е. постояннойположительной кривизны) 2-мерные римановы многообразия вращения(образующие 2-параметрическое семейство, содержащее 1-параметрическое семейство круглых сфер с выколотыми полюсами) с гравитационным потенциалом на них (см. [34] или теорему 2.1),(ii) “рациональные” конусы с плоской метрикой (образующие 1-параметрическое семейство, содержащее проколотую евклидову плоскость) сосцилляторным потенциалом на них (см.
[34, §2.1, следствие 1] илиследствие 2.2),(iii) “северные полусферы” многообразий из п.(i) с осцилляторнымпотенциалом на них (см. [34] или теорему 2.1),(iv) грушевидные (определение 1.13) 2-мерные римановы многообразия вращения из [34] (образующие 3-параметрическое семейство) с осцилляторным потенциалом на них, где знак потенциала таков, что“основной” полюс является притягивающим, а “дополнительный” — отталкивающим (см.
[34, §2.2, формула (5)] или теорему 2.3),25(v) все многообразия Таннери (определение 1.12), классифицированные в [29, гл. 4, теорема 4.13] (см. также (3.1.2) и (3.1.4) далее), включающие многообразия из пп.(i,iv) и образующие “функционально-двупараметрическое”семейство (параметры которого суть два вещественных числа и нечетная гладкая функция h : (−1, 1) → (−1, 1) с точностью до заменыh → −h, см. (3.1.2) далее), являющиеся (в силу леммы 3.4(d) далее) либо сферичными и сферообразными (h ≡ 0), либо грушевидными (h 6≡ 0),с постоянным потенциалом на них.Любые две вполне бертрановы пары (ds2 , V ), принадлежащие либоразным семействам, либо одному семейству с разными наборами параметров, не сопряжены. Римановы многообразия семейств (i) и (iv)составляют часть римановых многообразий семейства (v).
Любые дваримановы многообразия, принадлежащие либо разным семействам (ii,iii,v),либо одному семейству (i—v) с разными наборами параметров, не изометричны.Кроме того, доказано, что на цилиндрах не существует замыкающихпотенциалов, причем в любом “поясе” между максимумом и минимумомкоординаты “широты” любой замкнутой некруговой орбиты существуюткак незамкнутые неособые ограниченные орбиты, так и бесконечное число замкнутых и попарно негомотопных орбит.3.
Исследованы геометрические свойства многообразий Бертрана, аименно, показано, какие из многообразий с метриками ds2c,d,µ являютсяповерхностями вращения, т.е. могут быть вложены в R3 с сохранением инвариантности относительно действия группы вращений. Доказаныследующие две теоремы о реализуемости многообразий целиком и о реализуемости некоторого максимального подмногообразия (“пояса”):Теорема D (Глобальная реализуемость, теорема 4.1).
Верны следующие утверждения о реализуемости римановых многообразий Бертрана(Ik,c,d × S 1 , ds2µ,c,d ) целиком:1) Дополнительное многообразие не реализуемо никогда;2) Основное многообразие реализуемо тогда и только тогда, когда соответствующая тройка√параметров (µ, c, d) принадлежитp√ следующимобластям: {µ ≥ 2, c ≥ −2 −d, d ≤ 0}∪{1 ≤ µ < 2, c ≥ −2 −d h(µ), d ≤0}, где h ∈ Homeo+ ((0, +∞), R) — сохраняющий ориентацию гомеомор22 )2физм интервалов, определенный формулой h(µ) := (µ −1)(8+µ.27µ426Теорема E (Локальная реализуемость, теорема 4.8).
Риманово многообразие Бертрана (Ik,c,d ×S 1 , ds2µ,c,d ) реализуемо целиком в виде поверхности вращения в R3 тогда и только тогда, когда оно является основным(k = 1) и тройка параметров (µ, c, d) принадлежит области, указаннойв предыдущей теореме. Для остальных значений k, (µ, c, d) ∈ R3 , µ > 0,верны следующие утверждения о локальной реализуемости многообразий Бертрана:0) Пусть d = c = 0, 0 < µ < 1. Риманово многообразие нереализуемодаже локально (т.е. любоя окрестность любой параллели нереализуема).1) Пусть d = 0, c > 0, µ < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
