Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы на алгебрах Ли (1103069), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Подпространство ~. является /лагранжевым/ относительно произвольиз семейства Ю тогда и только тогда, Формы из семейства Х имеют одинако- Следствие максимальным из отропным ной нетривиальной формы когда все нетривиальные вый ранг. Легко видеть, что первые два уравнения разрешимы тогда и только тогда, когда ~ е К;~ Кк.~Ь-Л;А) . Если то К; = ~~и.
Сс '1 ~- , т.е. Ц б 1- . Но на 1- оператор <Р нильпотентен, позтому у не может быть собственным вектором ненулевого веса. Следовательно, система (2 ) не имеет решений при ~ ФО . Если б~им, К; > ~ъ- ~ , то существует у ~= К.; й 1м,'Р, ~, Ф О . Уравнение (В- А~) =~ = 40о разрешимо, и множество его решений имеет вид хо ~- Йл. ~Ь-Л;А) где Х~ — частное решение. Поэтому (х~+ Ьл.! Ь-1;4)) Й Ь 4Р+~, так как А~и, Кж(Ь-Я;А) > й-й.. Следовательно, система (2) имеет нетривиальные решения и присоединенный вектор существует.
— 28— ГЛАВА 2. СОГЛАСОВАННЫЕ СКОБКИ ПУАССОНА НА ДВОЙСТВЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АЛГЕБР ЛИ 5 1. Семейства функций в инволюции, построенные методом сдвига аргумента Пусть ~0- — связная конечномернея группа Ли, 6 — ее алгебра Ли, С~ — двойственное пространство к С . Коприсоединенное представление Ас(" группы Ли (у на („." задается соотношением (АИ, ~) — (ос., А~ ~), хек ~~р Соответствующее представление алгебры Ли С. определяется формулой ~ Ы~х,у)=(~,с~,у), хек," ~,~~с,. Коразмерность орбиты общего положения представления М называется индексом алгебры Ли 6 ~333 .
Пусть 4т~ ~Х) = = ~ ~ б С! Ы~ аС = 01 — стационарная подалгебра ковектора ХЕ=. (~, тогда ~и4~ ~ = ~м~" ~~"и.4"""'~~) . Каждая точка ~ей -'с Я ~ задает кососкиметрическую билинейную Форму ~Р~ на ( =- Т~(С ): Ф ~$,~) =(х., Г$,~3) . Тем сельпа на ( задано кососимметрическое тензорное поле типа (2, О), определяющее на (. скобку Пуассона-Ли : ~$,~~( .) = Р„~4,4у) = (х, с4,49з) Инволютивное относительно скобки Пуассона-Ли семейство функций на ( назовем полным, если из него можно выбрать ~~ (Йиъ С + и~б~Я) Функционально независимых на С" Функций. Это условие гарантирует полноту ограничения этого семейства на почти все орбиты максимальной размерности.
Напомним сущность метода сдвига аргумента, позволяющего получать Функции в инволюции на Я ~4-63, ~273 . Пусть и ф — инварианты коприсоединенного представления группы Ли Я , т.е. гладкие функции, постоянные на орбитах представления А4 . Пусть а- Е С вЂ” произвольный элемент. Тогда йункции ~~ ~ (х) = Дж+Ла) и Др,а(х) = 9(=с+ра) находятся в инволюции на ( при любых Я,у ~~~- . Следует отметить локальность этой конструкции: мы не можем, вообще говоря, получить глобально определенные на С йункции в инволюции, если инварианты представления Ас(" глобально не определены.
Однако, если элемент й.б С регулярен, то этот недостаток можно устранить, заменив семейство Функций вида ~л,а. эквивалентным набором полиномов. Эквивалентность означает, что подпростренства в ~ = Гж (С ) , порожденные дийференциалами йункций из этих двух семейств, совпадают почти всюду на общей области определения.
Очень простой способ такой замены предложен А.В.Браиловым. Достаточно в качестве инволютивного семейства рассмотреть совокупность однородных полиномов, полученных при разложении в ряд локальных инвариантов представления ~~( в регулярной точке И б С ~(+д.1= р, +ЯР(1 -Л'Р~:)+... Обозначим полученный таким способом набор полиномов через д'.
Легко видеть, что метод сдвига аргумента является частным случаем обшей конструкции построения инволютивных семейств по произвольной паре согласованных скобок Пуассона. В данном случае кроме скобки Пуассона-Ли следует рассмотреть еще одну скобку, задаваемую Формулой / см. (8 3, СЗО3 , С313 /: (с,~ = (о., С4(: ~, д~(~Ц). Тензорное поле, определяющее скобку ~ , ) постоянно и имеет вид Ч', . Легко проверяется, что скобка Пуассона-Ли и скобка ~ , ~ д согласованы, и $ункции вида =~(х+ ~а) , где ~ — инвариант Я , являются центральными для линейной комбинации ~ ~ ~ ~-~ь ~ ~, , — =,А .
Т е о р е м а 2.1.1 /случай орбит общего положения/. Пусть Й вЂ” произвольная конечномерная комплексная /вещественная/ алгебра Ли, 5 = ~ ~ ~ 6 ) Й~~ "~и 19) ~ ~~ы~ © ~ — множество сингулярных элементов в ('„- /соот. в ( Ф ) /, и. Е С- — регулярный элемент. Инволютивное семейство Уд. полно на С тогда и только тогда, когда сайки. Ь ) 2 д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть элемент ~Я С регулярен.
Будем проверять полноту семейства У~. в точке Ж. пользуясь теоремой 1.2.2. Второе условие этой теоремы выполнено автоматически в силу регулярности элемента ХЕ ~ . Первое условие переписывается следующим образом: ымр ~.с ф + рЯ» ) = = Йчи С-~и4,6 для любых ~,~Е С , не обращающихся одновремен- но в нуль. Геометрически это означает, что двумерная плоскость, натянутая на векторы зс.
и й в пространстве Сг / или в пространстве ~~х ) в вещественном случае/, пересека- ется с множеством 5 только в нуле. Ясно, что элементы Х~= ~~ , удовлетворяющие этому условию, существуют тогда и только тогда, когда С04~~~~ '> Ъ Ь . Теорема доказана. Отметим, что множества сингулярных элементов в ( С~ ) в случае вещественной алгебры Ли 6 могут иметь различные размерности. Поэтому в условиях теоремы 2.1.1 множество 5 нельзя в вещественном случае заменить на множество сингулярных элементов в С . В качестве примера рассмотрим шестимерную алгебру Ли со следующими соотношениями: Ге езЗ=~з~,Ж.,у~Л=~а,Ее~Рь3=-~~,Ж~Р~~ =~~. Множество сингулярных элементов задается уравнением (~~.~) +Я~) = О т.е.
является четырехмерной плоскостью в 6 ~ У- , но имеет коразмерность один в ~0 - ) Подчеркнем, что в случае сойи~ 5 ) 2 сдвиг можно производить на любой регулярный элемент а, ~ Я' . В то же время из доказательства следует, что при сингулярном ковекторе сдвига й- б С полного инволютивного семейства методом сдвига аргу- мента получить нельзя. Рассмотрим несколько примеров. Пусть С вЂ” полупростая алгебра Ли /комплексная или вещественная/. Тогда коразмерность множества сингулярных элементов равна трем, и мы получаем полно- ту семейства сдвигов инвариантов в полупростом случае, которая была доказана ранее другими методами А.СЛищенко и А.Т.Фоменко в ~5-63 .
Противоположньй пример — фробениусовы алгебры Ли ~34~, т.е. алгебры Ли с нулевым индексом. В этом случае орбиты общего положения представления АИ открыты в Я и, следовательно, инвариантами являются только константы. Поэтому семейство сдви- гов тривиально. С другой стороны, множество сингулярных элемент тов задается многочленом вида Йь~(с ~х') , где с., структурный тензор алгебры Ли, т.е.
Сойил ~ = 1 Полнота семейств функций в инволюции, построенных методом сдвига аргумента, была доказана без применения описанной выше конструкции и для некоторых неполупростых алгебр Ли, в частности, для полупрямьж расширений простых елгебр Ли по минимальному представлению: у ю()+ Ж. — Трофимов В.В., Фоменко А. Т. ~103, 2/ 'и' 1и.) + С - Браилов А.В. [ 351, 3/ зр(2и,й)+ И~~, А)ъ)+Ф.
- Болсинов А.В. 135~. я» у»» По-существу доказательства сводились к явному вычислению под- пространства в С. , порожденного дифференциалами функций — З2— из семейства сдвигов Уд. в Фиксированной точке с~б 6' Проверка условия софьи 5 ) 2 оказывается более жМективным методом при решении этой задачи. Это будет продемонстрировано в следующей главе, где будет доказана полнота семейства для достаточно больших серий полупрямых сумм ( = К+ Ч , где К вЂ” полупроста, Ч': К вЂ” ~~ (~/) — некоторое представление, 7 — коммутативный идеал.
Эти серии, в частности, включают все указанные выше алгебры. Рассмотрим теперь случай сингулярных орбит. Пусть хб 4 сингулярный элемент, т.е. й~и ""М (~) " '~ы~~ . Пусть Р~х)— 4 орбита точки Ж при действии группы Ли М на С Вопрос: когда семейство сдвигов инвариантов ~~ при ограничении на сингулярную орбиту Ю~ж) образует полный инволю- тивный набор на этой орбите ? Известно, что так бывает не всегда, даже если семейство У; полно на всем пространстве 6 Т е о р е м а 2.1.2. Пусть Я вЂ” произвольная конечномерная комплексная /вещественная/ алгебра Ли, ~ — множество сингулярных элементов в С- /соот. в ( С ) /.
Пусть а. б й» вЂ” произвольный регулярный элемент, ~ а С вЂ” произвольный сингулярчый элемент, 'Х : С '4"'я.(~) " — естественная проекция. Инволютивное семейство Уд полно в сингулярной точке ~б Я" тогда и только тогда, когда 1/ комплексная прямая ю.
+ Л.й- (Лб С) пересекает множество сингулярных элементов ,б только в точке ~- 2/ Йщ, 4~ %ЙЦ = ~ис~ Я , где Аж,Х~а.) — аннулятор элемента ХГа)Я,4ии.~х) в алгебре Ли 4ли. ~:с) . Д о к а з а т е л ь с т в о. Это утверждение является точ- ной перейормулировкой теоремы 1.2.2. действительно, первое условие означает, что все линейные комбинации ~'Р~~+ ф ~Ра при 84 О, ~,~бС, имеют максимальный ранг К = йж ~; — ~~ЫС . Лэлее, Д о к а з а т е л ь с т в о с л е д с т в и я, Полнота Ф семейства т~„ на Я гарантирует выполнение условия с0йвь 5 ), 2, , где 3 — множество сингуля ных элементов. р Это в свою очередь гарантирует выполнение условия 1/ последней теоремы почти для всех 86' С" .
Равенство им~ Аюи.~ж) = ~м~Я означает, что йт. 4~~и 'Х® = ~ис~ Я для регулярных проекций 'Е~Ф), т.е. почти для всех 8б 4, . Ясно, что 8ЕЙ можно выбрать удовлетворяющим двум условиям одновременно. Тогда семейство 'Ч будет полно в точке х ~ ( и, следовательно, на всей орбите Ф~ж'-) Если алгебра Ли Ц полупроста, то условие ~Ы Яви. ~х) = выполнено для всех полупростых сингулярных элементов. Тем самым, мы получаем новое доказательство известного результата о полноте семейства сдвигов на полупростых сингулярных орбитах в полупростых алгебрах Ли ~20-22Д .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
