Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы на алгебрах Ли (1103069), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Х = О и ~~и~1.А — — О Поэтому, пользуясь методом построения инволютивного семейства по двумерному лиеву пучку, мы не сможем получить полного семейства на ~ . Заметим, однако, что полное семейство функций в инволюции на ~- легко построить другим способом. Достаточно, например, в качестве такого семейства взять произвольное лагранжево подпространство в 1 , содержащее А Легко видеть, что это подпространство является абелевой подалгеброй размерности ~ с ' ~ ~- и потому полно и инволютивно на у, относительно жается через (4, 1 ) 4 О .
Решим уравнение ~сиСА ), ~ = О Х . Из формулы видно, что Х линейно выра- У и А . Положим Х =.С 1 ~- ~А и подста- ~ 4. Вполне интегрируемые системы на алгебрах Ли и секционные операторы. В предыдущих параграйах были построены полные семейства Функций в инволюции на некоторых сериях алгебр Ли, Здесь мы укажем гамильтоновы системы, для которых построенные семейства являются семействами первых интегралов, и изучим некоторые свой- ства таких систем. Наибольший интерес обычно представляют системы с квадратичными гемильтонианами /возможно с линейными добавками/. Квадратичные гамильтонианы на двойственных пространствах алгебр Ли удобно записывать в виде ~ЛХ) - 2 (~с~ сс) , где С : 0с С вЂ” самосопряженный линейный оператор.
Нашей задачей будет описание операторов С , при этом мы пользуемся методикой и идеями работ А.С.ИЬнценко и А.ТЛоменко ~53, ~Б ), А.ТЛоменко ') ЗЭ), В.В.ТроФимова и А.ТЛоменко [1С3 Итак, пусть С вЂ” конечномерная алгебра Ли, С- двойственное пространство. Начнем с изучения систем, иытеграла- ми которых являются сдвиги инвариантов коприсоединенного представления. Пусть й. Е: С вЂ” регулярный элемент, У,„ семейство полиномов, полученных при разложен~ в ряд локальны инвариантов алгебры Ли ~ в точке 0 б С 0 п р е д е л е н и е. Самосопряженный оператор С: С, Д- будем называть секционным, если выполнено тождество где $ — произвольный элемент из 4 юи.
(й) П р е д л о ж е н и е 2.4.1. Пусть С вЂ” секционный оператор, )~(х) = ~ ~Ж~, ж) — соответствующий квадратичный гагыльто- — 64— Га.л~льтоновость относительно скобки ~ ~ можно проверить, например, следуют образом. Лля локально гамильтоновости необходимыми и достаточными являются два условия: 1/ производная Ли постоянного тензорного поля Ф вдоль векторного поля 6=Ы~ Ф , 2/ векторное поле Ф= Ы,~~„ ~ касается сиитлектических слоев Формы 'Ра. , или ~сЫ,р, х ~'"и'Ж) Первое условие выполняется из соображений непрерывности, поскольку производная Ли любого тензорного поля 'Р„ ~- 2~Р.
при ~ ФО вдоль ~5 = Ы,~„ ж равна нулю. Второе условие также выполнено, п~ так как любой элемент ьЕ4м(о-) можно рассматривать как линейную Функцию на (х, поэтому О/ , поскольку е (= Яд.. Глобальная гамильтоновость следует из того, что ск~п~лектическлии слоями скобки ~, 1, являются подпространства в ( Замечание. Если ~ полупроста, то секционные операторы являются операторами так называемой полупростой серии /см.~5-51 /.
В этом частном случае утверждение предложения 2.4.5 было доказано М.В.Мещеряковым в ~313 , кроме того в ~813 показано, что гамильтоновость относительно пары скобок ~, 3 и ~, 1 ц является характеристическим свойством уравнений, задаваемых оператораьш полупростой серии. Пользуясь методикой работы ~ 311, легко показать, что это свойство выполняется для секционных операторов, если все дия~еренцирования алгебры Ли (х внутрен- Ладим теперь явное описание секционных операторов в случае произвольной алгебры Ли С~ . Выберем произвольное алгебраическое дополнение Ь к Аел(М в С . Пусть ортогональное дополнение к Ь в С , тогда 6" = Таб6~) + 1.
. 1Лмеет место изоморфизм ~Ра. '- Ь Гайд) , поэтому корректно определен оператор 'Р0, " : Г б(с~) 1- . Положим С0(Х ) = ~Рс Ы ~ Ж . Определение корректно, поскольку -1 й4~~ (С ) С:. Т„б(а) . Оператор С„: ("» — ( не является, вообще говоря,секционньъ~, поскольку может не быть самосопряжен- ньпл. Поэтому его следует немного подправить. Обозначим через Ж : 4 Т~О® проекцию, соответствующую разложению (,, = Г0.6(а) +' Е . Положим С = С0+ Со Сой Утверждается, что С вЂ” секционный оператор. Для доказательст- ва следует проверить справедливость соотношения ( 6 ) и самосопряженность оператора С~ 'Ж . Оператор С, удовлетворяет соотношению ( 6) , поэтому необходимо показать, что Для любого ~ б („ имеем (Ч (С зс — С~(х( ))),~) =( — х, С Ф ~)— — ('~' Ф.
Ы3 Ж:М, $ ) = (-~, Ф, ~и~~~» ~) — (си~~ цх),~)= = — (х, Ф 'Р ЕВ,~З) + (х(х), ЕВ,~ ~) э (Фа Фсь Е) ЕВ $3) Мы использовали в последнем равенстве, что 1ил Фа. = $ поэтому (зс, ~ ) = (Х(ж), ~ ) для любого ~ ~ 1~и, Я' Далее, (Я~ "Ф,„— Е) Г4 $Л = ~ б Аеил.(а), поэтому (Х(зс),$)=0 Докажем самосопряжвнность оператора С~ Х : Я вЂ” Я Для произвольных Х,~ф ~ ~ имеем ( С~ (Х(х)), ф = = СФ~," сиА$ 'Х (ж)1 Ж'9)) . Полозил Х(х) = Фа $,%У) = ~а Е Тогда (С, ИИ 4, ~) = (Ф„" Я Р„~,Ф„~ ) = — (Ф„Ф„~ Ь Р Ъ, ~ ) = — 66— Мы использовали тождество Ы 6 «Ра = «Ро.
а«~3 , которое следует из того, что 6 ~= ~Ьил Й~) . Итак, мы показали, что оператор С = Со + Со Со'У~ , где Х : С »' 1"«~ б(а) является секционным. Из определения секционного оператора следует, что этот оператор при фиксированных элементах а. бС , 864ж~~ определен неоднозначно, а с точностью до произвольного самосопряженного оператора Й: Я вЂ » С~ , образ которого содержится в Я~И (а) . Поэтому общий вид секционного оператора С при Фиксированных а Е С , 4 Е А~и.(а), такой где ~о = «~'а " И(~~, «Ра " ' ~абб") + (, Д: (т = Г«ъ О(а), Ж самосопряжен и 1и Ф) ~ Мы~й.
Если Й компактна, то секционный оператор можно выбрать положительно определенным, соответствующие уравнения Эйлера вполне интегрируемы и являются аналогеьи уравнений движения твердого тела с закрепленной точкой. Кроме того, каждому такому опе- ратору отвечает вполне интегрируемый геодезический поток на компактной группе Ли с левоинваринтной метрикой /см. работу А.С. ел Мищенко и А.ТАоменко ~61/. Если Я-= М ) -~ ~~~ — группа движений евклидова пространства, ~(М вЂ” ее алгебра Ли, то секционные операторы соответствуют некоторым случаям полной интегрируемости уравнений движения твердого тела в идеальной жидкости /см. работу В.В.Трофимова и А.Т.ооменко ~10~/.
Пусть теперь 6 вещественная полупростая алгебра Ли , У вЂ” инволюция Картана, С = ~4 + Ъ' — соответствующее разложение, й- 6 Ч вЂ” произвольный элемент. Рассмотрим гпа~льтоновы системы, связанные с семейством скобок .с Я,~ ~- ~ ) ) + а ~ Напомним некоторые обозначения, введенные в 5 2 настоящей главы: С(а) — централизатор элемента йе Ч в алгебре Ли С ЬЙ(а) — стационарная подалгебра элемента а 6 Ъ при действии Н на Ъ, или ЬВ(а) = Н (1 С(а.) 7(а) = 'Ч Й С(0-), Й(а.) — ортогональное дополнение к ЙЙ 1. в Н, И~) — ортогональное дополнение к ~/(а) в Ъ~ Выберем элемент $ е Ч, удовлетворяющий условиям С~,~-1 =О, С$, Й(аИ=О . Легко проверить, что в этом случае а6~~Й~~а) )с: .3- Л Л ~~6~-), кроме того а6~~: М6~) ®~) — изоморЪизм.
Поэтому корректно определен оператор ~»а,6,й ® = ~а где ~ = ~,~+ 6.», ~ь„~ ~ЙЙ~), 4хе~~Й-), Ж: ЫИ ~ ~~й.) произвольный самосопряженпый оператор. П р е д л о ж е н и е 2.4.6. Оператор ~ д Ц з . Й вЂ” Н самосопряжен относительно ограничения формы Кил~п~нга на Н Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать самосопря- -1 Ь- женность оператора аА, сиЦ~: Й(ФГ- Й(а), т.е. выполнение тождества ( аА„~Ы~ х, ~) = (~, Ы асК~ ~) для любых ~,~~ Ь~(.) . Представим х ~б М( ) в виде ;г.- Я, ."с', ~ = ~и(„ ~' , где ж,у'~ 'У(я) . Это возможно, поскольку М( ) с: 1и аА д, . 1леем то гамильтонианы ЯЙ) и только они выделяются условиями что в точности соответствует й -мерному обобщению случая Клебша, обнаруженному Л.М.Переломовым ~111 Отметим, что двумерные пучки ( ~ „ , ) и М,/м е~ (~ у,+ ~,~~ е ~ изоморйны при 5 = А.$ " .
Из этого следует, что многомерный случай Клебша и многомерный случай Эйлера ничем принципиально не отличаются в том смысле, что расслоение пространства ~. на лиувиллевские торы одинаково в обоих случаях. Разница лишь в выборе квадратичного гамильтониана в инволютивном семействе. Так же как уравнения (.8 ) на ~о~~,), уравнения движения твердого тела в идеальной жидкости в случае Клебша являются гаьп~льтоновыми относительно целого семейства скобок Х ~ ~~ у, ~ ГЛАЗА 3.
ИНВОЛЗЛИВНЫЕ СЕМЕ1СТВА ФУНРБЙ НА ПОЛУПРЯИХ $ 1. Коприсоединенное представление. полупрямых сумм алгебр Ли. В этом параграфе излагаются некоторые известные результаты о строении орбит коприсоединенного представления полупрямых проненепеннй типа $ = 4~ н тт, гпе $ - группа Лн, — понечнонерное линейное проотренотно, ~то: "й ~'~ Ьу) на на Н енное к ~Р нное к где А~ ~й — коприсоединенное действие группы Ли айй д — коприсоединенное действие алгебры Ли Н Ф" — действие группы Ли Уд. на ~ сопряж — действие алгебры Ли Н на ~l сопряже линейное представление, и доказывается утверждение о коразмерности множества сингулярных ковекторов в коалгебре Итак, пусть $ — конечномерная группа Ли, действующая в линейном пространстве ~~ , Д = -д йр — соответствующее г'.
— 2н Х Т/ полупрямое произведение. Алгебра Ли Я группы Ли Я- является полупрямой суммой С~= Н + Ч алгебры Ли Н и пространства Ч по индуцированному представлению 'Р = Й~Р: Н + -~ $~ Ф) . Отождествим двойственное пространство (т с прямой суммой Й + Ч , полагая и = 'у , ~ = 11 . Тогда коприсоединенное представление группы Ли Я и алгебры Ли Я на Ф + ту+ (х = Н + У в явном виде запишется следующим образом: Д : Чк7 Н вЂ” линейное отображение, определяемое тождеством (А(~.~) Ъ)= (Е (~)о-, ь~), у~ ~~, ~ ~ Н а.ы ~/, х~ Н", ке~/" .
В работе Раиса (413 предложен метод вычисления размерности аннулятора Аьи. (сс+~г)= ~ ~+ая6 ~ М" (сс+м)=0~ для ~+а. любого ковектора ~-+~ ~ ~ ~ = Й" . Этот способ состоит в следующем. Пусть ~+МбС вЂ” произвольный ковектор, й(Ж~: Н— стационарная подалгебра элемента ~Г~Г Ч относительно У~,и ,'Т : И вЂ” ЖМ вЂ” естественная проекция. Утверждается, что -размерность аннулятора Ави (Ф+~) равна сумме размерности аннулятора ковектора ~Г(:с.)Е ~~М в алгебре Ли МЖ и коразмерности орбиты РЬ) элемента 1У при действии ~Р группы Ли на ч' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
