Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Оказывается, результаты предыдущего параграфа,37касающиеся псевдомногочленов, позволяют сформулировать достаточнопростое в применении необходимое условие плоскости, а также построитьпример неплоского пучка на пятимерном пространстве.Теорема 3.5 Если кронеккеров пучок пуассоновых структур на линейномвещественном пространстве V , задаваемый парой согласованных скобокПуассона A (линейной) и Ac (постоянной) плоский, то в окрестноститочки общего положения локальные функции Казимира A можно выбратьв виде псевдомногочленов степеней не выше 2i1 , ...2ik , где 2i1 +1, ..., 2ik +1— размеры кронеккеровых блоков.Доказательство.

Если пучок плоский, то комплексификация пары скобокприводится к виду, описанному в теореме 2.1, в целой окрестности. Изкронеккеровости вытекает, что в разложении присутствуют только кронеккеровыблоки. Рассмотрим произвольный блок такого типа размера 2l − 1. В немимеется две группы переменных x1 , ..., xl и y1 , ..., yl−1 (эти координаты,вообще говоря, комплекснозначные), причем коммутационные соотношенияимеют вид:{xi , yj }1 = δij , {xi , yj }2 = δi−1j ,а все остальные компоненты равны нулю. Легко видеть, что переменныеxi образуют бесконечную бигамильтонову цепочку, которая, правда, снекоторого момента зануляется.

При этом вешественная часть x1 лежитв ядре A2 , а вещественная частьxl — в ядре A1 . Взяв A1 = A и A2 =Ac , и, применяя теорему 3.4 для исходной системы координат, получаемтребуемое. Теперь применим данное необходимое условие для доказательстванеплоскости пучка. Рассмотрим пятимерную алгебру A5,36 в обозначениях,принятых в [28]. Коммутационные соотношения в этой алгебре следующие:[e1 , e4 ] = e1 , [e2 , e3 ] = e1 , [e2 , e4 ] = e2 ,[e2 , e5 ] = −e2 , [e3 , e5 ] = e3 ,а остальныеПара скобок0 0A= 0 −x10коммутаторы равны нулю. Рассмотрим a =на коалгебре в этом случае принимает вид00 x1 000 00x1 x2 −x2 0−x1 00 x3  , Ac = Aa =  0 −1 −1 0−x2 000 x2 −x3 000038(1, 0, 0, 0, 0).010001000000000,Легко видеть, что indg = 1 и Ann a = span{e5 }.

В свою очередь минорыM55 = ±x41 , M11 = ±x22 x23 . Из этого вытекает, что codimSing(g∗ ) ≥ 2.Учитывая, что a — регулярный элемент, получаем, что по критериюБолсинова 2.4 в точке общего положения алгебра G полна, а, значит, потеореме Жордана-Кронеккера 2.1 пучок содержит только кронеккеровыблоки.1 x5[28]. ЛегкоИнвариант алгебры можно представить в виде x2 x3x+x1видеть, что он рационален по x1 , поэтому вероятно ожидать, что онне может быть представлен в виде псевдомногочлена, а, следовательно,пучок неплоский.

Докажем это.Пусть верно противное и пучок плоский. Тогда из теоремы 3.5 вытекает,что локальный инвариант P в окрестности точки в фиксированных намикоординатах - это псевдомногочлен степени не выше 4.Рассмотрим AdP = 0. Заметим, что первая компонента этого вектора∂P= 0. Отсюда получаем, чтов локальных координатах имеет вид x1 ∂x4локальный инвариант не зависит от x4 .Теперь рассмотрим четвертую компоненту вектора AdP . Она имеет∂P∂P+ x2 ∂x= 0.

Легко видеть, что слева стоит многочлен каждыйвид x1 ∂x12моном которого имеет вид (p + q)Apqr xp1 xq2 xr3 , причем p + q + r ≤ 4. Изэтого немедленно вытекает, что Apqr = 0, если хотя бы p или q отличенот нуля. Таким образом P — квазимногочлен всего от одной переменной∂P=- x3 . Однако пятая компонента вектора AdP дает нам уравнение x2 ∂x2∂Px3 ∂x3 .

Отсюда получаем, что единственный подходящий P — это константа.А значит предположение неверно и пучок неплоский.Замечание 3.6 Легко видеть, что в данном случае аналогичным образомможно показать, что функция Казимира A не представляется в видеквазиполинома какой-либо степени.44.1Секционные операторыОпределение, теорема существования и явная формуладля секционных операторов. ПримерыПусть g — простая комплексная алгебра Ли. Тогда самосопряженныйотносительно формы Киллинга оператор φ : g → g называется секционным,если для некоторых фиксированных a, b ∈ h и произвольного x выполняется39следующее тождество[φx, a] = [x, b].(10)При этом в классическом определении элемент a предполагается регулярным.Позже, определение было перенесено на неполупростой случай ужебыло проведено в [24], [5] при некоторых дополнительных ограниченияхна параметры a, b.

При этом естественная переформулировка тождества10 связана, разумеется, с присоединенным, а не с коприсоединеннымпредставлением. В самом общем случае, секционный оператор - это билинейнаяформа на коалгебре (то есть оператор из g∗ в g), удовлетворяющая тождеству:ad∗φx a = ad∗β x,x ∈ g∗(11)для некоторых фиксированных β ∈ g, a 6= 0 ∈ g∗ . При этом требуется,чтобы форма была симметричной — именно это условие является обобщениемтребования самосопряженности относительно формы Киллинга в полупростомслучае. При этом пара a, β называется параметрами секционного оператора.В рамках данного раздела, как и в предыдущем случае, полагаем, чтона линейном пространстве задана пара согласованных скобок, одна изкоторых линейна, а другая - постоянна.

При этом всюду далее полагаем,что постоянная скобка задана некоторым элементом коалгебры. Легковидеть, что тождество (11) может быть переписано одним из следующихэквивалентных способов:ha, [φx, ν]i = hx, [β, ν]iдля любых ν ∈ g, x ∈ g∗ ,(12)илиφ (ad∗ν a) = −[β, ν]для любых ν ∈ g.(13)В классическом случае вопрос существования секционного операторане возникает, поскольку вид оператора предъявляется явно. Так какв данном определении никаких априорных ограничений на a и β мыне накладываем, то данный вопрос возникает естественным образом.Определим две подалгебры:1) содержащую аннулятор подалгебру видаba = {ξ ∈ g | had∗ξ a, ηi = 0 для всех η ∈ g0 = [g, g]}.2) gAnn a = {ξ ∈ g | [ξ, Ann a] = 0} — централизатор аннулятора Ann a.Лемма 4.1 ba действительно подалгебра.40Доказательство.

Рассмотрим ξ, ζ ∈ ba , а η ∈ g0 . Из тождества Якобидля коммутатора вытекает следующее равенство:< a, [[ξ, ζ], η] >=< a, [ξ, [ζ, η]] > − < a, [ζ, [ξ, η]] > .Так как g0 является идеалом, то в правой часть оба слагаемых равнынулю. Лемма доказана. Теперь каждому элементу a ∈ g∗ подалгебру ga = ba ∩ gAnn a .Теорема 4.1 Необходимым и достаточным условием существованиясекционного оператора φ с заданными параметрами a ∈ g∗ , β ∈ g,является включение β ∈ ga .Доказательство. Доказательство данного факта для R и C можнополучить непосредственно из леммы 3.1 - принадлежность β алгебреgAnn a является условием касания симплектических слоев скобки Aa длявекторного поля v = Aβ, а β ∈ ba — в точности требование Lv Aa =0.

После этого необходимо заметить, что все функции, участвующие вопределении объектов алгебраические, поэтому полученные тождествавыполняются глобально. Однако в данном случае мы предлагаем алгебраическоедоказательство, которое может быть обобщено на случай алгебры Ли надполем характеристики ноль.Воспользуемся тождеством (13), эквивалентным определению секционногооператора. Этим тождеством оператор φ сразу задается на множествековекторов вида y = ad∗ν a, которое мы будем обозначать через Ta (вслучае, когда мы работаем над полем C или R это пространство совпадаетс касательным пространством орбиты присоединенного действия группы).Для произвольного y ∈ Ta согласно (13) мы просто полагаем φ(y) =−[β, ν], где ν — вектор, удовлетворяющий условию y = ad∗ν a.

Посколькувектор ν определен по модулю Ann a, то корректность такого определенияв точности эквивалентно условию [β, Ann a] = 0, т.е. β ∈ gAnn a .Итак, у нас имеется подпространство Ta ⊂ g∗ , на котором операторуже задан. Вопрос заключается в том, можно ли этот оператор распространитьна все пространство так, чтобы полученный оператор оказался симметричнымотносительно спаривания.Ясно, что это можно сделать тогда и только тогда, когда для любыхдвух векторов y, z ∈ Ta мы имеемhφ(y), zi = hy, φ(z)i.41(14)На языке матриц данная ситуация описывается следующим образом.Нам дана матрица видаA1 ∗,(15)A2 ∗где A1 обозначает диагональный блок, а звездочки — неопределенныекомпоненты. Спрашивается, можно ли вместо звездочек поставить числатак, чтобы матрица стала симметричной? Ответ очевиден: это можносделать тогда и только тогда, когда диагональный блок A1 симметричен,что в точности эквивалентно (14).Полагая y = ad∗η a, z = ad∗ζ a, мы можем переписать (14) в видеhφ(ad∗η a), ad∗ζ ai = had∗η a, φ(ad∗ζ a)iили, снова используя (13),h[η, β], ad∗ζ ai = had∗η a, [ζ, β]iчто эквивалентно соотношению0 = h[η, β], ad∗ζ ai − had∗η a, [ζ, β]i = ha, [[η, β], ζ] − [[ζ, β], η]i == ha, [[ζ, η], β]i = had∗β a, [ζ, η]i,которое в точности означает включение β ∈ ba .Итак, необходимым и достаточным для существования секционногооператора является одновременное выполнение двух условий β ∈ gAnn aи β ∈ ba , что и требовалось доказать.

Следующие несколько примеров помогут прояснить устройство алгебрga и ba .Пример 1. Пусть алгебра Ли g обладает невырожденной инвариантнойбилинейной формой (например, если g полупроста). С помощью даннойформы мы можем отождествить алгебру и коалгебру. Тогда Ann a совпадаетс централизатором элемента a ∈ g ' g∗ . Отсюда сразу следует, чтоgAnn a = z(Ann a), т.е.

центр централизатора. Учитывая, что ba содержитAnn a, получаем, что в данном случае ga = z(Ann a). Пример 2. Пусть алгебра Ли g обладает тем свойством, что ее коммутантсовпадает со всей алгеброй. К таким, например, относятся полупрямыесуммы g = k+ρ V , где ρ : k → gl(V ) — линейное представление полупростойалгебры Ли k (не содержащее тривиальных компонент). Из того, чтокоммутант совпадает со всей алгеброй, сразу вытекает, что ba = Ann a42и, следовательно, ga = z(Ann a), т. е.

Характеристики

Список файлов диссертации