Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы на алгебрах Ли (1103069), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Однако, в некоторых случаях условие полупростоты сингулярного элемента ж б ~" сущест- венным не является. Папример, справедливо следующее П р е д л о ж е н и е 2.1.1. Для всех элементов х Е ~0( ) выполнено равенство мял Мия.(ж) = Еи4 ь0(к) . Таким образом, методом сдвига аргумента можно построить полные инволютивные следуя обозначениям теоремы 1.2.2, полохпп~ К = ~ $б Йа9 ! «Р~,~$,~~х~)= 03 . учитывая, что Ки.~Рх = 4 и~,(сс), получаем Кзс,= 1 $а ~Ьт(хМ С~~ а- "~ ~(~с))=0~, или К„= Аиъ ХЕа) Таким образом, условие 2/ доказуемой теоремы в точности соответствует условию 2/ теоремы 1.2,2. С л е д с т в и е. Пусть семейство сдвигов инвариантов Р~ полно на всем пространстве Сг . Пусть жб 6» — сингулярный элемент, причем ~Ы4ип.~х)=МЯ .
Тогда найдется регулярный Ф элемент 3 ~=. С такой, что инволютивное семейство У8 полно на сингулярной орбите Фйс) . семейства шункций на всех сингулярных орбитах (ко)присоединен- ного представления группы Ли 51.(п). Доказательство состоит в явном вычислении централизатора произвольного элемента зсЕ ьИп) и его индекса. Случай алгебры Ли Ы(~) наиболее прост, поскольку любой элемент можно пред- ставить в стандартной жордановой нормальной Форме, после чего вычисления проводятся достаточно легко. 5 2. Функции в инволюции на симметрически-градуированных алгебрах Ли В этом параграфе рассматриваются согласованные скобки Пуассона, связанные с симметрической градуировкой алгебры Ли, и соответствующие семейства Функций в инволюции.
Напомним эту конструкцию, следуя работе А.Г.Реймала ГБ3 . Пусть С симметрически-градуированная алгебра Ли. Это означает, что на Сг задан инволютивный автомор$изм 8 , и С разложена в прямую сумму Н + ~ собственных подпространств автомор4изма ~ , отвечающих собственным значениям +1 и -1 соответ- ственно. При этом имеют место следующие коммутационные соотнощения ГИ,~~ей, ГН,Ч3с7, ~Ч,Ис: Н. Обозначим через С д полупрямую сумму поделгебры и коммутативного пространства ~ по представлению а~: Н вЂ” фМ . Другими словами, зададим на линейном пространстве (л еще один коммутатор Е, ~ В по Формуле Двойственное пространство 6 мы отождествим с прямой суммой Н -~ "Ч , полагая Н = Ч , Ч = Н к ~- Рассмотрим на пространстве С = Н + ~ три различные скобки Пуассона : 1/ скобка Пуассона-Ли ~ , ~ , отвечакицая алгебре Ли С 2/ скобка Пуассона-Ли ~ , 3 ~ , отвечающая алгебре Ли Де, 3/ скобка ~ , 1о , где Й Е ~/ Напомним, что третья скобка ~, ~ „ задается формулой ~$щ~ (х)= (с >Е4~м~,4фбхЛ), причем в данном случае коммутатор можно рассматривать в любой из алгебр Ли С~ и С<~ .
Известно, что любая линейная комбинация этих трех скобок является скобкой Пуассона на Н + ч . Поэтому для построения функций в инволюции на 6 =Н 7 мы можем применить общую конструкцию /гл. 1, 5 2/, рассмотрев любое двумерное подпространство в пространстве, порожденном скобками ~ , ~, ~ , ~ у и 1 , 1 а, Будем считать далее для простоты, что алгебра Ли С обла- дает полным набором полиномиальных или рациональных инвариантов представления М П р е д л о ж е н и е 2.2.1 ( ~83) Центральныьп~ шункциячи скобки й~,~ -~ ~~,~9+ ~ ~, ~а.
при ~+~ ФО, ~40 дддяютсд йундддд вдда ~~~~ (~ 4=Ц~~1~ю~~а), дде пробегает кольцо инвариантов алгебры Ли Рассмотрим линейное семейство скобок Пуассона, натянутое на скобки ~ , ~ + ~ ~а и 1 , ~д . Из предложения 2.2.1 и общей конструкции 5 2, гл.1 следует, что функции вида ,~ (~~ + ~у + Д~а.) находятся в инволюции относительно всех скобок вида ~. ~ ~ ~ ~ ~ ~ „~ + р ~ , ~ О . Теорема 1 .2 .1 позволяет проанализировать полноту построенного этим методом семейства функций в каждом конкретном случае.
Мы рассмотрим случай наиболее интересный с точки зрения приложений. Пусть С~ — полупростая вещественная алгебра Ли, О инволюция Картапа. Как обычно в этом случае мы отождествляем Н с Н и Ч с Ч с помощью Формы Киллинга. В общем случае семейство Функций в инволюции Рд д = Д(Юъ+ч5+А с4 ~ 1~1®), Л6 ~- 3 полным не является. Однако, легко убедиться, что Функции 1 Е «Уа,в коммутируют с элементами подалгебры й(0.) , где 51(а ) — стационарная подалгебра элемента ае 7 при действии Н на Ч .
Рассмотрим произвольный полный инволютивный набор У~~~„~ на двойственном пространстве 56~а.) . Функции ЯЕУ~ц„~ естественньпл образом продолжаются на все пространство С с помощью проекции Х: ф Ф С -~ й(о ) . Объединяя семейства Уа,д и 0~~~ ~, мы полу,ю+ чаем инволютивное семейство на м в смысле скобки Т е о р е м а 2.2.1. Пусть (;- — полупростая вещественная алгебра Ли, Р— инволюция Картана, Н ~- Ч вЂ” соответствующее разложение алгебры Ли (х , Й- б ~ — произвольньп~ элемент, Тогда инволютивное семейство бд~ ~ 0 б~~~~ ~ полно на (~ = Н + ~~ относительно скобки Пуассона-Ли 1, 3 о Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем точку ~ъ+ ~У~ Н +Ч Обозначим через М подпространство в С~ , порожденное дифференциалами йункций вида ~~ХИ.
+ 0 ~ 1~а) . Через й обозначим косоортогональное дополнение к /Ч относительно 2-йормы на С , задаваемой скобкой 1, ~~ в точке ~+~7 . утверждение теоремы эквивалентно существованию точки Й +'с такой, что М = М '+ ~~® При доказательстве, как обычно, нам будет удобно перейти к комплексным алгебрам Ли. Чтобы не усложнять обозначений будем сразу считать алгебры Ли 6 и С~ комплексными.
Отметим, что после перехода к комплексным алгебрам элемент а~ Ч про- извольным уже считать нельзя, поскольку вещественное подпростран- ство ~/ состоит из полупростых элементов. Поэтому и в ком- плексном случае мы будем считать йЕ ~/ полупростым. Обозначим через А.~ е кососимметрическую Форму на С~ , задаваемую скобкой А(~,~+ 1,30,~+Д~,~а в точке Ь+'и . Покажем, что точка ~+ ~ может быть выбрана так, что 1/ м ~ А~,~ = ~ = 4 С, — ~ С...~+ ~ ~ О, .~ -~ 0, 2/ чьими А 0,~ = ~ = 4~ ~ С вЂ” ~лс~ Сг, 3/ Й~н ~~;~='<~6, где ~,, = ~$е Ьл.
4, д,,(~, ь 4,,,) =о~ В силу пункта в/ теоремы 1.2.1 эти условия эквивалентны тому, что М = ~Ч+ Ь~ ~~,-~ . Л е м м а. Условие 1/ эквивалентно регулярности элементов вида ~~+ тГ+. Д~а. (А~ С, ~~0) в алгебре Ли 6 Доказательство леммы. Форма А,~ задается кососиьпяетрическим оператором Й вЂ” 5 вида ~+ ~ — (Г~,С в)~З Г~,~Ы.Е) г+.~а4+(Г~,( +~) +~~З+Г~, ~~3) Э Э ф и й 7 Н Ч ,ГГ Сделаем замену $ ' — 1/' , А = ~ + . Тогда ядро йормы 4.~,р совпадает с пространством решений системы уравнений с$', Л)ъ3 + Г~, б+ Х~а3 =О С~', ч~+ А'а 3 + Г ~, А ~3 = 0 ( Е т.е.
$ + ~ принадлежит централизатору элемента ~~+ ~~~ " 4- в алгебре Ли Р . Поэтому условие ии4$ 4.~,р = К= Й~и(х -н4С а эквивалентно регулярности элемента 1Ь, + и+1а, в алгебре Ли Поскольку ои~ С~ ='ми~,йд /см. ~163 /, то второе условие эквивалентно регулярности элемента 1 + ъ как ковектора — 38— двойственного пространства Йд Рассмотрим теперь третье условие. Ядро формы совпадает с пространством решений системы уравнений Г.~, а~ =0 ~~, и1+ ~~,о-)=0 СЗ) Введем следующие обозначения: СЙ') — централизатор элемента Й- в алгебре Ли С , Йс~) = 7 Л ( (а,) Х ЬВ(и) — ортогональное дополнение к М1~) в Н -~~( ~Л.
относительно формы Киллинга, "~с') — ортогональное дополнение к ~(~.) в ч . Имеют место разложения в прямые суммы Ог=Н+7 = Бй~а)+ й~а)~+ 7(а)+7~а), СЙ-) = М".) + М) . Здесь мы учитываем, что элемент а. Е ~ полупрост. В системе уравнений 1 3 ) положим Ь. = ~ь,+ ~ь2., $ = $,+ ~ где ~~,Ъ~ Е ММ, Ь~$~Е Жо-) . Тогда второе уравнение системы распадается на два: Последнее из этих уравнений однозначно разрешимо относительно 7~6 Ь|(а) при любых ~ б Ч(а), "г. ~ ММ . Элемент $ ~ ~~(о) в уравнения не входит, т.е.
~~Й~) С:. бл. Д~,-1 . Из этого следует, что размерность ядра формы 4~ равна сумме 1 бЬи Я~а) + в~имЪ, где ~~7 — пространство решений системы уравнений относительно (4) Л е м м а. Почти для всех ~„ б ~Ца) имеем ~и4, й — М М~Ф)- — 39— Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Пусть К подалгебра Картана в ММ .
Утверждается, что централизатор поделгебры К в С(а.) есть подалгебра Картана в С1а) ~и, следовательно, в 0 , поскольку 1~ ~ = ~~4 С(~) / Достаточно проверить, что централизатор подалгебры К в М~) коммутативен. Предположим противное, т.е. существуют ~!+г~', Ь"+~" б Йа) такие, что ГК, 1~'+6'3= СК,~ъ"+'и" 3 =0 но ~ ~ +~~~ .
~" +0 3 Ф 0 . Легко видеть, что ~, ~ б К поэтому СМ,'6'1=СК,Ф'1= О, но С'6','д~'140 . Имеем С К,Ы,1У'~33 = О, с другой стороны, ~~ ~~~3 Е ЫЙ~) Но подалгебра К ~ Ь1(о.) является максимальной коммутативной в ~М(а) . Следовательно, Г-~ ~~' 1 ~ ~ . Ограничение Формы Киллинга на К невырождено, поэтому найдется х.Е К такой, что ( х., С6','0 " 3) Ф 0 , но это невозможно, поскольку Сх., и'3= !! = Г~с Ф 1= О .
Далее, существует элемент ~ „ ~ К такой, что его централизатор в С~а.) совпадает с центрыизатором подалгебры К в Иа) , причем такие элементы образуют в множество, являющееся дополнением к некоторому конечному семейству гиперплоскостей. цептрализатор такого элемента 4,, в алгебре Ли СЫ ) совпадает с прямой су~люй К + Ъ~ где Ю вЂ” пространство решений ~ 4) . Следовательно, ~фю Ж = ьиАДа) -йм.К = ьи4, 6 - ~их~ 5й(О) . Лемма доказана. Пусть Е = и,+ ~ь~Е Н , причем ~~Е Ма) удовлетворяет условиям лемлы, в частчости, ~ь~ регулчрен в ЬЦа,) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
