Интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы на алгебрах Ли (1103069), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1 ~~~чек. Зараиее аоиио оаидать, что иэучееие этого пучка интегралов уравнений Эйлера динаьп~ки твердого й -мерного случая Клебша П11 А, ЬЕ 3 — симметрические матрицы. Если где С вЂ” некоторая невырожденная матрица, то и 1- Ь изоморФны. Изоморйизм устанавливает- семейства первых тела 111, Г41 и Итак, пусть А=С ЬС алгебры Ли 1 д может быть интересным с точки зрения приложений.
И действительно, как будет показано ниже, здесь естественным образом возникают ся отображением Х сХ С' . В самом деле, С СХ,~ 3 С = СХА1С вЂ” СЕРАХС = [СХС С~С~Д алгебры Ли ~" А , поскольку в комп- А ранга лексном случае любая симметрическая матрица может быть приведена к стандартному виду / н~ = ~,и4~, 5О(lъ) ~. Предложение 2.2.3.
+ оаэи~ 50(  — $. ) — ~ ~И~ 50(1ь — 3.) Л о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего отметим, что алгебра Ли ~- е~ является полупрямой сулиой алгебры Ли ь0®) и радикала Ч , который естественным образом разлагается в прямую сумму 7~ .+ ~2. . На Ч~ действие алгебры Ли ь0($.) является суховой ~ь — 4- экземплчров простейшего пред- К ставления 50 Ж) на С, на Чх действие ьоФ) тривиально, ~ ~~, ~1) ~- 7г, 7~ — центр алгебры Ли 1 Представив матрицы Х,'1 Я ~. в виде блоков имеем Наоборот, если симметрические матрицы 4 и Ь неэквивалентны, то ~-А Ф ~ ~ . Из этого замечания следует, что класс , т.е.
множество алгебр ~. А изоморшных определяется рангом матрицы А Центр Е~ алгебры Ли ~ Е~ является поделгеброй в алгебре ~ Е = 5о(к), изоморфной 5о~ю- К) . Поэтому формулу, которую нужно доказать, можно переписать в виде "и~ ~" Е~ "и4~ ~" Е~ ~~и~ ~Е ""м~'~К где Е ~ рассматривается как подалгебра в 5оГ~) /сравните с предложением 3.2.2/. Рассмотрим два случая. Пусть сначала ~В-~) четно. Отождествим пространства ~- и ~ при помощи невырожденного скалярного произведения (ХЯ ) = Тъ Х ~ Тогда коприсоединенное действие алгебры Ли ~- д на имеет следующий вид: ( и~~ ) Х = АХ~ — ~ХА . Положим Х Ы ~з~0, Е~ полупрост и регулярен в 50®) Простым вычислением проверяется, что аннулятор ковектора в алгебре Ли ~ е~ имеет вид , где Н вЂ” подалгебра Лартана в 5О(К), содержащая Е~ .
Таким обРазом, Йил Аьи,Е (К) = щ45о®)+ 4имяф~-К)= ~щ~5ц~)+ +А~и501" ~) ~"~М~-Й. Следовательно, 'вил. 1 ~~ ( Щ~мАмл.. Я), но при доказательстве предложения 3.2.2 была получена обратная оценка (5) . Позтому ~и4~ ~ Е~= М1 ~ + Ав~ Еф - ~иАР-К Пусть (И.-К) нечетно. Положим и как подалгебра в Ь н = ьд~„,) изоморфен воЯ„.) . Пусть произвольное полное инволютивное семейство функций на Е"; =- воЕ$;) Т е о р е м а 2.3.2. Семейство функций «У, = Я Ц ~9 ~/ ~/ ~ / 1 ~~. ~ )) на пространстве ~- инволютивно и полно в, Ь.+ 1Е относительно скобки Пуассона-Ли, отвечающей алгебре Ли ~ Е-~О~и), или более общим образом относительно скобок ~ , ~ „ ~ , где 1 хе Фуьо АЕ+~ Ь, Д о к а з а т е л ь с т в о немедленно следует из предложе- ния 2.3.2. В самом деле, им6 ~.с.„ = йи~1-Е + Йт ~„ - Ы К; /см. предложение 2.3.3/ и сейиды 1в = Ь ~ 2 , где Ф Ф множество сингулярных элементов в ~ =- (ьо~~)), Полнота этого семейства относительно любой скобки ~ ~„~ ~ , ~м~ Ь~е, ~~+,~ Ьо ~" ~о = ~и4 ~-Е , следует из того, что полные семейства функ~пй на 1- в смысле скобок ~, 3~ и ~ ~ ~, ~ состоят из одина- кового числа независимых функций.
С л е д с т в и е 1. Пусть С„ = В. — $;Е . Для того чтобы получить полное инволютивное семейство на ~ относительно скобки 1 , 1 ~. , достаточно добавить к семейству 'У в функ- ции из центра Д о к а з а т е л ь с т в о с л е д с т в и я. Нужно проверить сколько новых фучкций добавится к семейству ЯВ, Нас, конечно, интересуют только функционально независимые фуьп- ции, поэтому следует учитывать, что набор 9'„ выражается через линейные функции т~е К„ . Набор 9.„ состоит из — 54— ~ ~щ ~. +,'~,~, ) функционально независимых функций, поэтому Т~ С добавится не более сйги.
Я; — л (0~~и А ~'ы~ ~') функций. На самом деле ровно столько, иначе набор 78, можно было бы расширить с сохранением инволютивности относительно скобки ~, 3~ , что невозможно. Итак, в наборе У6 было д ~Йище~ '~пса~.~) независимых функций. Добавив -~- ~4й~ Я; — ~п,~;.~ ) новых функций мы получим семейство, состоящее из ~~ (а~ь~~.Е+М~е+ +й Я,— йЯ;) = Х-~ ~ ~с, +~' ~~,.) функций, т.е.
полное относительно скобки Отметим еще один важный частный случай. Пусть 4, = Ау(1,... ., М, р) . Алгебра Ли ЬА изоморфна в этом случае алгебре Ли Е~п-~) группы движений ~п - Х) -мерного евклидова пространства. Пусть Б = р~~у Я,.„, 8 ), Ф +О . Тогда ~УФ 'сайф(А~р'Ь)=В, и мы можем применить к пучку, натянутому на алгебры Ли Ед, и Е~, теорему 2.3.2, поскольку такой пучок изоморфен стандартному. Пусть для простоты ~' Ф 0~, ' Ф~ . Тогда справед- лино следующее С л е д с т в и е 2.
Семейство функций 0 (1~д.~~ Ь) (~,Г И(о,о) инволютивно и полно на ~ относительно скобки отвечающей алгебре Ли Г ( ~ - ~) Рассмотрим теперь более кратко оставшиеся серии замкнутых неприводимьк лиевых пучков. Слу~."й~ 2. ~„ — пространство симметрических матриц размером лХ И , 3 — пространство кососимметрических матриц размером 1Ъ ~ И, , коммутатор С, 3 д , ~ ~ Х задается формулои: ГХ,У Зд — — Х4~ — ЧАХ, 1,Х Е 1„. Изучение этого случая во многом аналогично предыдущему, поэтому мы не будем останавливаться на деталях. Алгебры Ли из пучка ( ~ д )~ ~ разбиваются на ~~~+ 1 АаЗ Б классов, каждый из которых содержит иэоморфные между собой алгеб- ры.
Алгебры Ли ~~ и ~ ~ принадлежат одному и тому же классу тогда и только тогда, когда иьи~ 4 = иьин Ь Канонические представители классов имеют вид 1 ~ , Г е 1 а где 2К Алгебра Ли 1 Г является полупрямой суммой симплектической алгебры Ли зр (2к, С) и радикала Ч . который разлагается в прямую сумму ~~~+ ~~р . На ~/1 действие алгебры Ли Ьр(гк,С) является суммой ю. — Ы экземпляров простейшего представления у, размерности 2К . На ~~~ действие тривиально, [~~~ Ч~1 = Ч, , Ч~ — центр алгебры Ли ~„~ . Если Я четно, то алгебра Ли ~. р,„ иэоморфна симплектической алгебре Ли Ь~(и.,~-) .
П р е д л о ж е н и е 2.3.4. 4, 1.г — (~т-И)(а 2~ х) 4.. Д о к а з а т е л ь с т в о. Это утверждение можно было бы доказать так же как и предложение 2.3.3, но здесь мы продемонстрируем еще один метод вычисления индекса, который удобно приме- нять в случае, когда стационарные подалгебры общего положения ~ч представления 4а сопряжены. Этот метод был предложен А.Г.Эла- швили и основан на следующем утверждении. Л е м м а.
Пусть С~ — комплексная конечномернэя алгебра Ли, ас Е С," — некоторый элемент, Аьи. (ж) — стационарная подалгебра ковектора ;Х. относительно коприсоединенного действия алгебры Ли Сг . Пусть 4Фъ (х) Й Ы , Ави,(ж)1 = О , тогда элемент Ж регулярен и щ0~ Я = с~ии Аии.(эс).
Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы. Обозначим через подпространство в С,+ , состоящее из ковекторов ~е ~ таклх, ч~а Атил)~Ьщ<х), т.е. К~= ~~аС /а~'У=Р Ч~аД~щ~)~ Легко видеть, что К = Ы, Аи ~(~)1 . Кроме того, ~4ви. (ж)— =Т, 8(ж) .
Поэтому условие А~и~ ~~) Й СС,Лтм.(ж)3 = О в точности означает, что (; = К + Т б(х~ . Выпуская орбиты из точек ~~ К близких с Л: ~ (,», мы заполним этими орбитами некоторую окрестность точки о- . Ясно, что стационарные подалгебры точек этих орбит сопряжены аннулятору 4м~(Ж) . Итак, имеется открытое подмножество в С , состоящее из точек ~У<= 4 , стационарные подалгебры которых имеют одина- ковую размерность. Ясно, что это возможно лищь в том случае, когда все эти точки регулярны. Лемма доказана. Теперь мы легко докажем предложение 2.3.4, подобрав подходящим образом ковектор Х ~ Г .
Как и в предыдущем случае коприсоединенное действие алгебры Ли ~ р имеет вид » если отождествить !- и ~- с помощью скалярного произведе- Тт. Х~ . Записывая матрицы Х и 1 в блоч- ном виде имеем где ~и— абелевой алгебры ~ д имеют индекс в . Поэтому семейство ~ 1(~-А,~~) инволютивно. Полнота следует из того, что л почти все алгебры из этого пучка изоморФны ~-д = ф'-Гййу) и сОйи~ ~4 =3 )2. , где 5А С ~ — множество сингулярных элементов в смысле коприсоединенного действия алгебры Ли 1.А Если П > ~И- , то положим Тогда ~ам~ (ЛА+~ Ь) = т, при всех 1,~йд 6.
С, не обращасщихся одновременно в нуль. Поэтому все нетривиальные алгебры Ли из пучка ( 1. ~А+ ~1 изоморФны между собой. Кроме того, +,~~!Л,р,Е~ сс~ф~ ~ $ ) ~ в случае Ф лиЫ(ю-ууй) ~О . Оценка коразмерности множества 5А легко проводится по индукции с использованием общей методики оценки коразмерности множества сингулярных элементов в случае полупрямых сумм /см. нее предложение 3.1.2/. Теперь инволютивность и полнота семейства 0 1 ( Ь А ~~) непосредственно следуют из предложения 2.3.2. Отметим, что в случае И ®44(и-уи ) = О алгебра Ли ~ А является Фробениусовой /см.
~343 , ~37~ /, поэтому бак~ ~д = ~ , кольца инвариантов 1 ( 1.д+~~ ) тривиальны. Случай 4. ~ — нетнонерное конплексное пространстно, л = 1 , коннутатор 1., л д еалаетсн аооеулой 'ол,т Лд = = (А,Х) ~ - (А,'~) М СХ Л ) А, где (, ) — невырожленная кососимметрическая Форма на 1 В этом случае все алгебры Ли 1 А изоморсоны между собой /исключением является абелева алгебра Ли ~ О /. Покажем, что все зти алгебры Ли являются Фробениусовыми, т.е. иы"~-А = О при ет А $0 . Отождествим ~ и 1- с помощью Формы ~, ) — 60— Тогда коприсоединенное действие алгебры Ли ~„ на запишется в виде ( ~ ~ ~ (А,Х>~+ (дд)Х <ХЛ>д Пусть вим в формулу: (Д,~,1+рА) ~ ~- (А,~) (.~~+ рд) ~- (~~+рА,~)А = = 2(А, У) ~ ~~+яА) = О Итак, ~~+у А =о, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
