Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы на алгебрах Ли (1103069), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Отсюда сразу следует формула для индекса полупрямой суммы Н+ ~/ = ~м~ Й, + М Ч Ч где ии~ ~ — минимальная коразмерность орбиты представления 'Р , Йо — стационарная подалгебра общего положения представления ~ . Эту формулу обычно называют формулой Раиса. Поясним, что будет ниже пониматься под "общностью положения". В пространстве ~~ имеется всюду плотное открытое множество И такое, что стационарные поделгебры Ь®~ К всех его элементов в смысле представления Ч имеют: 1/ одинаковые размерности, 2/ одинаковые индексы, 3/ одинаковые кораз- М мерности множеств сингулярных элементов в МИ .
Элементы множества К и соответствующие стационарные подалгебры мы будем называть элементами, соответственно стационарными подал- гебрами общего положения. Дадим еще одно О п р е д е л е н и е. Элемент Уб У будем называть слабо регулярным , если для стационарной поделгебры Ж~(з3 с Й выполняется условие йм ЙЖ+мий М~йг) = пои.
(Жи~ Ми)" с'ы6 8й~~З). и~ ~у Ясно, что элементы общего положения являются слабо регулярными, но обратное, вообще говоря, неверно. Пусть Ь= ~ х~.~ГЕ Н + У ~ Йи~ Ьй Йс+б)>~~й4(й~ — множество сингулярных элементов в П р е д л о ж е н и е 3.1.1. 3лемент 'У"б У слабо регулярен тогда и только тогда, когда существует й.' ~ Н такой, что ~+~ Ф ~ Локазательство. Пусть х+~ГЕЯ", Й:Й— Ы(ч~) — естественная проекция. Вычислим Йги 4~йл (х+Ф) . Имеем Д ~(Х,+Г)= й 4 4К( ))+ СООТГ б®= Ы 4 (~6 Я+ +~ 7-,4 ~+~ ~~М~(г 4М® и' ~~Ю+~ причем, если ковектор й~(х) регулярен в М~Г) , то в точнос- ти р~~щ 4~и,(~+~) (М Ь~й~)+Йип Й(ф) + 6~А 7 — Ььи Ц. Утверждение сразу следует из этих равенств.
Обозначим через Б~ дополнение к множеству слабо регулярных точек в пространстве Ъ" , через 3 ~ множество о Ф Ф сингулярных элементов в ~~о в смысле представления а~ где М0~- Н вЂ” стационарная подалгебра общего положения. Предложение 3.1.2. СЯ~М Ь3:2 тогдаи только тогда, когда одновременно Сбйщ 1дЭЬ и Сели ЬЗ~ ~~2 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сечения множества Таким образом, филь с~ма Аь~ъ(и.+тт) = Ы Йбт)+Йил М~5)+ йи ~/- йи~ Д хай ~и4~ = ими. 4и~ Ммьи(х+К)= ели, ~!ийй(04+ЙщМЦ+Йви7-4~Я ~+~Я Н "+~/" ме7+ 5 ~ Н"~'У аФфинными плоскостями вида ч1'+ Н", 'У'Е У" Легко видеть, что условие ссб~ии ~ = 1 эквивалентно выполнению одного из следующих двух условий: 1/ множество точек ~ГЕ ~ , для которых коразмерность пересечения Ж+ Н ) И Ь в плоскости 'К+ М равна единице, открыто по Зарисскому в 'Ч и непусто, 2/ множество точек ~~ ~ таких, что 'К+ Н С:- Ь > имеет коразмерность 1 в 'Ч В силу предложения 3.1.1 условие 2 в точности означает, что сОЙ~и М = 1 .
Рассмотрим пересечение (К~ И ) И Б к Ф Пусть ~+ Н Ч- ~, т.е. точка ~Е7 слабо регулярна. Элемент Ж~ У содержится в пересечении ф+ Н ) Й Ь тогда и только тогда, когда Ж~ж) б,б~ ) С: ЬЙ ~0')", где ~3~(~г) множество сингулярных элементов в ВИЛ) . Поэтому сос(йм.
(ч~+ Н ) Й Б = С04мм ~ ~~~) . Следовательно, первое условие означает, что существует непустое открытое по Зарисскому а~ ~ множество "и С: Ч , состоящее из элементов ~Г таких, что бдим Ьс ~ .,= ~ . Поскольку множество точек общего положения тоже открыто по Зарисскому, то условие 1 на самом деле эквивалентно тому, что сО4ии. Ь ~~ = 1 . Предложение доказано. Доказанное утверждение позволяет эффективно оценивать ко- Б и тем самым проверять полноту размерность множества инволютивного семейства сдвигов инвариантов на пространстве Я . В следующем параграфе это будет продемонстрировано на примере полупрямых расширений простых алгебр Ли.
В заключение отметим еще одно довольно неожиданное следствие нашей конструк- Пусть ~ — произвольная алгебра Ли над (Г М : 1 — ф1 1 ~ ) — произвольное представление такое, что стационарные подалгебры общего положения тривиальны, в частности, — 78— ~Цр„~ ( Жим ~ . Предположим, что представление Ч' обладает полным набором полиномиальных инвариантов, т.е. существуют алгебраически независимые инвариантные полиномы 'Ч -~ Ы и 4'.= дмм7 -суви ~., другими словами, степень трасцендентности кольца инвариантных полиномов равна коразмер- ности орбиты общего положения. Это условие всегда выполняется, если 1 алгебраична и С~,~ 3 = 1 , например, ~ полу- проста.
П р е д л о ж е н и е 3.1 .3 . Пусть ЬЧ - множество точек из 7 , стационарные подалгебры которых нетривиальны, , ~ 4. — максимальный набор алгебраически независимых инвариантных полиномов. Если Ийж Ар )~ 2 , то ЕЙ~1„> сЫ Ч Д о к а з а т е л ь с т в о. Отметим прежде всего, что утверждение относится к произвольному представлению алгебры Ли, хотя до сих пор речь шла главным образом о коприсоединенном представлении. Однако, условие тривиальности стационарной подал- гебры общего положения позволяет рассматривать инварианты представления Ч' как инварианты коприсоединенного представления некоторой другой большей алгебры.
Рассмотрим полупрямую сумму 1 + ~ алгебры Ли ~ и двойственного пространства ~ф по представлению Ч сопряженному к У . Из формулы Раиса следует, что ьиА (~- + ~/ ) = ~и4 Ч" . Известно, что в этом случае кольцо инвариантных полиномов коприсоединенного представления 1 1 ~- + ~ ) алгебры Ли 1. +„ Ч естественным образом изоморфно кольцу инвариантных полиномов представления Й )" = ~' алгебры Ли Ь . Изоморфизм устанавливается отображением ~($+Ф вЂ” 40+чХ) = 1СФ, где 1+ КЕ (Ь'„~ )", . Из предложения 3.1.2 следует, что сОЙ+и.
~ ъ~2, где — множество сингулярных элементов из (Ь+ 'У ) = l. + У ~Ю вЂ” 80— ление. Пусть Ф = ~+ ~~ — полупрямая сумма. Тогда сдвиги ц! Ф инвариантов представления ла на произвольньй регулярный ковектор 0.б 6 образуют полный инволютивный набор на С Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть сначала А~и К > Йри У , что эквивалентно нетривиальности стационарной подалгебры общего положения ~431 . В работе А.Г.Элашвили ~44~ получен список представлений простых алгебр Ли, удовлетворяющих этому условию, и найдены стационарные подалгебры общего положения.
В данном случае существует открытое по Зарисскому непустое подмножество в 7 , все точки которого имеют сопряженные стационарные подалгебры. Именно зти точки естественно называть точками общего положения, и при доказательстве теоремы мы будем придерживаться такой терминологии. В силу критерия полноты семейства сдвигов и предложения 3.1.2 достаточно проверить выполнение двух условий: 11 ~р ~~ >2 и2/ ~и ~ЬС )2 Известно, что представления М и Ч'~ , вообще говоря, не эквивалентны даже для полупростых злгебр Ли, однако, полупрямые суммы "-+ Ъ и К+ Ч изоморфны как алгебры Ли. е~ щ Поэтому ниже мы будем рассматривать только одно из этих пред- ставлений. Разберем два случая. Слепец 1. Сгеционарная поцнлгебра общего положения або редуктивна.
В этом случае автоматически суви ~~~ ~ 2 Остается проверить первое условие. Метод будет состоять и указании слабо регулярного нильпотентного элемента ~~р б Ч . Мы будем называть элемент М б 7 нильпотентным, если зэгнкание его орбиты б® ~ 7 при действии группы Ж = ~-~7 ~ на содержит нуль. Пусть, как и выше, Ь ~ — дополнение в к подмножеству слабо регулярных элементов. Л е м м а. Если существует слабо регулярный нильпотентный элемент %~, ~ Ъ , то ссЖим Ь~ 3 2 . -81- Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Предположим, что условие Сойь~ 3 ~ ~~ 2 не выполняется, т.е. Б~ является алгебраической гиперповерхностью и задается уравнением Р(7У) = = 0 , где Р— некоторый однородный полином. Кроме того, множество 5~ инвариантно относительно действия группы М отвечающей алгебре Ли К , поэтому полипом Р является полуинвариантом представления Ч' .
Но у полупростых алгебр Ли не существует нетривиальных характеров, поэтому на самом деле Р— инвариант. Пусть Ул. — слабо регулярный нильпотентный элемент. Тогда Р ~ = сои.И , но замыкание орбиты Юйк,„) б(г~Ц содержит нуль, следовательно, Р ~ = О и Р(Ы )= РЬ ) = 0 , т.е. 'Ум.~= ~т~ . Противоречие. Оказывается, если алгебра Ли К простая классическая, представление ~ неприводимо и с~им Ч < с~йм К , то слабо регулярные нильпотентные элементы всегда существуют. Для того, чтобы их найти, достаточно иметь классификацию типов орбит представления Ч .
Если представление М' не слишком сложно, то изучение типов орбит не представляет больших трудностей. Наиболее нетривиальными являются случаи представдений в пространстве тривекторов, спинорных и полуспинорных представлений. Однако, и в этих случаях необходимые для нас сведения получены в работах ~45 — 503 . Классификация орбит действия группы Ли Й (и) в пространстве тривекторов получена при И =8, ~ Рейхелем 145~ и Схоутеном ~463 , при И.= 8 Г.Б.Гуревичем ~473 .
Классификация орбит действия группы ф(й,С) в пространстве тривекторов размерности б получена В.Л.Поповым в ~483, в этой же работе дана классификация спиноров размерности 14. Классификация спи- норов до размерности двенадцать включительно проведена Игузой 1503, размерности 13 Э.Б.Винбергом и В.Г.Кацем ~49~ . Список стационарных подалгебр слабо регулярных нильпотентных элементов у„~ 7 приведен в следующей таблице /с. 83 /. В таблице указаны также для сравнения стационарные поделгебры общего положе- ния, индексы и размерности. Слабая регулярность элементов следует из равенств Йм ~Ы(ып) =~ж Йо, ж4~ ~~М = М..~~о Пояснения к таб е.
В таблице использованы следующие обозначения И~ — унипотентный некоммутативный радикал размерности 8 ~~ — коммутативная алгебра размерности 8 Яо — простейшее представление, '~' — одномерное тривиальное представление. В пункте 11 М'= ~о+Я ~Л 7о, соответственно Им=~~ 7х ЧЗ и ~7 Я3-Ч . В пункте 12 У = 1о '~+~о+Ы+Я,+~+Я~, соответственно й',~з = ~1 +,, + Тlч., причем ГЛ/„,~~3 = ~;+~ при ~+~с~, исключения: ~~~~Х~=О, Г-Ух,%~,Л= О В пункте 13 ~'= ~4~+ ...
~-й4~, соответственно У~р„,~ 1 — ~ = Ъ~ +, . Кь-~, причем ~~С',~~1 =%+~, ~+~ ~ и-1 другими словами, ~~(~) + Й з~„,> = ~~Ь) ® А, где А = = ЙС~сЭ/С Сх"Ч. Разберем несколько случаев более подробно. Пусть К=~~(п,С), 2 ~= Л ~о . Элементы алгебры Ли 4~~~,С) представим в стандартном виде где С=С, Ь= В Представление ~=А Я, реализуется в пространстве кососимметрических матриц: У(Х)4 = ХА+ АХ', А = — 4 Положим им К = а„лОелй + ~~И~»Л~з + ~1Л~зЛ~~ . Непосредственным вычислением проверяется, что Я~В (= 56(3) Очевидно, что 'ми~ Й(к~) =4, Й~и, МУ ) = Ю Я М(~~„) = АЙ + ~С . Для сравнения укажем элемент общего положе- ~1 ния ~о и его стационарную подалгебру: чар = 2.1л~~лР.з + Я-»л ~длине А,ЬЯ 51(3) т.е. Й(чу) = АЗ) х Й~(З), й~»» Й(К ) = Ю, УмК М~'гУ,') =4 Нильпотентность элемента ~~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
