Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы на алгебрах Ли (1103069), страница 10
Текст из файла (страница 10)
~ л ч- следует из того, что Р(Х) К„„= — ~,„при Х = А ~(~,~,~,-~,-~,-~) Сл~чМ 2. Стационарная подалгебра общего положения нередуктивна. Имеется 4 представления с таким свойством : 1/ К= ьС(~), 1= ~0; ~/ К= ~р(и.,С), Ф= ~0, г З/ К = ж~(2.п,+1), т = /~ У0 > К = ЬО (Хо), у = ~-ьр Представление М во всех случаях локально транэитивно, поэтому выполнено условие с~ж~им ~ ~ ) 2 . действительно, любой элемент общего положения является нильпотентным. Итак, остается проверить условие их~ и ~~~~ Ъ 2 для стационарной подалгебры общего положения. Стационарные подалгебры в этих четырех случаях имеют вид : 1/ Ь~ = 5~(и.-1) + ~С 2/ Й~,о ~ = ~Г Ь~ -2, ~- ) + „Ц та ~, радикал М ~~ ~ некоммутативен, К~м-~= ~~ ~», Г7,,7~3=7~, ~/~= Е(йа~), А~и ~6~ = ~ э~ ~ь,,,= р(~,~)+ ~' 4/ йод = 50 (у) +.
е Случай 4 уже разобран /см. таблицу/. Случай 1 легко рассматри- вается по индукции. действительно, мы только что показали, что соАим б Ъ 2. тогда и только тогда, когда сов~в~ ~>о,~> 2 , где 5 — множество сингулярных элементов в ( 50Ги) + 4 ) 5о,~ — множество сингулярных элементов в (эЯл- ~) + С ) ,Ре Снижая размерность, мы доходим до алгебры Ли зИ1) + ~ Яо она абелева, поэтому множество сингулярных элементов пусто.
Случаи 2 и 3 тесно связаны друг с другом и тоже рассматривают- ся по индукции с использованием следующей леммы. Л е м м а. Пусть Ь, = ~. /М вЂ” Фактор-алгебра алгебры Ли ~. по идеалу М . Пусть 5~. и 5~. — множества сингулярных элементов в ~- и 1, соответственно, и ~"~ ( о = "м('~ ~'" ~"~ . Тогда если са4~и ~Ь, ~ 2 то йХЬи~ ~ь ~ 2 Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Пусть ~ -' Ь естественная проекция.
Тогда определено естестгенное вложение /Ф Ж : ь~ ~ . Пусть ак и а~о коприсоединенные представления алгебр Ли ~. и ~.0 соответственно. Легко проверить, исходя из определений, что Л ( Ыох~®) о~ ) = = а4.9% (х) . Утверждается, что Х (5~,) = 5~ ДХ(~.,) Проверим зто. Из тождества Х" (аа~0х~ > ~) = аА 'Х (х) следует, что Аи~. ~~ (-~) = Ж ~(А~ьи. х) для любого ~ ~ 1 „.
Сингулярность элемента осЕ ~„", означает, что ~сии, ахеи ~ ) ) ~и4, ~ 0 , следовательно, ~и 4~~И.'7~"~ж) = ~~~ю~~+ ~+'~~ > им~ ~. , т.е. элемент Ж (-с) сингулярен в ~. . Таким образом, Л ( Ь~, ) С:. Ь~. Й ',Х (~-0 ) . Обратное включение дока- — 91— > ~с~~Й4 Л Ь~ 4Х~В8фю~, йла~ сияние~ А~9, ~и, Майа., ~УХО, к 38, л/- З, р. 2б'К-,у~ Дао Чонг Тхи. Интегрируемость уравнений Эйлера на однород- 20. ных симплектических многообразиях. — Матем. сборник, 1981, т. 106, Б 2, с. 154-161. Мищенко А.С.
Интегрирование геодезических потоков на сиж|ет- 21. рических пространствах. — В кп.: Труды семин. по вект. и тенз. анализу. Вып. ЗБ1. М.: Изд-во МГУ, 1982, с. 13-22. Браилов А.В. Построение вполне интегрируемых геодезических 22. потоков на компактных симметрических пространствах. — Изв. ь~иабои,. — 3. МаН . Р~у., 19И, ~9, р. иЮ-й~г. Гельйанд И.М., Дорфман И.Я.
Гамильтоновы операторы и связал- 24. ные с ними алгебраические структуры.— Функц. анализ, 1979, т. 13, вып. 4, с. 13-30. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Интегрирование гагчльтоновых систем с некоммутативными симметриями.- В кн.: Труды сегда. по вект.и тенз. анализу. Вып. ЛХ. М.: Изд-во 1ГУ, 1981, с. 5-54. 1Анщенко А.С., Фоменко А.Т. Обобщенньп! метод Лиувилля инте- 26. грирования гампльтоновых систем. — Функц. анализ, 1978, т. 12, вып. 2, с. 46-56.
Трос:~имов В.В., Фоменко А.Т. Интегрируемость по Лиувилтпо гамильтоновых систем на алгебрах Ли. — У1Я, 1984, т. 39, вып. 2, с. 3-56. 28. Тройимов В.В. Уравнения Эйлера на борелевских подалгебрах полупростых елгебр Ли. — Изв. АН СССР, Сер. матем., 1979, 43, И 3, с. 714-732. 29. Певцова Т.А. Стпп~лектическая структура орбит коприсоед~п~еп- АН СССР.
Сер. матем., 1986, т. 50, ~5 4, с. 661-674. 23. Яауь Г. А ь~илрй. еОИ о~ Ье ~к~е~~а60Е Нав~йОЮаИ вЂ” 92— ного представления алгебр Ли типа Е х С, У сборник, 1984, т. 123, ~~ 2, с. 276-286. . — Матем. 30. Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия.— В кн.: Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 4. М.: ВИН1ТИ, 1985, с. 7-139. 31. Мещеряков М.В.
О характеристическом свойстве тензора инерции многомерного твердого тела. — УМН, 1983, т.38, Б 5,с.201-202. 32. Фв'ийе~к Д. ТМ ~Осаб ьЬисХч~Е о~ Ь~ыои, киаи~~оЦ~.— ~. Ще~вй. Сеом., 4933, К~Я, л/-д ~. 523-~57. 33. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры.-М.: Мир, 1978. 34. Элашвили А.Г. Фробениусовы алгебры Ли. — Функц. анализ, 1982, т. 16, Л 4, с. 94-95. 35. Фоменко А.Т.
Алгебраическая структура некоторых интегрируемых гемильтоповых систем. — В кн.: Топологические и геометрические методы в математической йизпке. Воронезх: Изд-во ВГУ, 1983, с. 84-110. с. 139-145. 39. Фоменко А.Т. 0 симплектических структурах и интегрируемых системах на симметрических пространствах. — Матем. сборник, 1981, т. 115, .'." 2, с.
263-280. 40. Болсинов А.В. Впслне интегрируемые системы на слатиях алгебр Ли. — В кн.: Труды семин. по вект. и тенз. ана.птзу. Вып. ХХ11. М.: Изд-во МГУ, 1985, с. 8-16. 36. Болсинов А.В. И~волютивные семейства Зу~псций на двойственных пространствах к алгебрам Ли типа ~+~Ч .-УМН/сдано в печать/ 37. Й.а~5 Й . 1 а тргаыпЫЫои, а.оЫ~о~иМ 4и романа аЦ'М.. — Мы. 1ь4, ~ои~иег, 1ИЯ, и,28 ~А-'Х, ~.207-ЛЬ7.
38. Беляев А.В. Инварианты коприсоединенного представления алгебр Ли вида ~ 6- 7 . — В кн.: Анал з на многообразиях и диуееренциальные уравнения. Воронеи.: Изд-во ВГУ, 1986, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
