Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 7
Текст из файла (страница 7)
+ i2k = d + 1,∂pi11 ...p2k ∂ i2kна всей окрестности, в то время как хотя бы одна производная меньшейстепени не является тождественным нулем.Из определения непосредственно вытекает, что пседвомногочлен представляетсобой многочлен от переменных pi , коэффициенты которого гладко зависятот uj . Из такого представления немедленно вытекают следующие свойствастепени псевдомногочленов:1.2a.2b.3.deg f (u1 , ..., uk ) = 0,deg (f + g) = max(deg f, deg g), deg f 6= deg gdeg (f + g) ≤ deg f, deg f = deg gdeg (f g) ≤ deg f + deg g(8)Последнее свойство отличается от аналогичного для обычных степенейровно потому, что произведение двух ненулевых гладких функций с непересекающимися носителями дает ноль.Замечание 3.1 Легко видеть, что обычная степень полинома от переменныхpi и uj не меньше степени этой функции, как псевдомногочлена.
Этосвязано с тем, что при подсчете степени монома учитываются толькостепени pi .Следующая теорема как раз показывает, что псевдомногочлены - этоестественный класс функций для изучения бигамильтоновый цепочекв случае, когда мы имеем дело с парой скобок A и Ac на линейномпространстве.Теорема 3.4 Пусть f — псевдомногочлен степени d и известно, чтосистемаAdf = Ac dgразрешима. В этом случае1) Всякое решение g данной системы является псевдомногочленомстепени не выше d + 2332) Если свободный член g равен нулю в целой окрестности, то такойпсевдомногочлен единственный.3) При l > 0 всякая функция fl , входящая в бигамильтонову цепочку(конечную и бесконечную), является является псевдомногочленом степенине выше 2i.Доказательство. Напомним, что мы полагаем, что в алгебре и коалгебрезафиксированы двойственные базисы, в которых, скобка Ac приведена кканоническому виду.
Определим 2k функции Fi по правилу:Fi = − Adfi+k, при 1 ≤ i ≤ k, Fi = Adfi−k, при k < i ≤ 2k,jгде Adf означает j-ю координату соответствующего вектора. В силу∂gдля любого g — решения системы.канонического вида Ac Fi = ∂piЗададим функцию F (pi , uj ) следующей формулой:Z p2Z p1F1 (t, 0, ..., 0, uj )dt +F2 (p1 , t, 0, ..., 0, uj )dt + ...F (pi , uj ) =00Z p2k(9)+F2k (p1 , ..., p2k−1 , t, uj )dt0∂FilРассмотрим ∂p. Из существования g немедленно вытекает, что ∂F,= ∂F∂pl∂piiпоэтому для j > iZ pjZ pj∂∂Fj (p1 , , ..., pj−1 , t0, uj )dt =Fi (p1 , , ..., pj−1 , t0, uj )dt =∂pi 0∂pj0= Fi (p1 , ..., pj−1 , pj , 0..., uj ) − Fi (p1 , ..., pj−1 , 0, 0, ..., uj ).∂gОтсюда ∂p∂ i F = Fi = ∂p, то есть разность F − g представляет собойiнекоторую функцию от uj .
Так как координаты вектора Adf — псевдомногочлены,и все фигурирующие в формулах интегралы дают квазиполиномы, то g— псевдомногочленом. Теперь заметим, что в Fi могут с постоянными∂fслагаемыми входить выражения вида pi ∂u, которые по свойствам степениj8 представляют собой псевдомногочленом степени d + 1. Интегралы отэтого слагаемого, фигурирующие в формуле (9), дают псевдомногочленстепени d + 2. Таким образом, первый пункт теоремы доказан.Теперь пусть g и g 0 удовлетворят системе Adf = Ac dg.
Тогда Ac d(g −g 0 ) = 0, то есть g − g 0 является функцией только от переменных u1 , ...un .34Учитывая, что ограничение g−g 0 на окрестность равно нулю по предположению,получаем, что g − g 0 = 0 и функции совпадают. Таким образом доказанпункт 2.Третий пункт вытекает из первого с учетом того факта, что степеньфункции от uj как квазиполинома равна нулю. Теорема доказана Замечание 3.2 Если в бесконечной бигамильтоновой цепочке fi — всефункции полиномы, то из формулы (9) в доказательстве теоремы 3.4можно получить оценку на степень fi , как полинома. Действительно,если fi имеет степень d, то каждая компонента вектора Adfi имеет такжестепень d.
Применяя интегральную формулу (9) из доказательства, получаем,что fi+1 имеет степень как минимум i + 1. Разумеется, степень можетоказаться больше, так как полином определяется с точностью до добавленияк нему некоторого многочлена от uj , например f0 в произвольной степени.Отсюда получаем оценку: степень fi как многочлена равна как минимумdeg f0 + i.Легко видеть, что, если в окрестности точки P имеется бигамильтоновацепочка, состоящая из полиномов, то, в силу алгебраичности всех входящихв формулы функций, данная цепочка уже будет бигамильтоновой на всейкоалгебре g ∗ .Обобщенной подалгеброй Мищенко-Фоменко будем называть подалгебру,порожденную всеми полиномами, входящими в полиномиальные бигамильтоновыцепочки на коалгебре Ли g∗ , которые задаются парой скобок A и Ac .Обозначать эту алгебру будем Fc .
Метод получения такой коммутативнойподалгебры будем называть обобщеным методом сдвига аргумента.Замечание 3.3 Для дальнейшей работы нам потребуется следующийфакт - пусть дифференциалы полиномов dI1 , ..., dIn независимы почтивсюду на линейном пространстве над R или C, и в некоторой окрестностификсированной точки дифференциал полинома dF зависим с данными.Тогда, из алгебраичности функций дифференциалы зависимы на всемпространстве. Из этого факта, в свою очередь, следует [11], что полиномыF, I1 , ..., In алгебраически зависимы.Вообще полученная алгебра может быть устроена очень плохо, например,не быть конечно порожденной.
Рассмотрим два примера Fc , которыепоказывают, что термин обощенный метод сдвига аргумента имеет вданном случае смысл.35Случай A3,2 .Классический метод сдвига аргумента. Пусть на коалгебре g ∗вещественной алгебры Ли g определены полиномиальные инвариантыI1 , ..., In , дифференциалы которых в точке общего положения порождаютядро A. Тогда рассмотрим разложениеXIi (x + λa) =λj fij .jОпределим подалгебру Fac в P (g), как подалгебру, порожденную fij . Этифункции образуют бигамильтоновы цепочки Aa dfij−1 = Adfij . Легковидеть, что определение этой подалгебры зависит от фиксированногонабора полиномиальных инвариантов.
При этом, однако, для любогонабора по построению Fac ⊆ Fa .Замечание 3.4 В работе [40] доказывается, что, если для комплекснойалгебры g коразмерность множества сингулярных элементов как минимумтри и в кольце инвариантов можно выбрать набор порождающих I1 , ..., Inтак, что сумма их степеней равна N , то подалгебра Fac максимальна длярегулярного a. В частности, из максимальности получается алгебраическаязамкнутость.Теперь рассмотрим произвольный полином f , входящий в полиномиальнуюбигамильтонову цепочку. По построению, df ∈ R, откуда получаем, что fфункционально зависим с многочленами из Fac всюду на g∗ . По замечанию3.3 данный полином зависим также и алгебраически, поэтому f ∈ Fac .Таким образом, в данном случае Fac = Fa .Локальный метод сдвига аргумента. Напомним, что в случае,когда Ac = Aa для некоторого регулярного a, определен локальныйметод сдвига аргумента, авторство которого принадлежит А.В.Браилову.В окрестности точки a рассмотрим локальные функции Казимира (таккак кораспределение KerA задается рациональными формами, то этиинварианты есть рациональный функции с участием полиномов и логарифмов)линейной скобки, которые обозначим через I1 , ..., In .
По построению ихдифференциалы в целой окрестности порождают ядро A. Тогда рассмотримразложениеXIi (a + λx) =λj fij ,j36и рассмотрим Faloc ⊆ P (g), порожденную функциями fij . Легко видеть,что определение данной подалгебры зависит, вообще говоря, от фиксированногонабора порождающих, а также точки.Замечание 3.5 Функции fij образуют бигамильтоновы цепочки Aa dfij =Adfij−1 . В силу алгебраичности A и Ac получаем, что эти тождествавыполняются на всей коалгебре, а, значит, Faloc ⊆ Fa .Теперь рассмотрим произвольную f ∈ Ga (где Ga — это G1 для A1 =Aa ).
Легко видеть, сто f = F (I1 , ..., In ). Разлагая f (a + λx) получаем,что коэффициенты разложения - суть полиномы от fij . Отсюда это легкополучается для любой бесконечной цепочки, стартующей в f и Faloc = FaТаким образом, новый метод действительно обобщает уже существующие.3.4Обобщенный метод сдвига аргумента и плоскиепучки на коалгебрах ЛиВ случае, когда имеется некоторая математическая структура, естественнымобразом возникает вопрос о приведении ее к некоторой нормальной форме,а также о классификации таких нормальных норм. В самом общем случае,подобная классификация для пучков согласованных пуассоновых структурпроводится при помощи так называемых сетей Веронезе (Veronese webs,[30]), однако вычисление этого инварианта представляется довольно сложнойзадачей, поэтому имеет смысл поиск более простых условий для различногорода частных случаев классификации.Одним из естественных частных случаев является выяснение плоскостипучка.
Пучок скобок называется плоским, если в некоторой локальнойсистеме координат он приводится к постоянному виду. В настоящее времяимеется несколько результатов в данном направлении. Так, для случая,когда регулярная скобка пучка невырождена (в терминах теоремы ЖорданаКронеккер 2.1 это означает отсутствие кронеккеровых блоков) этот вопросбыл решен Туриэлем [32], который показал, что плоскость подобногопучка равносильна постоянству собственных значений некоторого оператора,называемого оператором рекурсии. В случае, когда речь идет о пареA и Ac на линейном пространстве и A задает полупростую алгебру,плоскость соответствующего пучка была показана Захаревичем [31].При этом, однако, неплоских пучков подобного рода до последнеговремени известно не было.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
