Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы на алгебрах Ли (1103069)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАБИ СССР МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛОНИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАЬПНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический йакультет На правах рукописи БОЛСИНОВ Алексей Викторович УДК 513.944 ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ПО ЛИУВИЛЛЮ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТИЬ1 НА АЛГЕБРАХ ЛИ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель доктор шизико-математическпх наук, прой>ессор А.Т.Фоменко МОСКВА, 1987 СОДЕРЖАНИЕ Введение . Глава 1.
Функции в инволюции и согласованные скобки Пуассона $ 1. Основные определения . ~ 2. Семейства Функций в инволюции, связанные с согласованными скобками Пуассона . ~ 3. Линейные семейства кососимметрических билинейных йорм. Доказательства теорем . Глава 2. Согласованные скобки Пуассона на двойст- венных пространствах алгебр Ли 5 1. Семейства йункций в инволюции, построенные методом сдвига аргумента . 5 2.
Функции в инволюции на симметрически- градуированных алгебрах Ли 5 3. Семейства скобок Пуассона, связанные с лиевыми пучками 4 4. Вполне интегрируемые системы на алгебрах Ли и секционные операторы Глава 3. Инволютивные семейства йункций на полупрямых суммах алгебр Ли . ~ 1. Коприсоединенное представление полупрямых сумм алгебр Ли ~ 2.
Инволютивные семейства йункций на полупрямьж расширениях простых алгебр Ли Литература 13 16 20 28 41 61 74 79 ВВЕЛ ЕНИЯ В 1966-69 гг. в работах В.И.Арнольда Г1-23 было введено понятие уравнений Эйлера на двойственных пространствах елгебрЛи, ! естественным образом обобщающих классические уравнения Эйлера динамики твердого тела. В этих же работах были изучены некоторые общие свойства таких уравнений, в частности, показана их гамиль- тоновость на орбитах коприсоединенного представления относительно симплектической структуры, задаваемой формой Кириллова ~З~ , и найдены простейшие интегралы этих уравнений — инварианты коприсоединенного представления. Позднее, начиная со второй поло- вины 70-х годов, появился большой цикл работ различных авторов ~4-193, в которых были получены серии уравнений Эйлера, являю- шихся аналогами уравнений классической механики и обладающих значительным запасом первых интегралов, в ряде случаев была доказана полная интегрируемость по Лиувиллю.
При этом семейства первых интегрэлов в инволюпии во многих случаях были получены каким-либо возмущением инвариантов коприсоединенного представления либо самой алгебры Ли, на двойственном пространстве которой задан гаъптльтонов поток, либо некоторой большей объемлющей ал- гебры. Одним из примеров "возмущений" такого рода является метод сдвига аргумента, предложенный А.С Лищенко и А.ТАоменко в ~ 5-63 и обобщающий конструкцию С.В.Манакова ~4 3 для алгебры Ли вОИ) . В 15-63 был обнаружен один из алгебраических механизмов, управ- ляющих полнотой семейства сдвигов инвариантов, и доказана полно- та в случае полупростых алгебр Ли. Позднее, полнота семейств, построенных методом сдвига аргумента, была доказана для некоторых других алгебр Ли, в частности, для алгебры Ли Е(~)=ИМ+ ~к.
группы движений В-мерного евклидова пространства /см. работу В.В.Трофимова и А.ТЛоменко ПОЗ /. Как непосредственное следствие полноты семейств сдвигов в 15-61 была показана полная интегрируемость по Лиувиллю многомерных аналогов уравнений движения твердого тела с произвольной полупростой группой движений и построена серия левоинвариантных метрик на полупростых группах Ли с интегрируемым геодезическим потоком, в 1103 показана полная интегрируемость некоторых аналогов уравнений движения твердого тела в идеальной жидкости. С другой стороны, сразу были обнаружены примеры алгебр Ли, для которых семейство сдвигов инвариантов неполно или деже тривиально.
В связи с этим возникла задача получения э4йективного критерия, позволяющего выделять случаи, когда семейства, построенные методом сдвига аргумента, полны. Напомним, что полнота инволютивного семейства функций на двойственном пространстве к алгебре Ли по определению означает полноту почти на всех орбитах максимальной размерности. Поэтому из полноты инволютивного семейства на всем пространстве не следует полнота его ограничения на Фиксированную сингулярную орбиту„ соответствующие примеры легко привести. Возникает еще один естественный вопрос: описать сингулярные орбиты, на которых семейства сдвигов инвариантов полны. Впервые этот вопрос рассматривался Дао Чонг Тхи в Г 20 3, где была сформулирована теорема о полноте семейства сдвигов инвариантов на полупростых сингулярных орбитах в полупростых алгебрах Ли, однако, в опубликованном дока- зательстве имелись неточности.
Затем этот же вопрос возник в работах А.С.Ыищенко ~2П и А.В.Браилова Г221 в связи с построе- нием вполне интегрируемых геодезических потоков на симметрических пространствах, в ~223 было дано строгое доказательство результата, анонсированного Дао Чонг Тхи в ~203. Еще одно напрвление исследований, к которому примыкает тематика настоящей работы, связано с изучением согласованных скобок Пуассона /в другой терминологии пуассоновых или гаьптльтоновых пар/. В связи с интегрированием гемильтоновых систем это понятие впервые возникло в работе Магри ~22 3 /см. также ~ 243 /. Интерес к согласованным скобкам объясняется тем, что многие системы уравнений, возникающие в задачах математической Физики, являются гамильтоновыми относительно целого семейства согласованных пуассоновых структур.
Это свойство уравнений бывает весьма полезно при нахождении их первых интегралов. Например, если скобки Пуассона из этого семейства вырождены, то первыми интегралами будут их центральные Функции. Отметим, что метод сдвига аргумента является частным случаем этой более общей конструкции. Как обычно при доказательстве полной интегрируемости по Лиувилло возникает вопрос о полноте набора первых интегралов, состоящего из центральных Функций скобок Пуассона, образую- щих линейное семейство.
Явные вычисления бывают при этом весьма громоздки, поэтому интерес представляют "неявные" методы проверки полноты /см., например, ~53, ~83, ~161 / В работах А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко 125-263 была построена теория так называемого некоммутативного интегрирования, т.е. интегрирования гамильтоновых систем в случае, когда первые инте- гралы не коммутируют между собой, а образуют, например, конечно- мерную алгебру Ли относительно скобки Пуассона.
В Г263 был пос- тавлен вопрос о том, когда из некоьмутативной интегрируемости гамильтоновой системы на симплектическом многообразии следует ее коммутативная интегрируемость по Лиувиллю, и доказана теорема, утверждающая, что это будет так, если на двойственном пространстве конечномерной алгебры Ли первых интегралов существует полное инволютивное семейство Функций. В связи с этим поставлена задача описания таких семейств на двойственных пространствах алгебр Ли. высказано, что такие семейства существуют на полупрос- тых ~53, ~63, ~273 и алгебраических разрешимых /например, на борелевских подалгебрах полупростых елгебр Ли ~283 / алгебрах Ли. Наиболее простым после полупростых и разрешимых алгебр Ли является случай полупрямых сумм 6 = К+ Т/, где К полупростая алгебра Ли, Ч вЂ” коммутативный идеал, '~: К вЂ” + ф( Ч) — некоторое линейное представление.
Вопрос о полноте инволютивных семейств Функций на алгебрах Ли такого типа возникал в работах ~8~, ~10-133, ~ 16~ . Специально этот вопрос рассматривался Т.А.Певцовой в ~293 . Для многих конкретных примеров полупрямых сумм полные инволютивные семейства функций построены. По-видимому, наиболее общим здесь является результат А.В.Браилова, который состоит в следующем. Пусть С = К + ~/ — полупрямая сумма и ~~М0 стационарная подалгебра общего положения представления ~ : К ф М ) .
Если на Й~ сдвиги инвариантов алгебры Ыо образуют полное инволютивное семейство /например, М0 редуктивна/, то на Сг также имеется полное инволютивное семейство, которое явно строится по инвариантам коприсоединенного представления. Однако, до сих пор нет универсального метода, позволяющего строить полные инволютивные семейства на всех полупрямых суммах. Кроме того, не ясно, в каких случаях для решения этой задачи можно применять метод сдвига аргумента. Одни из основных результатов настоящей работы является критерий полноты семейства вункций в инволющп~, построенного методом сдвига аргумента.
Доказано, что сдвиги инвариантов пред~к ставления Аа на ковектор общего положения образую полное инволютивное семейство на коалгебре тогда и только тогда, когда коразмерность множества сингулярных элементов в коалгебре не равна единице. Оказалось, что идея доказательства этого критерия может быть перенесена на более общую ситуацию, а именно, на слу- чай инволютивных семейств функций на пуассоновых многообразиях, построенных по произвольной паре согласованных скобок Пуассона. А.В.Браилов впервые обратил внимание на это обстоятельство и доказал аналог критерия полноты в случае симплектических слоев максимальной размерности.
Затем автором настоящей работы было получено дальнейшее развитие результата А.В.Браилова, в частности, найдены условия полноты на сингулярных симплектических слоях. Зти общие результаты оказалось очень удобно применять для исследования полноты различных семейств функций в инволюции на двойственных пространствах алгебр Ли. Отметим, что первоначально автором были доказаны некоторые результаты, относящиеся к алгебрам Ли, а затем А.В.Браиловым и автором конструкция была перенесена на общую ситуацию и получены новые следствия. В настоящей работе порядок изложения другой: сначала излагается общая конструкция, затем все остальные утверждения доказываются как ее следствия.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
