Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы на алгебрах Ли (1103069), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. Отметим, что функции из семейства К могут иметь разные области определения, при этом пересечение этих областей может состоять из одной точки -~ . Чтобы избежать такой ситуации, семейство -Гу можно уменьшить, оста- вив лишь конечное число независимых в точке ~ функций. Сохраним за этим подсемейством прежнее обозначение 9~ . В силу конечности 9у существует окрестность Я.(ж) , в которой все функции ~ ~ 3,~ определены, и пуассоновы структуры, отвеча- — 18— ющие этим функциям имеют постоянный ранг К .
Из предложения 1.2.2 следует, что построенный набор У~ инволютивен в окрестности И (зс) . Наша задача — выяснить, когда этот набор является полным в точке Вместе с пространством 3 рассмотрим его комплексификацию .~ , т.е. семейство комплексных тензорных полей вида т(С ХА+~лЬ Р ~и б С), где А и Ь вЂ” произвольные линейно независимые пуассоновы структуры из Ю . Для почти всех С~ 5 мы имеем 'И~'"ф С~~) = Р-, поэтому с точностью до пропорционель- ности существует лишь конечное число ненулевых элементов ~~5 ~ . ° ° ~ ~ф ~ ~ таких, что ~~ьиф ь~~Й ~ ~~- > ~-=~»...
> 4, Для каждого из них определим подпространство К; с: 6л.Г;(х)~Т,, И : К,„= ~ ~ е кь~ С;~~) ~ Ь(~, Ки. С<Ы) = о Ч Ь ~ У» Если ранг тензорного поля С~ локально постоянен в точке зс(- й и С~ ~ 5 С: 3 , то подпространство К„. С имеет простой смысл. В этом случае пространство локальных центральных функций пуассоновой структуры С' является подалгеброй относительно любой пуассоновой структуры В е 3 , ЬФ ~С;. Подпространство ~' порождается дифференциалами функций из т ценра этой подалгебры.
Обозначим через ~ подпространство в Г М , порожденное дифференциалами функций 1 Е '~~ . Пусть 1. с:- Г Й косоортогональное дополнение к ! относительно некоторой 2-формы СЖ , С б 3 . Полнота семейства У~ в точке ~ означает, что ~- = 1. + Кет.С(4, поэтому нем важно знать строение косоортогонального дополнения Т е о р е м а 1.2.1. а/ Косоортогональное дополнение 1 к подпространству 1- не зависит от выбора пуассоновой структуры СЕ Х вЂ” 19— б/ Подпространство 1 содержит ядра всех 2 лори СЖ на Г М, гДе Сбд ~~01 4 в/ ~ = 1 ~ + ,К ..
Км С;® тогда и только тогда, когда й~и ~; = Щ~и й ~ , ~ = Х,..., ~/ Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство теоремы легко сводится к задаче из линейной алгебры. Действительно, подпространство ~ ~ ~ М порождается ядраны 2-Форм С ( х) (С~5) такими, что ива~ С(Х)=Й.. Поэтому при доказательстве мы можем забыть о скобках Пуассона и рассматривать двумерное семейство кососи~алетрических билинейных форм на Т И Б терминах линейной алгебры эта ситуация будет подробно изучена в следующем параграфе. Из теоремы 2.2.1 легко полу ать необходимые и достаточные условия полноты семейства ',7у в точке ~-б М Т е о р е м а 1.2.2 (Критерий полноты) .
Кнволютивное семейство ~~~у полно в точке Зоб М относительно фиксированной пуассоновой структуры С Е У тогда и только тогда, когда 1/ Млло 4~х~ = К для всех А б ~~-, 412 С 2/ йщ ~с = ~Ьч ~Ч вЂ” Й * где ~с ~$~К~аС.(~~~ ~ (~, М С,~ос)) = о ~/ Ь е 3 ~ Д о к а з а т е л ь с т в о. Условие полноты имеет вид 3„ = ~„ + Кеа С~>) , поэтому достаточность сразу следует из пункта в/ предыдущей теоремы. Оттуда же следует необходимость условия Йт К~ = Ь~и ~Ч вЂ” ~ . Покажем необходимость первого условия. Предполо:ж~, что существует элемент С Е Л, СФАС такой, что Ъ~ С Йс) ~ С.
условие Е = 1. + КИС(х) тогда л! не выполняется, поскольку каждая особая мориа С дает Г\ ~ъ независимьй вклад в размерность ~ равный к- м4ф С ~эс) /см. следствие 1, с. 26/. Эамечание. Если 'Й~"$Йэс) "-, т.е. в случае симплекти- — 20— ческого слоя ~~ максимальной размерности, условие Йг~ К = †,4'~и Я-К выполняется автоматически. Для этого случая утверж- дение теоремы впервые было доказано А.В.Браиловым при дополни- тельном требовании аналитичности рассматриваемых скобок Пуассо- на. 5 3.
Линейные семейства кососимметрических билинейных Форм. Доказательства теорем В этом параграфе мы докажем ряд утверждений из линейной алгебры, из которых будут автоматически следовать утверждения теорем 1.2.1 и 1.2.2. Фактически ниже мы будем рассматривать простейший частный случай конструкции 5 2, а именно, семейство постоянных скобок Пуассона, или, что то же самое, семейство кососимметрических билинейных Форм. Чтобы подчеркнуть аналогию мы сохраняем некоторые обозначения. Пусть Т вЂ” конечномерное линейное вещественное пространство размерности ~~.
. Рассмотрим двумерное линейное семейство Ю кососимметрических билинейных Форм на Г , порожденное дву Виксирова ны Фор Л0 и А~ . Пусть Р. = . Обозначим через Ь Т , порожденное ядрами Форм А Я Ю подпространство в ранга Р- т анство 1. ~ 7 П р е д л о ж е н и е 1.3.1. Подпрос р изотропно относительно всех Форм С й У Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ~4: ~6~ А, ~ а Кьс 8 С вЂ” произвольная Форма из .1 . Если А и 8 линейно независимы, то С = ~А ~ ~ Ь, Следовательно, С(х, у) = =,~~(х Ц) ~. ~ Ь(~,~)=0 . Если Ь =ЯА и Ыи~4= й, то утверждение следует из соображений непрерывности.
действительно, существует последовательность Форм ~ А; ~ такая, что Я; б,Х , А~ " ~ , А; и Ь линейно независимы, М~и~й„. = Р. , и после- — 22— к„=и~.,=.. =~ Кроме того справедливы соотношения: л ~и.)=0, ла~)= ии~), даю=8(и~,), х=~, /. Л е м м а. Существуют подпространства 7„ ч' У,,с-,~ такие, что 1/ И,~, = ц.~,, + 2/. А 1 Ча) = Ь СУ.у ~) 3/ Ъ"о = 7о = Ква А 4.=~,..., и; $=~,, и; ~/~с Км.Ь.
С л е д с т в и е. Косоортогональное дополнение = ~~еТ ! Ь|,Ь)=о1 к подпространству Ь в Т сит от выбора нетривиальной формы В б 3 не зави- Д о к а з а т е л ь с т в о с л е д с т в и я. Косоортогонельное дополнение ~- а к подпространству Ь с: Г относи- Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы.
Подпространства 7~ строятся по индукции, начиная с Кд Шаг 1. Имеем ЬМИ) =МИ.н-~), следовательно, существует подпространство 7Мс. Ид такое, что Час Кю В , К,д=Я~ + ф~ . Шаг Ю-$.. Пусть Ъ~ = К~ ~- У~ ~ . тогда В~Я,~)=Фи~,)= = А(Яа+ УФ+~) . учитывая, что Км.Ас:. Й,Ф имеем З~МФ)= = Д ~К~)+ А~7д,,) = В(Ыд ~) ~- ЛФд ) . Ясно, что существует подпространство У~ с:. Ц~ такое, что И К= И ~ ~+'~4., АФА+д= В (Ж) . Лемма доказана. В силу леияы корректно определен оператор А Ь: 7~- ~/~,.
поскольку 7~ й Км. А = ~0 ~, 4 4 0 . Определим цепочку подпространств ~~ ~ с Ч0 = Ч0 полагая ~о = ~ ~ ~ 1/о ~(А И ~ 01 ° 4. Выберем произвольный базис в ~/~ , дополним его до базиса в г о о Ч, и так далее, получим базис х~, ..., ос,„к в пространстве 70 . Остальные векторы базиса ос„. в 1 определяо ются по Формуле "-с„ =(А Ь) ~; /нулевые векторы отбрасываются/.
~'= р5+ ~С,. „то Ь($,Км.С„)= ~ Ь($, Ьл.С.„) Следовательно, К' = ~ $ Е М. С; ~ Ь(~, Ки.С„)=0 П р е д л о ж е н и е 1.3.4. а/ Подпространство 1. < . Т содержит ядра всех нетривиальных форм из семейства МФ~ Ф гъ б/ ~ = 1 ~: Ки. С~ , т.е. 1- порождается ядрами всех нетривиальных форм из семейства 3 тогда и только тогда, когда бЬ ~ ~~ = и — ~- , ~ = Х, ... Л/ Д о к а з а т е л ь с т в о. Чтобы не усложнять обозначений при доказательстве все пространства сразу предполагаются комплексифицированными, верхний индекс С не пишется.
Первое утверждение сразу следует из предложения 1.3.3. В семом деле, 0 = Ь (Км.Ь) с: А(Кял.Ь), т.е. Кял Ь <='- 1- Но форма Ь ~ ~ была выбрана произвольно, поэтому КО~ С ~- ~- для всех С ~ Э, отличных от нуля. Отсюда, кстати, вытекает еще одно следствие. Для любой формы С„имеем Ь(Км.С;йЬ, бжС;)=О, т.е. 6л.С„Й! С. К.„.
Но С„(1)=А(И для любой шормы А6 Э ранга К., поэтому Вил Ьл0; Й ( "- . Следовательно, Йил. К.„ Ъ |~- К- . Для доказательства второго утверждения выберем произвольное алгебраическое дополнение К к Ь в Ь . Тогда = ~о 4 Ч~+ ...+ Ъ~+К . Рассмотрим оператор 'Р : Т вЂ” 7 определяемый соотношением А ('~' ~ ) = Ь $, $ Е 1, 'Р ~ 6 ~/~ +... -1- ~/~д +. К Из ( 1 ) следует, что подпространство 1- инвариантно относительно 'Р и ограничение 'Р ~~ нильпотентно. Разложим пространство 1 на обобщенные собственные подпространства / оператора «Р . Имеем 1- = Ь0+ ",С.
К~, причем Ьс '. М0 л~о Без ограничения общности можно считать, что 'сам~ Ь = и- Покажем, что в этом случае Ь = И 0 . Предположим противное. (Ф вЂ” А;Е) ж=~ (Р-А;Е)ц = о (2) имеет решения при я 4.- о . Учитывая определение оператора 'Р перепишем эту систему следующим образом Тогда существует элемент $ Е Я.р такой, что $ ~ ~„ , 'Р $ Е Ь По определению оператора ~Р имеем А ('Р $) = Ь'ф . Но А (1 ) = = Ь(Ь), поэтому существует ~ б 1. такой, что В~=В~ Отсюда ~ — $ е Кял. Ь ~ Ь , следовательно, $ е Ь .
Противоречие. Итак, Т = Ь +,'~ К~ л~о Обозначим через у,„~ подпространство в Ил , состоящее из собственных векторов. о Л е м м а. Подпространство Ьр= Ь+ Е. К~ порождено л~о о ядраьж форм С е. Ю~ ~о~. Лругими словами, 1- '+ 2': М 1 = Ф л~о 1.+ ',~ ~МС; .
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Покажем, что ~-о содержит все ядра Км. С; , с = 1,..., Ф . Пусть С; = ~; 4+ + ~' Е' . Тогда 6л. С = бл(6-4А), где 1„=-'~' . Покажем, что 0 Ра ~Ф ~'А) с: 1- + ~д„. . Из определения оператора ~Р следует, что М4, = М,(Ь-А„А)Д АР. Отсюда Йи~Ид. > й.— иьи~(6-4А), поскольку Йич. Кв~ (6-~;А) = и — сд~ф~ — ~;А), сообщи Ь~4Р = п.-К. Лэлее, й®л ~- ~) ~~л-(.а ~'") = и "-, следовательно, К~а(Ь-Я„А) = (Ь ~) Ь~(Ь-2;А))+ К~;~ ~ +~д.
С: ~-о . С другой о стороны, И 1 С: Ы (6-АА) . Лемма доказана. л/ Из утверждения леммы следует, что ~- = 1- + ',Г ЙжС; о тогда и только тогда, когда И~Л; = Ил-„ , т.е. отсутствуют присоединенные векторы оператора 'Р веса ~; Ф О , где 2;=- ", С;= ~;А+~ь; В . Пусть присоединенный вектор веса А, существует. Это эквивалентно тому, что система уравнений — 26— (Ь вЂ” Л„А) х = А~ (Ь-Х„А)у = 0 х~1 Ф Предложение доказано. С л е д с т в и е 1. Имеют место следующие оценки й~и. Ь ) Ачии Ь + причем равенства имеют место тогда и только тогда, когда Й~и.К; = л-й, ~ =~,, М 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
