Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

В частности, еслицентр алгебры тривиален, то [a1 , b2 ] = [b1 , a2 ].Доказательство. После отождествления алгебры и коалгебры тождестводля секционного оператора φ принимает вид, аналогичный классическомуопределению:[φx, a] = [x, b].Из эквивалентности тождеств (11) и (13) немедленно получаем, что φкоммутирует с ada . Пусть теперь a1 , a2 ∈ Vφ . Из тождества Якоби получаемследующую систему равенств:[φx, [a1 , a2 ]] = φ[x, [a1 , a2 ]] = φ[[x, a1 ], a2 ] − φ[[x, a2 ], a1 ].Из того, что a1 , b1 — параметры секционного оператора φ получаем:φ[[x, a1 ], a2 ] − φ[[x, a2 ], a1 ] = [[x, b1 ], a2 ] − [[x, a2 ], b1 ] = [x, [b1 , a2 ]].Таким образом оператор φ является секционным с параметрами [a1 , a2 ], [b1 , a2 ].Таким образом, первая часть предложения доказана.Выполним в последней цепочке равенств преобразования для парыa2 , b2 . Получаем, что φ - секционный с параметрами [a1 , a2 ], [a1 , b2 ].

Рассмотревразность двух представлений, получаем, что[x, [a1 , b2 ] − [b1 , a2 ]] = 0,для любого x. Таким образом, вторая часть утверждения доказана. Из тождества (11) видно, что параметры секционного оператора определены,вообще говоря неоднозначно - они допускают одновременное умножениена некоторый скаляр λ. Оказывается, вопрос о количестве секционныхпредставлений у оператора является достаточно важным: так в работе[9] из того факта, что для некоторого класса секционных операторовпараметры восстанавливаются с точностью до одновременного умноженияна скаляр, получаются нетривиальный свойства многообразий, допускающих55проективно эквивалентные метрики (на практике вопрос об однозначностиопределения параметров того или иного оператора определяется припомощи алгоритма в разделе 4.2). Оставшаяся часть раздела будет посвященадоказательству однозначности восстановления параметров секционногооператора в случае простой алгебры g и полупростого регулярного a.Часть рассуждений в дальнейшем будет проводиться на языке корней.Все необходимые обозначения приведены в разделе 2.1.

Для начала нампотребуется следующее утверждение из книги Дж. Хамфриса [26].Лемма 4.4 Пусть α, β — два непропорциональных корня. Если (α, β) <0, то есть угол между корнями тупой, то α+β является корнем. Если(α, β) > 0, то α − β является корнем.Через Pγ будем обозначать плоскость в евклидовом пространстве E n(напомним, что n = rk g = indg) множество корней, ортогональныхвектору γ. В свою очередь через ∆ \ Πγ обозначим подмножество корней,оставшееся после выбрасывания из системы ∆ всех векторов, попавшихв Πγ .Лемма 4.5 Для любого ненулевого вектора γ ∈ E n система L(∆ \ Πγ )совпадает с ∆.Доказательство.

Разумеется, если в плоскость Πγ не попал ни одинкорень из ∆, то ∆ \ Πγ = ∆ и утверждение леммы очевидно, поэтомусчитаем, что Πγ ∩ ∆ — непусто.Определим подмножество Q в Πγ как множество корней ξ ∈ Πγ ,ортогональных всем векторам из ∆ \ Πγ .Так как система ∆ неприводима, то в плоскости Πγ найдется кореньβ∈/ Q. Другими словами, для него можно найти α ∈ ∆ \ Πα , такой что(α, β) 6= 0. Без ограничения общности считаем, что (α, β) < 0, откудапо 4.4 вытекает, что α + β — корень, причем лежащий в ∆ \ Πα таккак(α+β, γ) = (α, γ) 6= 0. Так как −α ∈ ∆\Πα , то корень (α+β)+(−α) =β лежит в L(∆ \ Πα ).Из этого, в частности, следует, что β ортогонален Q. Легко видеть,что, если множество корней M ортогонально некоторому вектору, то емуортогональна и линейная система L(M ).

Таким образом, мы разбилинашу систему корней на два ортогональных друг другу множества L(∆ \ Πα ) и Q. Нам известно, что система корней неприводима, и ∆ \Πα непусто, так как, по определению, система корней порождает все56евклидово пространство E n .

Таким образом, Q обязано быть пустым иL(∆ \ Πα ) = ∆. Доказательство главной теоремы раздела мы разобьем на два утверждения.Первое из них - интересное геометрическое свойство неприводимой системыкорней. Рассмотрим набор чисел Λ = {λα }α∈∆ , в котором элементы занумерованыкорнями из ∆. Для этого набора на картановской подалгебре h можнозаписать систему линейных уравнений:α(b) − λα α(a) = 0(20)решением которой будет пара элементов a, b ∈ h. Легко видеть, чтосистема избыточна - количество уравнений превосходит количество неизвестных(которых, в данном случае, 2n штук).Теорема 4.6 Пусть не все числа из набора Λ равны между собой исистема 20 совместна, причем в решении {a, b} элемент a — регулярен.Тогда всякое другое решение p, q данной системы получается из a, bумножением на скаляр, то есть p = µa, q = µb, где µ ∈ C.Доказательство.

Для доказательства нам потребуются следующие леммыЛемма 4.6 Пусть (α, β) 6= 0 и λα 6= λβ , тогда β(a) однозначно определяетсяиз системы 20 по α(a) и числам из набора Λ.Доказательство леммы. Без ограничения общности считаем, что (α, β) <0, поэтому по утверждению 4.4 α + β — корень. Из системы 20 получаемследующие уравнения:α(b) − λα α(a) = 0,β(b) − λβ β(a) = 0,(α + β)(b) − λα+β (α + β)(a) = 0,Вычитаем из третьего уравнения первые два и получаем:(λα+β − λα )α(a) + (λα+β − λβ )β(a) = 0(21)Так как α(a) 6= 0, то (λα+β − λβ ) 6= 0 (в противном случае получаетсяравенство чисел λα , λβ и λα+β , что противоречит условию леммы).

Такимобразом, β(a) однозначно определяется из полученного уравнения. Леммадоказана. .57Заметим, что корень β из данной леммы всегда существует. Действительно,предположим противное. Тогда для любого корня β ∈ ∆ \ Πα верно, чтоλα = λβ . Из регулярности a вытекает, что коэффициенты в уравнении 21могут обращаться в ноль только одновременно. Кроме этого из системы20 получаем, что λα = λ−α , поэтому множество корней β, для которыхλα = λβ линейно. Таким образом, из леммы 4.5 получаем, что все числаиз Λ равны между собой, что противоречит условию теоремы.Лемма 4.7 Пусть (α, γ) 6= 0 и λα = λγ , тогда γ(a) однозначно определяетсяпо α(a) и числам из набора Λ.Доказательство. Воспользуемся тем, что корень β, удовлетворяющийусловию леммы 4.6 существует.

Если (β, γ) 6= 0, то доказываемое утверждениеполучается, если лемму 4.6 применить сначала к α, β, а потом к β, γ.Если (γ, β) = 0, то вместо корня γ необходимо рассмотреть γ ± α иприменить предыдущие рассуждения. Теперь перейдем непосредственно к доказательству теоремы. Рассмотримпроизвольное решение p, q системы 20. Возьмем вместо пары p, q паруp0 , q 0 , где p0 = a + p, q 0 = b + q. Легко видеть что в силу линейности ооднородности системы она также будет решением, причем для достаточномалого p0 будет регулярным.

Выберем некоторый корень α0 , для которогоα0 (p) 6= 0. Домножим p0 , q 0 на скаляр µ так, чтобы α0 (a) = α0 (µp0 ).Применяя доказанные выше леммы, получаем, что значения всех корнейна µp0 и a определяются однозначно по набору Λ и значению α0 . Такимобразом, значения корней на µp0 и a совпадают, то есть совпадают самиэлементы. В свою очередь α(µq 0 ) = λα α(µp0 ) = λα α(a) = λ(b).

Отсюдаp = (µ − )a, q = (µ − )b. Теорема доказана. .Второе утверждение связано непосредственно с секционными операторами.Теорема 4.7 Пусть задан секционный оператор φ с параметрами a, b,где a — регулярный элемент из картановской подалгебры h, и b 6= λa.Тогда множество таких r ∈ g, что оператор adr коммутирует с φ,совпадает с h.Доказательство.

Заметим сразу, что по теореме 4.1 элемент b лежитв картановской подалгебре. Кроме этого из общего вида оператора φ,описанного в той же теореме, получаем, что adr коммутирует с φ длялюбого r ∈ h.58Докажем теперь утверждение в обратную сторону. Напомним, чтоV в случае регулярного a обозначает линейное подпространство в g,натянутое на все корневые вектора. Из теоремы 4.2 нам известно, чтоV и h — инвариантные пространства для φ.

Кроме того нам известно,что V распадается в прямую сумму собственных пространств, причемтак как a 6= λb, то не все собственные значения φ на V одинаковы. Будемобозначать через Vi подпространство соответствующее собственному значениюλi , а через ∆i обозначим множество корней, корневые вектора которыхпопали в Vi . Из регулярности a и примера 5 немедленно вытекает, что∆i — линейные подмножества системы корней.Vi — собственные пространства оператора φ на V , однако, из-за наличияв определении оператора свободного параметра D, собственное пространство,соответствующее собственному значению λi , может оказаться строго большеVi .

При этом, однако, очевидно, что данное пространство целиком лежитв Vi ⊕ h, совпадающим с централизатором b − λi a. Рассмотрим x ∈ Vi .Если пара операторов коммутирует (в данном случае это φ и adr ), тособственные подпространства одного инвариантны относительно другого,то есть adr x заведомо лежит в Vi ⊕h, то есть [b−λi a, adr x] = 0. Благодаряэтому равенству из тождества Якоби получаем0 = adr [b − λi a, x] = [adr (b − λi a), x].PТеперь запишем r в базисе Вейля: r = hr +rα eα , hr ∈ h. Предыдущееα∈∆равенство перепишется тогда в виде:X[adr (b − λi a), x] =rα (α(b) − λi α(a))[eα , x] = 0.α∈∆\∆iПусть без ограничения общности rα отличен от нуля для некоторого α ∈∆1 .

Учитывая, что α(b) − λi α(a) 6= 0 при i > 1 получаем, что для всехβ ∈ ∆i , при i > 1 выполнено [eβ , eα ] = 0. Из этого вытекает, что α +β не является корнем, то есть по утверждению 4.4 (α, β) = 0. Отсюданемедленно получаем, что ∆1 содержит S \ Πα , а по лемме 4.5 в силулинейности и всю S. Oператор φ на V в этом случае есть умножение наскаляр, то есть b = λa, что противоречит условию теоремы.

Теперь все готово, чтобы доказать главную теорему данного раздела.Теорема 4.8 Пусть φ — секционный оператор с параметрами a, b, причемa — регулярный полупростой элемент h и b 6= λa. Тогда всякая другая59пара параметров p, q для оператора φ получается из данной одновременнымумножением элементов a, b на некоторый ненулевой скаляр, то естьp = µa, q = µb для некоторого µ 6= 0.Доказательство. Обратимся к системе 20. Из теоремы 4.1 следует, чтоb ∈ h и в качестве набора Λ, фигурирующего в определении даннойсистемы, можно взять собственные значения оператора φ, так как соответствующеекорневому вектору eα значение имеет вид:λα =α(b),α(a)что можно переписать в виде α(b) − λα α(a) — в точности система 20.Таким образом пара a, b — решение системы, причем так как b 6= λa, тоне все числа набора Λ равны между собой.Из эквивалентности тождеств (11) и (13) вытекает, что adp коммутируетс φ, откуда по теореме 4.7 немедленно получаем, что p ∈ h.

Характеристики

Список файлов диссертации