Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320)
Текст из файла
Московский государственный университет имени М.В. ЛомоносоваМеханико-математический факультетна правах рукописиУДК 517.938.5+514.762Коняев Андрей ЮрьевичАлгебраические и геометрическиесвойства систем, получаемыхметодом сдвига аргумента01.01.04 — геометрия и топологиядиссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучные руководители:Академик А.Т. Фоменко,профессор А.В. БолсиновМосква — 2010Содержание1 Введение32 Предварительные сведения и обозначения2.1 Принятые обозначения и определения . .
. . . . . . . . . .2.2 Теорема Жордана-Кронеккера и некоторые ее следствия .2.3 Полные коммутативные наборы и критерий Болсинова . . .2.4 Представления минимальной размерности и системы корнейнекоторых простых алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . .13131519203 Бигамильтоновы цепочки и обобщенный метод сдвига аргумента 253.1 Бигамильтоновы векторные поля .
. . . . . . . . . . . . . . 253.2 Бигамильтоновы цепочки. Их свойства и теорема существования 273.3 Обобщенный метод сдвига аргумента. Псевдомногочлены . 323.4 Обобщенный метод сдвига аргумента и плоские пучки накоалгебрах Ли . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 374 Секционные операторы394.1 Определение, теорема существования и явная формула длясекционных операторов. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Алгоритм определения секционности оператора . . . . . . . 464.3 Секционные операторы и метод сдвига аргумента. ТеоремаМещерякова в общем случае . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 484.4 Секционные операторы на коалгебрах фробениусовых алгебрЛи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5 Параметры секционного оператора. Однозначность их восстановленияв простом случае .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 Бифуркационная диаграмма и отображение момента длянекоторых простых комплексных алгебр Ли615.1 Функции, полученные методом сдвига аргумента, как функциина g ⊕ g . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Некоторые свойства сингулярных элементов простых комплексныхалгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Бифуркационная диаграмма и дискриминант спектральнойкривой на простой алгебре g . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7015.45.55.6Метод сдвига аргумента для субрегулярных полупростыхэлементов простой алгебры Ли. Центры централизаторовэлементов такой алгебры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Бифуркационная диаграмма Σ и дискриминант спектральнойкривой D для представления минимальной размерностиалгебр sl(n + 1), so(2n + 1), sp(2n) и g2 . . . . . .
. . . . . . 87Спектральная кривая so(2n) в представлении минимальнойразмерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9321ВведениеПервоначально метод сдвига аргумента (в русскоязычной литературевстречается также термин "метод сдвига инвариантов", а в англоязычнойупотребляется сразу два перевода — argument shift method и argumenttranslation method) возник в работе С.В. Манакова [16] для интегрированияуравнения Эйлера, описывающего многомерный аналог твердого тела наалгебре Ли so(n). Позже в работах А.С. Мищенко и А.Т.Фоменко [18], [19]этот метод был обобщен на случай комплексных редуктивных алгебр Лии их вещественных форм.
В.В.Трофимов и А.Т.Фоменко [23] показали,что этот метод может использоваться для интегрирования геодезическихпотоков определенного класса на симметрических пространствах.Суть классического метода сдвига аргумента состоит в следующем.Рассмотрим простую алгебру Ли g(комплексную или вещественную).Отождествим алгебру с коалгеброй, то есть с пространством линейныхфункционалов на алгебре g∗ , при помощи формы Киллинга, которая вданном случае невырождена. В результате этого на полиномиальныхфункциях из C ∞ (g) можно рассмотреть структуру алгебры Пуассона,задаваемую скобкой {f, g} = −(x, [grad f, grad g]), где круглые скобкиобозначают скалярное умножение в смысле формы Киллинга, а градиентыберутся также в смысле этой формы.
Центром этой алгебры являетсякольцо инвариантов присоединенного представления, которое в случаепростой алгебры представляет собой свободно порожденное кольцо, степеньтрансцендентности которого совпадает с рангом и, следовательно, индексомg.Пусть I1 , ..., In — полиномиальные порождающие этого кольца, степеникоторых равны d1 , ..., dn соответственно.
Рассмотрим следующее разложениеIi (x + λa) =diXfij λj .j=0В работе [18] показано, что fij коммутируют между собой. Рассмотрималгебру, положенную этими полиномами (в данном случае, как и в дальнейшем,термин "алгебра"мы будем применять для коммутативной структуры накольце полиномов от элементов g), которую мы обозначим через Fac . Этаалгебра может рассматриваться как алгебра полиномиальных интеграловнекоторой гамильтоновой относительно фиксированной выше скобки Пуассонасистемы, где в качестве гамильтониана H взята функция из этой алгебры.3В дальнейшем при изучении алгебраических свойств полученных функциймы вообще не будем упоминать интегрируемые системы, а сразу рассматриватькоммутативные алгебры полиномов. Заметим, что определение даннойалгебры канонично, то есть не зависит от выбора порождающих в кольцеинвариантов, а зависит только от элемента a.
В работе [12] этим подалгебрамбыло дано название подалгебры Мищенко-Фоменко.Данные подалгебры представляют значительный интерес как для геометров,так и для алгебраистов. Например, Э.Б.Винбергу удалось показать [12],что для случая регулярного полупростого a ∈ g квадратичные функциииз этой алгебры можно поднять в универсальную обертывающую алгебру.В свою очередь Л.Г.Рыбникову[21] удалось сделать это уже для всейалгебры. Кроме этого Тарасову А.А.
[39] удалось показать, что в случаерегулярных полупростых a получаемая подалгебра является максимальнойпо включению. Позже этот результат был обобщен в работе [40].Помимо изучения полученных наборов велась интенсивная деятельностьпо обобщению метода сдвига аргумента.
Первым это сделал А.В.Браилов,предложивший следующую схему, которую мы в дальнейшем будем называтьлокальным методом сдвига аргумента (существует еще одно обобщение,которое позволяет получать так называемые предельные подалгебры МищенкоФоменко, [37], однако в данной работе оно обсуждаться не будет). Рассмотримa — регулярный элемент коалгебры. В окрестности a определены функцииКазимира, совместные поверхности уровня которых - пересечения симплектическихслоев слоения на g∗ с окрестностью (из линейности тензора Пуассонаполучаем, что слои задаются рациональными формами, а, значит, в вещественномслучае полученные функции всегда можно выбрать в виде суммы рациональнойи логарифма от рациональной).Обозначим эти функции через I1 , ..., In . Если применять к ним обычныйметод сдвига аргумента, то, во-первых, получаются не полиномы, а вовторых, данные функции определены локально.
Оказывается, ситуациюможно исправить, в некотором смысле поменяв a и x местами. Рассмотримследующее разложениеXIi (a + λx) =fij λj .jВ отличие от классического метода сдвига аргумента, данный ряд можетбыть бесконечен. При этом, однако, как и в случае с классическим методом,функции fij коммутируют. Главный недостаток этого метода — существенная4зависимость получаемой подалгебры, которую мы будем обозначать Falocот выбора локальных функций Казимира.Развитие этого направления деятельности привело к возникновениюформального метода сдвига аргумента, предложенного К.М.Зуевым иА.В.Болсиновым [10], в основе которого одно замечательное свойствофункций, полученных методом сдвига аргумента, которое было обнаруженоА.С.Мищенко и А.Т.Фоменко в работе [18].
Речь идет о том факте, чтофункции fij образуют бигамильтоновы цепочки (также встречаются терминыцепочка Ленарда и бигамильтонова иерархия), открытые Магри и Ленардомдля уравнения уравнения Кортвега-де Фриза (подробнее, см., например,[30]). Рассмотрим пару согласованных тензоров Пуассона на коалгебреg∗ - соответствующий линейной скобке линейный тензор A и тензорAa , получаемый из первого замораживанием аргумента. В этом случае,функции, полученные локальным методом сдвига аргумента удовлетворяютследующей системе рекуррентных соотношений:Aa dfi1 = 0,Adfij = Aa dfij+1 , j ≥ 1В рамках формального метода сдвига аргумента для регулярного a предлагаетсядействовать следующим образом.
На первом этапе берутся линейныефункции, то есть элементы fi1 ∈ Ann a. На втором этапе из уравненияAdfi1 = Aa dfi2 находятся fi2 (разрешимость этой системы в замкнутыхформах следует из общей теории). На каждом следующем этапе будутполучаться функции, степень которых на единицу больше степеней функций,полученных на предыдущем этапе. К преимуществам данной схемы относитсятот факт, что для построения коммутативной подалгебры нам не нужнознать локальные инварианты.В рамках данной работы развивается подход, заложенный в [10], иметод сдвига аргумента рассматривается как метод построения бигамильтоновыхцепочек.
То есть, фактически, изучается строение таких цепочек в случае,когда мы имеем дело с простейшим бигамильтоновым многообразием,а именно - у нас имеется действительное линейное пространство, накотором задана пара согласованных скобок, одна из которых линейна, адругая — постоянна (более простым будет только случая пары постоянныхскобок на линейном пространстве, однако не о какой геометрии речь вэтом случае не идет).Данный подход обладает несколькими существенными плюсами. Вопервых, он позволяет сформулировать единообразный подход к разнообразным5результатам, касающимся различных вариантов метода сдвига аргумента.Во-вторых, он позволяет четко определить природу тех или иных свойствполучаемых наборов.
И, в-третьих, он позволяет при необходимости обобщатьте или иные результаты, например, на случай алгебр Ли над полемхарактеристики ноль. Именно развитию данного подхода посвящена перваячасть работы.В первой части работы доказан важный технический результат - теоремасуществования бигамильтоновых цепочек, - причем в самом общем случае:речь идет о произвольном многообразии M и паре согласованных скобокA1 , A2 . Определим кораспределение B как пересечение кораспределений,задаваемых ядрами регулярных скобок пучка λA1 + µA2 и ядра A1 .Теорема 1.1 Пусть P ∈ M — регулярная точка для A1 и в окрестностиэтой точки определены функции Казимира, дифференциалы которыхнезависимы и порождают кораспределение KerA1 .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
