Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы на алгебрах Ли (1103069), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Кроме критерия полноты семейства сдвигов на дуальном пространстве алгебры Ли в работе получены простые достаточные условия полноты ограничения этого семейства на фиксированную сингулярную орбиту, доказана полнота семейств йункц~п~ в ипволю- ции на сжатиях симметрически-градуированных полупростых алгебр Ли, построенных по методике работы 1 83 . Исследован интересы гМ пример согласованных скобок Пуассона, связанных с непривод7плпп~ зппнутымя лиевьпя пучками /на этот пример указал автору И.Л.Кач- тор/.
Оказалось, что семейства сРункцяй в инволюции, возникающие при этом в двух частных случаях, являются первьии интегрелаж уравнений классической механики: в первом случае- интегралами уравнений Зйлера динаилки В -мерного твердого тела Г4-6 3 во втором — уравнений многомерного случая Клебша, обнаруженного А.М.Переломовым Г ПЗ . В последнем случае получено новое прос- тое доказательство полноты семейства первых интегралов в инволю- ции, т.е. полная интегрируемость по Лиувиллю многомерного случая Клебша.
Критерий полноты семейства функций в инволюции, построен- ного методом сдвига аргумента, значительно упрощает проверку полноты в конкретных случаях. Это продемонстрировано в заключи- тельной части работы, где доказана полнота семейства сдвигов инвариантов для некоторых серий алгебр Ли типа полупрямых сумм, Изложим теперь содержание работы более подробно.
В первой главе диссертации изложен общий метод построения семейств функций в инволюции по паре вырожденных согласованных скобок Пуассона и доказаны теоремы, позволяющие эффективно проверять полноту этих семейств в любой фиксированной точке. Сущность этого по-существу известного метода /см.[63, ~83,~303 / состоит в следующем. Пусть на многообразии М задано двумерное линейное семейство 5 пуассоновых структур, порожЦ денное двумя согласованныи структурами А,= Ц(х) и А~=А„'(х) . Положили ~ = и'мц~ ~~'м~ ~~) . Пусть х ~ М вЂ” точка хам,С~Х общего положения в том смысле, что в этой точке почти все пуассоновы структуры С б ./ имеют ранг К.
. рассмотрим в окрестности точки Л'- семейство функций Уу , состоящее из локальных центральных функций тех пуассоновых структур С~ Ю , !/ / для которых "~~""Я ~ ~~) = ~ . Первое утверждение состоит в том, что семейство Ру инволютивно относительно всех пуассоновых структур С Е Х . Пусть Р~~ — симплектический слой, проходящий через точку жа Я и отвечающий пуассоновой структуре В . Назовем инволютивное относительно В семейство функций 'У полным в точке Ю , если подпространство в Т Р~ , порожденное дифференциалами функций ~~'У ограниченных на слой Р~ , имеет размерность л.
~~ "" ~?х ~- 4--- Т е о р е м а 1. Инволютивное семейство Уу полно в Таким образом, получаем семейство с"упкций в пнволюпии ~ 4-Сл-+АМ 1 1б 1Ж), Л е%.~ . Браилов Л.В. моциаицировал этот метод, предложив вместо функ1цгй вида ~(х+Ло-) рассматри- вать однородные полиномы, возникающие при разложении в ряд локальных инвариантов представления М в точке Й. /ковектор й при этом предполагается регулярным/. Такое семейство полиномов 'К~ эквивалентно исходному и позволяет приме- нять метод сдвига аргумента в случае, когда инварианты глобально не опрецелены. Т е о р е м а 2. Пусть Сг — произвольная конечномерная комплексная алгебра Ли, 3 = ~ хе С, ~ сыч Аии ("-с~ > 1м" С-~— множество сингулярных элементов в С , О- ~=" С вЂ” регулярный элемент.
Инволютивное семейство полиномов Жг. полно на Сг тогда и только тогда, когда МдЫю Ь ~ ~ Если алгебра Ли Сг вещественна, то критерий полноты семейства Уд аналогичен. Отличие в том, что множество Ь м Ф следует рассматривать не в коалгебре С~ , а в ( С- ) В случае сингулярных орбит доказана Т е о р е м а 3. Пусть С вЂ” произвольная конечномерная комплексная алгебра .Ли, Ь вЂ” множество сингулярных элементов А ~ д Ф в С и сжйи ~ ~ .
Пусть ~' Е („". — сингулярный элемент, удовлетворяющий дополнительному условию ои6 4еп. ~~) = Ф = им~ С- . Тогда нац*цется регулярный ковектор 4,6 6 такой, что инволютивное семейство Да. полно на сингулярной орбите В 5 2, гл. 2 изучается конструкция, предложенная А.Г.Рейманом в Г8 3 . Пусть ~л — вещественная полупростея алгебра Ли, 0 — инволюция Картана в Сг , Сг = Н + Ч вЂ” разложение на собственные подпространства инволюции 9 . Обозначим через С-д полупрямую сумму подалгебры Н и пространства — 12— порождающих семейство, — это стандартная скобка Пуассона-Ли, отвечающая алгебре Ли ~0(и ): ~$,ф~(Х) = 7 Х ~рф(~ ф~Д~ Другая задается следующим образом Интегралами в инволюции являются центральные функции линейных комбинапий Д~, ~ +у~~ ~ ~з .
Как и следовало ожидать, семейство таких интегралов эквивалентно семейству интегралов, найденых С.ВЛанаковьпл. Аналогичное семейство скобок найдено также для Ф -мерного обобщения случая 1~лебша движения тела в идеальной жидкости /см. 1 11 3 /, тем самым легко проверена полная интегрируемость по Лиувиллю. В заключительной третьей главе метод сдвига аргумента применяется для специального класса елгебр Ли — для полупрямых сумм.
В этом частном случае предложен метод оценки коразмерности множества сингулярных элементов в коалгебре и доказана Т е о р е м а 5. Пусть К вЂ” классическая простая комплексная алгебра Ли, Ч': К вЂ” + ф~ ( У) — неприводимое представление и Сг = К + Ч вЂ” полупрямая сумма. Тогда семейство сдвигов инвариантов С~ на регулярный ковектор 3~ й полно на Сг Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю, пройессору А.ТЛоменко за руководство работой и постоянное внимание. ГЛАВА Т. ФУНКЦИИ В ИНВОЛЮЦИИ И СОГЛАСОВАННЫК СКОБ[И ПУАССОНА ~ 1.
Основные определения. Пусть Я вЂ” гладкое многообразие. Скобкой Пуассона или пуассоновой структурой на многообразии ~[~ называется косо- симметрическая билинейная операция ~, ~ в пространстве гладких функций на 1 , удовлетворяющая тождеству Якоби [[~ ~1 ~„~+ [[~ ц,~ [,. [[~„,~1 ~~ =о и правилу Лейбница Эта операция превращает пространство гладких функций на М в бесконечномерную алгебру Ли.
Многообразие М с введенчой на нем пуассоновой структурой называется пуассоновым. Скобке Пуассона однозначно ставится в соответствие кососимметрическое Л Ц~ тензорное поле й , т.е. 2-форма на кокасательном простран- стве к многообразию, гладко зависящая от точки, так что Тензорное поле л мы также будем называть пуассоновой струкла турой на М Рангом скобки Пуассона в фиксированной точке Х ~ И назыл ~~~ 1 вается ранг тензора л ~ зс) . Рангом скобки Пуассона на всем многообразии М называется число К= ~а~ "~4~4~ф 4 " (х-) жуй Функция ~: Я Й. называется центральной функцией, или функцией Казимира скобки Пуассона ~ , ~ , если она принадлежит центру алгебры Ли гладких функций, т.е.
1 3, ~ ~ = 0 для любой гладкой функции 9 . Если скобка Пуассона невырождена, т.е. ее ранг равен Йиъ М , то центральными функциями являют- ~ 2. Семейства Функций в инволюции, связанные с согласованными скобками Пуассона. 0 п р е д е л е н и е И.243,~253,1303). Две скобки Пуассона на многообразии М называются согласованными, если любая их линейная комбинация снова является скобкой Пуассона на Я В другой терминологии согласованные скобки Пуассона называются пуассоновыми или гамильтоновыми парами. Простейший пример таких скобок — постоянные скобки, т.е. скобки, которые в некото- рой фиксированной системе координат задаются постоянными тензорными поляьж А'Ь)=~0~~~, и Ь'(х)=со~~у .
П р е д л о ж е н и е 1.2.1 (~251,~203). Скобки Пуассона и 1 1 согласованы тогда и только тогда, когда для любых трех Функций 1 , $ , ~ъ выполнено тождество ~ ~ ее, ф», ц а Н1, ф~, ц + (циклическая перестановка) = С. Другими словами, скобка Схоутена тензорных полей, задающих скобки Пуассона ~ 10 и ~ ~~ , равна нулю. Итак, пусть на многообразии И заданы две согласованные скобки Пуассона ~ , 1 и 1 , ~„ . Обозначим через 3 двумерное линейное семейство скобок вида ~ ~ ~ = Ц ,~ +р~ Отождествим семейство Х с соответствующим подпространством в пространстве кососимметрических тензорных полей типа (2, 0) .
Положим ~ = Я~О~ "~""У ~ ~'с) . ~~М тСа3' Предложение 1.2.2. 1/ ~303 Пусть ~ и Я центральные Функции пуассоновых структур А , Ь ~= 3' соответственно, причем А и Ь линейно независимы /т.е. непропорциональны/. Тогда ~ и 9 находятся в инволюции относительно всех скобок из семейства Х 2/ Пусть ~ и $ — центральные Функции пуассоновой — 17— структуры А ~ 3 , причем ранг тензорного поля А равен К почти всюду на М .
Тогда 4 и ~ находятся в инволюции относительно всех скобок из семейства Д о к а з а т е л ь с т в о. Первое утверждение очевндно. Действительно, в силу линейной независимости А и Ь пространство 3 порождается этими пуассоновыми структурами. Но и ф находятся в инволюции относительно 4 и Ь и, следовательно, относительно их произвольной линейной комбинации. Второе утверждение следует, по-существу, из соображений непрерывности. Строгое доказательство будет дано в следующем параграфе. Таким образом, взяв объединение центральных функций всех скобок из семейства Л , имеющих почти всюду на Х ранг К , мы получим семейство инволютивное относительно всех скобок Пуассона ~ , ~ 6. 3 одновременно.
Недостаток этой конструкции состоит в том, что центральные функции, как уже отмечалось выше, могут быть глобально не определены. Поэтому в этой главе мы будем рассматривать ситуацию локально. Фиксируем точку ~ е М такую, что ранг почти всех скобок из семейства Х в точке .Х максимален, т.е. равен К Рассмотрим семейство функций 9~ , состоящее из локальных центральных функций тех скобок Пуассона из 3 , которые в точке ~ имеют ранг Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
