Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Последние по теореме 2.1 лежат вцентре Ann a. Отсюда дифференциал этого слагаемого, примененный кAa Pдает ноль и на тождество типа (12) не влияет. Таким образом, Aa df =A( i µi dgi ), где gi — вторые секционные параметры квадратичных секционныхпорождающих. Теорема доказана. Если f ∈ Fa то в силу коммутативности последней, функции, получаемыеметодом сдвига аргумента являются первыми интегралами соответствующегоуравнения Эйлера (18). В случае, когда секционный оператор не попадаетв Fa или базисное распределение интегрируется не в полиномах, соотношениемежду f и Fa несколько сложнее.

Дело в том, что условие коммутированияFa и f формулируется следующим образом. В точке общего положенияприведем A и Aa к каноническому виду. Тогда df обязана лежать вW . В противном случае некоторые функции из Fa с таким операторомкоммутировать не будут.Таким образом, естественно наложить некоторое дополнительное условиена параметры секционного оператора, чтобы обеспечить коммутативность.Мы потребуем, чтобы ad∗β a = 0.

Это условие позволяет включить f вкороткую бигамильтонову цепочку, состоящую всего из двух функций< β, x > и f .Утверждение 4.3 Пусть для параметров секционного оператора φ выполненосоотношение ad∗β a = 0. Тогда функции из Fa коммутируют с f на своейобласти определения.Доказательство. Доказательство этого факта немедленно вытекает изпредыдущего замечания и второго пункта теоремы 3.2. Замечание 4.3 Условие β ∈ Ann a довольно естественно и заведомовыполняется в следующих случаях:1) g допускает невырожденную инвариантную билинейную форму(см.

пример 1);2) коммутант g0 = [g, g] совпадает со всей алгеброй g (см. пример 2);493) Ann a содержит свой централизатор gAnn a (например, если Ann aявляется максимальной коммутативной подалгеброй).В классическом случае уравнения (18) оказывалось бигамильтоновымотносительно всех скобок пучка, задаваемого A и Aa . В общем случае,однако, это не так.Утверждение 4.4 Пусть для параметров a и β секционного оператораφ выполнено ad∗β a = 0, т.е.

β ∈ Ann (a). Тогда уравнение (18) можетбыть записано в видеd(x + λa) = ad∗φx−λβ (x + λa),dtт.е. является гамильтоновым относительно скобки вида { , }+λ{ , }aс гамильтонианом fλ (x) = 21 hφx, xi − λ β(x), для любого λ ∈ C.Доказательство. Первое утверждение (аналог представления Лакса) сразуследует из определения секционного оператора и предположения β ∈Ann (a). Отметим, что условие ad∗β a = 0 гарантирует гамильтоновость (18)относительно любой линейной комбинации вида { , } + λ{ , }a , однаконичего не говорит относительно гамильтоновости в смысле скобки { , }a .Последнее равносильно тому, что конечную бигамильтонову цепочку сначалом в Ann a длинны 2 можно достроить до цепочке длинны 3. Естественнымспособом гарантировать это является требование того, что f включенав бесконечную бигамильтонову цепочку, то есть < β, x > попадает в Ga .Это заведомо выполнено, например, когда к условию ad∗β a = 0 добавляетсятребование регулярности a 2.1.

Таким образом имеет место теоремаУтверждение 4.5 Пусть a ∈ g∗ — регулярный элемент и β ∈ Ann a.Тогда система (18) гамильтонова относительно { , }a .Пример 7. Отказ от регулярности a приводит к тому, что предложение4.5 становится неверным. Рассмотрим четырехмерную фробениусову алгебруиз примера 3 и элемент a ∈ g∗ , задаваемый в двойственном базисе координатамиa = (0, 0, 1, 0). Тензоры A и Aa имеют вид:0002x10 0 0 0 00−x1−x2 , Aa =  0 0 0 0  ,A= 0 0 0 0 −1 x10−x2 − x3 0 0 1 0−2x1 x2 x2 + x3050Мы показали, что ga = span{e1 , e2 }.Положим β = e1 .

Легко видеть, что0 0 0 0 2 00 0оператор φ, задаваемый матрицей2 00 0 .0 0 0 0является секционным, т. е. Aβ = −2x1 e4 = Aa φx. С другой стороны,ad∗φx x = Aφx = (0, −2x21 , 0, −2x1 x3 + 2x1 x2 ). Так как вторая координатане равна нулю, то поле не касается симплектических слоев Aa , а значитне является гамильтоновым относительно { , }a .В заключение этого раздела обсудим естественное обобщение теоремыМещерякова.Пусть имеется квадратичный гамильтониан g(x) = 12 hψx, xi такой,что соответствующие Эйлера уравненияẋ = ad∗ψx x(19)гамильтоновы не только относительно стандартной скобки Пуассона-Ли{ , }, но и относительно постоянной скобки { , }a . Является ли операторψ секционным?М.В.

Мещеряковым было показано, что в случае полупростой алгебрыЛи ответ положительный. На самом деле его результат переносится наслучай произвольной алгебры Ли, а именно имеет место следующаяТеорема 4.4 Пусть для некоторого самосопряженного оператора ψ уравненияẋ = ad∗ψx x гамильтоновы относительно { , }a , т.е. существует функцияH такая, что ad∗ψx x = ad∗dH a. Тогда отображение ψAa : g → g являетсядифференцированием алгебры Ли g.

В частности, если все дифференцированияалгебры Ли внутренние, то ψ — секционный оператор.Доказательство.Из согласованности Aa и A вытекает, что для g(x) =координатных функций ξ, η ∈ g выполнено тождество1hψx, xi2{g, {ξ, η}}a + {η, {g, ξ}}a + {ξ, {η, g}}a + {g, {ξ, η}a }++ {η, {g, ξ}a } + {ξ, {η, g}a } = 0.51иНам известно, что Adg = Aa dH, т. е. {g, ·} = {H, ·}a . Делая соответствующуюзамену во втором, третьем и четвертом слагаемых, получаем, что ихсумма равна нулю в силу тождества Якоби для H, ξ, η в смысле скобки{ , }a . Заметим теперь, что первое слагаемое можно переписать в видеha, [ψx, [ξ, η]]i = −hψad∗[ξ,η] a, xi = hψAa [ξ, η], xi. Аналогично переписываяпятое и шестое слагаемые и учитывая произвольность x, получаем ψAa [ξ, η] =[ψAa ξ, η] + [ξ, ψAa η].Таким образом, ψAa : g → g является дифференцированием.

Если вседифференцирования — внутренние, то ψAa = −adβ для некоторого β ∈g, что совпадает с определением секционного оператора (13). Теоремадоказана. 4.4Секционные операторы на коалгебрах фробениусовыхалгебр ЛиНапомним, что алгебра Ли g называется фробениусовой (см. [33]), если ееиндекс равен нулю. Эквивалентным образом можно сказать, что аннуляторAnn a регулярного элемента a ∈ g∗ тривиален и соответствующая формаAa невырождена и задает (постоянную) симплектическую структуру наg∗ .Метод сдвига аргумента в этом случае не работает, поскольку алгебрапоскольку базисное распределение тривиально. Однако секционные операторыв данном случае существуют и иногда задают системы (18) с большимколичеством интегралов. Всюду до конца раздела считаем, что a ∈ g∗ регулярный, а алгебра Ли g — фробениусова.Лемма 4.3 При сделанных предположениях подалгебра ga нетривиальна,и ее размерность равна коразмерности коммутанта g0 = [g, g]Доказательство.

Поскольку Ann a = {0}, то gAnn a = g. Поэтому gaсовпадает с подалгеброй ba , которая по определению является “косоортогональнымдополнением” к коммутанту g0 относительно формы Aa . Поскольку этаформа невырождена, то dim ga = codim g0 .Известно, что в случае g = [g, g] алгебра унимодальна (то есть tr adξ =0 для любого ξ), поэтому степень трансцендентности кольца инвариантовее коприсоединенного представления как минимум единица ([35]). Изэтого немедленно вытекает, что для фробениусовых алгебр Ли codim g0 ≥1. 52Таким образом, мы можем построить нетривиальные секционные операторы∗φ определенные явной формулой: φx = A−1a adβ x или, что то же самое,φx = −adβ A−1a (x).Напомним хорошо известную общую бигамильтонову конструкцию,взяв в качестве примера двойственное пространство фробениусовой алгебрыЛи.

Рассмотрим на g∗ согласованные скобки Пуассона { , } и { , }a ,отвечающие пуассоновым тензорам A и Aa . В силу невырожденностиAa мы можем корректно определить оператор рекурсии R = AA−1:a∗∗g → g . Отметим, что в рассматриваемом случае R зависит линейно отx ∈ g∗ и является невырожденным почти всюду.Пусть имеется векторное поле v0 , являющееся гамильтоновым относительнообеих скобок Пуассона, т.е.v0 = Adf0 = Aa df1Тогда все векторные поля вида vk = Rk v0 тоже бигамильтоновы, т. е.vk = Adfk = Aa dfk−1причем все функции fk коммутируют между собой в смысле обеих пуассоновыхструктур. Отметим, что dfk = (R∗ )k df0 , где R∗ = A−1a A : g → g —оператор, сопряженный к R. Более того, все эти функции fi коммутируютс функциями вида gm (x) = tr Rm (x) (которые в свою очередь тоже попарнокоммутируют относительно обеих скобок).Заметим теперь, что соотношение (11), определяющее секционныйоператор φ можно записать в видеAβ = Aa φx,или Adf0 = Aa df1 ,где f0 (x) = hβ, xi — линейная функция, задаваемая элементом β ∈ ga ,а f1 (x) = 12 hφx, xi — квадратичная функция, задаваемая секционнымоператором.

Таким образом, мы находимся в точности в ситуации, описаннойвыше и тем самым получаем следующий результат.Теорема 4.5 Пусть g — фробениусова алгебра Ли, и φ — секционныйоператор с параметрами a и β ∈ ga , причем a ∈ g∗ — элемент общегоположения. Тогда система уравнений Эйлераẋ = ad∗φx x53является гамильтоновой относительно двух скобок { , } и { , }a иимеет коммутирующие интегралы вида gk (x) = tr Rm (x) и fk (x), гдеfk (x) — однородный полином степени k+1, который однозначно определяетсяравенством dfk (x) = R∗ k β.

Сам оператор φ определяется равенствомφx = R∗ β.Пример 8. Рассмотрим алгебру Ли g из примера 4. Пара пуассоновыхструктур на g∗ имеет вид000 x100 0 1 0 00 x1 x2 0 1 0 A= 0 −x1 0 0  , Aa =  0 −1 0 0  ,−x1 −x2 0 0−1 0 0 0Оператор рекурсии R∗ = A−1a A задается матрицейx1 x2 0 0 0 x1 0 0 R∗ =  0 0 x1 x2  ,0 0 0 x1Возьмем теперь в качестве β элемент e1 + e2 . Вычисляя df1 (x) = φx =R∗ β, получаем f1 = 12 hφx, xi = 12 x21 +x1 x2 . Соответствующая гамильтоновасистема имеем имеет два независимых коммутирующих интеграла.Отметим, что оператор рекурсии имеет лишь одно нетривиальноесобственное значение, поэтому функции вида gm (x) = tr Rm (x) полногонабора коммутирующих функций не дают, их приходится дополнятьфункциями вида fk .4.5Параметры секционного оператора. Однозначностьих восстановления в простом случаеАлгоритм из раздела 4.2 позволяет для каждого конкретного оператораφ описывать все возможные секционные представления.

Рассмотрим в g∗подможество Vφ , состоящее из всех таких a, для которых найдется β ∈ gтакое, что φ является секционным оператором с параметрами a, β. Излинейности тождества (11) получаем, что Vφ — линейное пространство.Оказывается, в некоторых случаях это пространство несет дополнительнуюалгебраическую структуру.54Утверждение 4.6 Пусть на алгебре Ли g имеется невырожденное инвариантноескалярное произведение, позволяющее отождествить алгебру и коалгебру.Тогда Vφ обладает следующими свойствами:1) Vφ - подалгебра2) Для любых a1 , a2 ∈ Vφ , входящих в пары параметров a1 , b1 и a2 , b2соответственно, [a1 , b2 ] − [b1 , a2 ] лежит в центре g.

Характеристики

Список файлов диссертации