Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы на алгебрах Ли (1103069), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть К вЂ” подалгебра Картана в БИ~.) , содержащая ~ь~ Рассмотрим разложение ~~~М= ~+ Ь ~ 6, где В и Ь жтльпотентные подзлгебры в Ь~~а.) , отвечающие соответственно множествам положительных и отрицательных корней. Утверждается, что ограничение Формы 4о,х на подпространство Ь -~- $ невырождено. В самом деле, на этом подпространстве Форма 4о,~ — 41— Мы использовали то, что ~зим >'""> Й Кк А~ ~ = ~и4, С~ ~ 3. Семейства скобок Пуассона, связанные с лиевыми В этом параграфе рассматривается еще одна серия согласован- ных скобок Пуассона на алгебрах Ли, на которую указал автору И.Л.Кантор. О п р е д е л е н и е. Пусть 1 — конечномерное линейное пространство.
Линейное семейство структур алгебр Ли на ~ называется лиевым пучком. Пусть ( С, Л .~) „ соответствующее семейство коммутаторов на 1- . Линейность означает, что множество параметров > является линейным пространством, при этом О-С, З~. ~ В Г, ~~>= С > 3~>~ ~~ , сы+ ~Р~ ~ .
Размерность пространства Л называется размерностью лиева пучка. Поясшпл связь лиевых пучков с согласованными скобками Пуассона. Если на пространстве ~ задан лиев пучок (С,3.~)., т, то на двойственном пространстве естественным образом возникает линейное семейство согласованных скобок Пуассона-Ли (~, ~ ) где ~~,Д~(х) = (ос- Г ~ 9~.Д. Если мы хотим теперь постро- 40 4 ить инволютивное семейство на 1. относительно некоторой скобки $ , ~ ~.
, А ~= ~ , мы можем применить общую конструкцию главы 1 для двумерного семейства скобок ( ~ , ~ ~ ) где Юо с:- З вЂ” двумерное подпространство, содержащее Выясним, при каких условиях полученное семейство будет полньпл. Итак, пусть на конечномерном комплексном пространстве 1 задан пучок (Г, 3~ ) ~ размерности два, > =- С . На рассмотрим соответствующее семейство скобок Пуассона-Ли ( 1, 1 .~) А~,у .
Пусть максимум рангов скобок из этого семей- — 42— ства равен К, другими словами, Й. = А4 и.Ь вЂ” вин. ~~и~ 1.* а~~Ы.7 Следуя общему летоду, рассмотрим семейство шутппщй состоящее из центральных ~Ъункций скобок ~, 1 .~, .сЕ .Т, ранга Й-, т.е. Я~ — — . ~ . ~(" 4-), где ?(3 ~) — кольцо инвайб 3, М~-.~=ймд=к риантов коприсоединенного представления алгебры Ли 1 ~ , задаваемой коммутатором Г, 3~. .
Будем предполагать, что алгебры Ли из пучка обладают полными наборами полиномиальных /рациональных/ инвариантов, например, все алгебры Ли ~ * алгебраические. Прежде чем обсуждать полноту семейства ~1 , введем следующие обозначения. ~.~ — множество сингулярных элементов в ~- в смысле коприсоединенного представления алгебры Ли Е.д, ~б Ю зим ~. ~ос) — стационарная подзлгебра ковектора гс е ~.» отно— сительно коприсоединенного действия алгебры Ли 1, а 1 Я.~ — центр алгебры Ли )-д. П р е д л о ж е н и е 2.3.1. Е ~.
является подалгеброй в любой алгебре Ли ~- ~ , ~ Е 3 Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко видеть, что для любых двух алгебр Ли ~ з. и ~- Р из пучка выполняется тождество Е Е$,~Л.~,~Л~+ Г Ц ,У р, ~ 3.~ + ( циклическая перестановка) = О /сравните с предложением 1.2.1/. Отметим, что это условие означает в точности, что операция Е, 3 а является коцпклом в смысле когомологий алгебры Ли ~ ы относительно присоединенного представления. Пусть ~ , ~ ~= Е.~ , тогда из тождества немедленно следует, что СГ~,~3~,~ ~ .=о для любого ~б 1.
т.е. Г~,~,~~6 Я,~ . Следовательно, Ъ.~ подалгебра в 1-р Пучки, которые будут рассматриваться ниже, обладают одним весьма удобным свойством: все алгебры Ли пучка за исключением конечного числа /с точностью до пропорциональности параметра/ изоморйны между собой. Будем предполагать, что это условие выполнено, и фиксируем какой-нибудь представитель 1- с.з из этих алгебр "общего положения". Пусть 1,~ , ... , ~ .~ — все с точностью до пропорциональности алгебры Ли из пучка, которые не являются алгебрами общего положения.
Злементы центра Е,~.. мы будем рассматривать как линейные $ункции на 1 , Любая ~Ъункция КЕ Х*, принадлежит кольцу инвариантов 1 ~ ~-.~, ) и поэтому кояяутирует со всеми Функтщяпл из -"у относительно произвольной скобки ~ 1 , ~Ж 1А . Обозначим через Р„ полный инволютивный набор функций на относительно скобки ~, ~,„ "общего положения".
» Скобка ~ ~,„естественным образом ограьпл плвается на 2,~, поскольку Ед — подалгебра в 1 ,., Функции $ ~ 'У~ продолжаются на все пространство 1- с помощью естественной Ф проекции 'Х.„: Ь Ь*. . В силу выбора семейств ',У; и Ь предложения 1.2.2 семейство ',Тр 0 '3-~ 0 ... 0 7«. является инволютивным относительно любой скобки П р е д л о ж е н и е 2.2.2. Пусть для любой алгебры Ли 1..~„ выполняется равенство /здесь Я,~„ рассматривается как подалгебра в ! ~ , т.с. как алгебра Ли с ко~тяутатором ~-, 1 с.> /. Пусть для алгебры Лч 1-~о "общего положения" выполнено условие сос~и ~ ~~, З 2 ( С Тогда инволютивное семейство туО ~~О".03;„ является полным на ) относительно скобки Замечание.
Если условие об изоморфности почти всех алгебр — 44— Ли из пучка не выполняется, то нужно ввести несколько иное определение алгебры Ли "общего положения", накладывая на такие алгебры Ли два условия: 1/ ~м~ 1„~, = пмво ~и4, Ьр = Х. ~а 3 2/ сой~й5,~ = ~ио4 с06~~и ~~ . Можно легко показать, что все РЯБ ;,К ~~=ъ алгебры Ли любого двумерного лиева пучка за исключением конечно- го числа являются алгебрам~ "общего положения" в этом смысле. Замечание. Утверждение предложения 2.З.2 допускает следую- щую эквивалентную переформулировку. Рассмотрим семейство функций 9' ~/ Я ~/ ~/ 7,~ .
Из предложения 2.З.1 следует, что это алгебра Ли относительно любой из скобок Предложение 2.З.2 йактически утверждает, что алгебра Ли функций '7 ~~ ~~ Д ~/ Я является полной в некоммутативном смысле относительно скобки сой 3 ) ~ , которые являются Д о к а з а т е л ь с т в о. Условие гарантирует, что существуют точки Ж б ~ регулярными в смысле коприсоединенного представления всех алгебр Ли ~„ из пучка одновременно. Действительно, достаточно показать, что дополнение к множеству 51 = 0 -> с в ~- содерс4.Е 3 жит всюду плотное открытое множество. Но множество 5~ является объединением множеств коразмерности два за исключением, быть может, конечного числа 5.~„, ... , 5.~ . При этом объединение происходит фактически не по двум,а по одному параметру, поскольку Б.~ = 5,~.„ /удобно считать, что параметр * пробегает не множество 1 "- , а соответствующее проективное с» ГЪ1 пространство РР 1 = ч-~ /.
Поэтому размерность ~у может временно трем условиям: увеличиться только на единипу по сравнению с размерностью типичного множества Б,„ , т.е. СосЬи Ау ) 1 Потребуем далее, чтобы точка сс б 1 удовлетворяла одно- — 45— 1/ точка Ж регулярна как ковектор в смысле всех елгебр Ли ~-~ из пучка, т.е. ~: ~ ! ~ Лу 2/ ковектор ~~„.(сс) регулярен в К~., ~ = 4-, где Ж„: 1. Е,~. — естественная проекпия, г'.~, рассматривается как подалгебра в 3/ все инволютивные семейства 'У„. полны в точке х. на К.~, полны или, более строго, инволютивные семейства 'У„ в точках 'Х;(й) Обозначим через /Ч подпространство в Ь , порожденное дифференциалами Рункций ~ б сну в точке Ж .
Пусть М— косоортогональное дополнение к М в ~- относительно З-формы, задаваемой произвольно.': скобкой 1 , ~.~ . Напомним, что М не зависит от выбора скобки 1, ~ , ~ 4 О , в силу теоремы 1.2.1. Покажем, что М = М + Ави, (х) ~-,,+Аьи. С4 ° ОЕ,, ' ' я~$~ Из теоремы 1.2.1 следует, что для этого необходимым и достаточным является условие о~им К.; = '1иА Ь~„р,1=л, ,~-, где К,; = = ~ ~~ А~~ ( ) ~ (х,С~,А~иы,(хц~) = О ~ . Рассмотрим и дпространства К, = ~ $ ~ Х . ( (зс, С$, Е- 3„)= О ~, таким образом, это аннулятор ковектора Х;(х) в подалгебре Е„,С: ~.
Точка Х;(х) регулярна в Я, поэтому Щ„~ К; = ~и4,~",~,. Л е м м а. Пусть на конечномерном пространстве К задана / кососнмметрическая юорма ~ , К вЂ” подпоострапство в К / Ъ~~~ — огранпчение мормы Ь на К . Тогда имеет место оценка Й~и К вЂ” Йщ Кй Ь ъ йм К' — Йил бл Ь~ ~ К Л о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Разность уЬщ К-~~щ 6д.3 равна рангу ~Ъормы Ь на К.
, аналогично, ранг / ограничения 8)~~ равен Ойи К вЂ” Йм Ь"~ ЙК' . Но ранг ограничения не превосходит ранга йормы на объемлющем пространстве. Из утверждения лейлы следует, что Йщ Аьи.,~.(х)- Аии,К„ ъ / > Йм Е.~., — 0~~и~ ~;, Но по условию Йьи Аьи., (х) = ~~я( Ь~. = р~~( ~ .< (~(~~~у~ ~7 ~, $щ~( Я~ г Поэтому фЫи~ К ~ = /и4~ ~ ~,у так как всегда ~Ми К„» ~ию~ 1.,„. Отметим, кстати, еще одну оценку, которая пригодится нам в дальнейшем: ;и4 1. ~ Йщ К„» Йиа зим,~.
(х) — Йж Е, + ~и4, К, ~ ~.. З ~м~~ + йиК~„— ' ~Е,„ (о2 Итак, М = М + Ави.~. (х) -+ ". +'4~в~~ (~) . Покажем, что на самом деле М = /Ч + Е,~„+ ...+ Х.~ . Ясно, что Рч + ,'7 с- Я ~ Дуы, .(~-~ . Подпространство К, содержится в косоортогональном дополнении ~Ч к Я , поэтому / М Й У,.~ К'., следовательно, й (я+я.„) =й м й и.„.-й Ьчлк„,)> ) О!мм Ч + Йм И..~; — и А Е.~; С другой стороны Жи ~й+ Аьи,,;(: )) = Ае й+АМАм,( )-Й СМЙ~ -~;Е 4= =й ч.; ~~, -й ~„= й ч °; ~~„.—; ~ь Поэтому Йии ~М+ 7.,~;) ) Йип (Й+ Ъи.,.
(ж)) . Следовательно, М+Е,;= И+4 ~ -„( ) и М = ~1+ ~„,+ ...- Е„ Пусть Й „— подпространство в К ~„. „порожденное диа;Ференциалами Функций ~ 6 3; в точке ~ . По построению семейства ~7„ полны в точке ~ , поэтому подпространства Й; являются максимальными изотропными подпространствами в К в смысле скобки ~, ~ „ . Учитывая, что все под- $. пространства /Ч „ косоортогональны между собой, заключаем, что подпространство Я + /Ч„ + . + Я является максимзльньпя изотропным в 1- .
Это означает полноту семейства 'У~ 0У„ У вЂ” 48- коммутатор Е, 1 А, А Е 3 задается формулой Сх,~~„= ХМ ~АХ-, 8/ 1 — множество матриц размером юх м. 3 — множество матриц размером коммутатор С, 1 , А ~ 3 задается йормулой ГХ ьЧЗА = ХА~ - УАХ; 4/ 1 — четномерпое линейное пространство, 5 = Ь , коммутатор Г 3А , А Е Ю задается формулой ЕХ, УЛд = (А,Х) ~ — (А,'~) Х вЂ” (Х,~)А, где ( , ) — невырожденная кососимметрическая рЪорма на 1 5/ одномерный пучок, порожденный простой алгеброй Ли, Изучим зти пучки более подробно, следуя следующей схеме. Во-первых, установим, какие неизоморфные алгебры Ли содержатся в данном пучке; во-вторых, укажем индексы зтих алгебр, их цент- ры и явный вид инвариантов коприсоединенного представления типичных алгебр Ли из пучка / множество параметров Ю содержит открытое по Зарисскому множество Ъ , такое, что алгебры Ли ~-А и ~- ~ изомор)ны для любых Я,Ь Е Д, , такие алгебры Л- мы будем называть типичными или алгебра~п~ "общего положения" в пучке ( ~-с ~ 1 /; в-третьих, проверим полноту инволютнвных семейств, построенных по некоторому двумерному подпучку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
