Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Из этого факта и соотношений наp1 , ..., pk и q1 , ..., qk вытекает, что для некоторого l уравнение H2k,∞ vlj =H1k,∞ vl+1j не разрешимо, то есть цепочка векторов vi обрывается.Аналогичным образом теорема доказывается для µ = 0. В дальнейшем, однако, нам придется работать преимущественно свещественными пространствами, поэтому нам потребуется аналог этогоутверждения над R. Пусть VR — вещественное линейное пространство, накотором задана пара билинейных форм, задаваемых действительнымиматрицами A1 и A2 . Обозначим через WR ⊂ VR — линейное пространство,натянутое на ядра регулярных (то есть имеющих минимальный возможныйкоранг) скобок пучка λA1 +µA2 , где λ, µ ∈ R и одновременно не обращаютсяв ноль.Теорема 2.3 Пусть на действительном векторном пространстве VRзадана бесконечная последовательность векторов vi , i ≥ 0 (не обязательноненулевых), для которых выполнена следующая система соотношенийA1 v0 = 0,A2 vi = A1 vi+1 , i ≥ 0,(4)где A1 , A2 — кососимметричные билинейные действительные формы.Тогда все вектора vi лежат в WR .17Доказательство.
Положим V – комплексификация пространства VR . изтеоремы 2.1 вытекает, что коранг регулярной скобки комплексифицированногопучка λA1 + µA2 (то есть, где λ, µ — комплексные) совпадает с корангомрегулярной скобки действительного пучка. Таким образом, без ограниченияобщности можно считать, что A1 и A2 заданы действительными матрицамии регулярны в смысле комплексифицированного пучка.Лемма 2.1 В V выполнено следующее соотношение W ∩ VR = WR .Доказательство. Рассмотрим вместо прежнего пучка A1 + λA2 . Еслиэта скобка регулярна, λ ∈/ R и v ∈ VR — лежит в ядре этой скобки, то vлежит в ядре A2 , которая по предположению регулярна, то есть v ∈ WRЕсли λ ∈ R, то v по построению лежит в WR .
К этому еще необходимодобавить ядро A2 , однако и тут v ∈ WR . Лемма доказана. Теперь рассмотрим V и применим теорему 2.2. Из нее вытекает, чтоvi ∈ W . Отсюда и из доказанной леммы получаем утверждение теоремы.В заключение данного раздела мы докажем еще одно свойство парыбилинейных форм, которое нам потребуется в дальнейшем.Утверждение 2.1 Пусть на комплексном векторном пространстве Vзадана пара билинейных кососимметричных форм A1 , A2 и предположим,что коранг регулярной скобки задаваемого этими формами пучка равенn. Предположим, что в пучке только A2 сингулярна, и ограничениеA1 на ядро этой скобки, которое мы обозначим через K, имеет корангn. Тогда в каноническом виде A1 и A2 в смысле теоремы ЖорданаКронеккера все жордановы имеют тип Hi1,0 .Доказательство.
Из условия вытекает, что A1 — регулярная форма,поэтому ранги A1 и A1 + λA2 равны для всех λ. Из этого немедленновытекает, что в каноническом виде нет блоков Hik,∞ и, что для всехблоков H0k,µ параметр µ = 0.Рассмотрим теперь ядро ограничения A1 на K. Легко видеть, чтоK∩Vi лежит в ядре ограничения (это пересечение одномерно и вектора изразных блоков косоортогональны относительно A1 ). При этом количествожордановых блоков равно корангу регулярной скобки, то есть в данномслучае n.Предположим, что среди H0k,µ есть блок, для которого k > 1. Обозначимпространство, соответствующие данному блоку, через V , а базис в нем,18соответствующий каноническому виду, через p1 , ..., pk , q1 , ..., qk .
Заметим,что пересечение K и V натянуто на pk , q1 .Если k = 1, то < A1 , pk , q1 >6= 0. В противном случае pk и q1 косоортогональныотносительно данной формы, а также косоортогональны всем векторамиз других блоков. В частности, это означает, что они косоортогональнывсем остальным векторам из ядра A2 и, следовательно, лежат в ядреограничения A1 на K. Отсюда получаем, что размерность ядра ограничениякак минимум n+2, что противоречит условию.
Таким образом предложениедоказано. 2.3Полные коммутативные наборы и критерий БолсиноваПусть g — комплексная или вещественная алгебра Ли. Наличие скобкиПуассона на коалгебре g∗ позволяет свести изучение интегрируемых системк изучению алгебр коммутирующих функций на данном пространстве[25]. В качестве объекта изучения можно выбирать самые разные классыфункций - рациональные, аналитические, полиномиальные. В рамкахданной работы нас будут интересовать преимущественно полиномы.В дальнейшем, если не оговорено противное, термин подалгебра вслучае, когда речь идёт о функциях, мы будем употреблять применительнок коммутативной структуре на множестве полиномов.
В свою очередьтермин коммутативная будет означать, что элементы подалгебры коммутируютотносительно скобки A. Коммутативную подалгебру будем называть полнойв регулярной точке x, если размерность пространства дифференциаловвсех функций из этой алгебры в данной точке равна N = 21 (dim g + indg).Напомним, что с парой произвольных согласованных скобок ПуассонаA1 и A2 ассоциирована естественная коммутативная подалгебра [22].Рассмотрим соответствующий пучок скобок. Среди этого множества имеютсярегулярные, то есть те скобки, у которых минимальный возможный корангn.
Оказывается, что функции Казимира различных регулярных скобоккоммутируют между собой [5], [22].Рассмотрим множество локальных инвариантов регулярных скобокпучка в окрестности точки общего положения. Их совместная областьопределения вполне может состоять из одной точки, поэтому из всегомножества выберем конечное число функций, дифференциалы которыхпорождают в каждой точке пространство W (или WR в зависимости отполя). Полученную ими коммутативную подалгебру и будем обозначатьчерез G (зависимость от выбора конечного числа функций, о которых19идет речь, будем опускать).Для подобной подалгебры существует удобный критерий полнотыв конкретной точке, называемый критерием Болсинова (см, [5], [22]).Мы сформулируем этот критерий в нашем частном случае, когда речьидет о паре скобок A и Aa на коалгебре g∗ с дополнительным условиемрегулярности a.Теорема 2.4 Пусть a — регулярный элемент коалгебры g∗ комплексной(вещественной) алгебры Ли g.
Тогда полнота подалгебры G в точкеx равносильна тому, что прямая x + λa для λ ∈ C (λ комплексныйи для вещественных алгебр) не пересекает множество сингудярныхэлементов g∗ (для вещественных алгебр - множество сингулярных элементовкомплексификации g∗ ).2.4Представления минимальной размерности и системыкорней некоторых простых алгебр ЛиОпишем системы корней, а также представления минимальной размерностиалгебр, которые нам потребуются в дальнейшем. Вся информация о нихвзята из [15], [25] и [26]. Напомним, что через Xij мы условились обозначатьэлемент матрицы X, стоящий на пересечении i−й строки и j−го столбца.В свою очередь Eij обозначает матричную единицу, то есть матрицу, укоторой все элементы нули, кроме стоящей на пересечении i−й строки иj−го столбца единицы.Серия An .
Простые корни обозначим через α1 , ..., αn . Остальные положительныекорни в этом случае имеют видaij = αi + ... + αj , где индексы 1 ≤ i < j ≤ n.Данной системе корней соответствует алгебра sl(n + 1), а представлениеминимальной размерности — это в точности матрицы с нулевым следом.Картановская подалгебра h состоит из диагональных матриц.
Простыекорни представляют собой просто разность αi (H) = Hii − Hi+1,i+1 , гдеH ∈ h. Положительные корни, таким образом, имеют вид aij (H) = Hii −Hjj . Корневые вектора представляют собой просто матричные единицыaij = Eij , то есть такие матрицы, что у них на пересечении i−той строкии j−го столбца стоит единица, а все остальные матричные элементыравны нулю.20В качестве порождающих кольцо инвариантов можно взять непостоянныекоэффициенты характеристического многочлена χ(µ) = det (X − µE) впредставлении минимальной размерности.Серия Bn . Простые корни обозначаем через α1 , ..., αn .
Положительныекорни делятся на три группы:aij = αi + ... + αj , где 1 ≤ i < j < n,bij = αi + ...αj−1 + 2αj + ... + 2αb , где 1 ≤ i < j ≤ n,ci = αi + ... + αn , где 1 ≤ i < n.Данной системе корней соответствует алгебра so(2n+1). Ее представлениеминимальной размерности имеет следующий вид:0 v T wT −w AB ,−v C −ATгде v, w — вектор столбцы размерности n, A — произвольная матрицаn × n, a B, C — кососимметрические матрицы, то есть B T = −B иC T = −C. Картановская подалгебра h состоит из диагональных матрицследующего вида0 00 0 D0 ,0 0 −DTгде D является диагональной матрицей n × n, а все остальные элементыматрицы равны нулю.
Простые корни на данной подалгебре имеют следующийвид αi (H) = Hi+1,i+1 − Hi+2,i+2 , где 1 ≤ i < n + 1, и αn (H) = Hn+1,n+1 ,причем H ∈ h. Три группы положительных корней в этом случае представляютсякакaij (H) = Hi+1,i+1 − Hj+1,j+1 ,bij (H) = Hi+1,i+1 + Hj+1,j+1 ,ci (H) = Hi+1,i+1 .Соответствующие корневые вектора имеют следующий видEi+1,j+1 − Ej+n+1,i+n+1 ,Ei+1,j+n+1 − Ej+1,i+n+1 ,Ei+1,1 − E1,i+n+1 .21В качестве порождающих кольцо инвариантов можно взять непостоянныекоэффициенты характеристического многочлена χ(µ) = det (X − µE)(коэффициенты при ничетных степенях µ) в представлении минимальнойразмерности.Серия Cn .
Простые корни как и в предыдущих сериях обозначаемчерез α1 , ..., αn . Положительные корни в этом случае также разбиваютсяна три группы aij , bij и ci , которые задаются следующими формулами:aij = αi + ... + αj , где 1 ≤ i < j < n,bij = αi + ... + αj−1 + 2αj + ... + 2αn−1 + αn , где 1 ≤ i < j < n,bin = αi + ... + αn−1 + αn , где 1 ≤ i < n,ci = 2αi + ... + 2αn−1 + αn , где 1 ≤ i < n.Данной системе корней соответствует алгебра sp(2n). В представленииминимальной размерности, это матрицы 2n × 2n вида:A B,C −ATгде A — произвольная матрица размера n × n, а B, C — симметрические,то есть B T = B и C T = C.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
