Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В своюочередь из теоремы 4.1 вытекает, что q также лежит в h. При этомалгебра распадается в прямую сумму gp и V = gp⊥ . Из теоремы 4.2−1получаем, что на пространстве V выполнено равенство ad−1a adb = adp adq .Отсюда получаем, что для корней α, для которых α(p) 6= 0 верноλα =α(b)α(q)=,α(a)α(p)то есть α(q) − λα α(p) = 0. С другой стороны, если α(p) = 0, то изтеоремы 4.1 следует, что α(p) = α(q) = 0 и α(q) − λα α(p) = 0 заведомовыполняется.Отсюда получается, что p, q является решением той же системы 20,что и a, b, и из теоремы 4.6 немедленно вытекает доказываемое утверждение.Замечание 4.4 Отметим, что для полупростых алгебр данная теоремауже не является верной.
Действительно, рассмотрим прямую сумму простыхалгебр g = g1 ⊕ g2 и пару a = a1 + a2 , b = b1 + b2 из картановскойподалгебры h, где ai , bi лежат в картановских подалгебрах соответствующихслагаемых прямого разложения. Считаем теперь, что a1 , a2 — регулярные(откуда немедленно вытекает, что a также регулярен), b2 6= 0, а b1 = 0.Из теоремы 4.1 вытекает, что на g определен секционный оператор φ с60данными параметрами a, b. При этом легко видеть, что добавление к aэлемента картановской подалгебры c = c1 + c2 , для которого c2 = 0, неменяет тождество 11 для секционного оператора и a+c непропорционаленa.В заключение получим из данной теоремы одно интересное следствие,касающиеся подалгебр Fac .Теорема 4.9 Пусть Fac = Fpc для некоторого регулярного полупростогоa.
Тогда p = µa для некоторой константы µ.Доказательство. По теореме 4.3 всякая однородная функция f из Fac =Fa представляется из-за наличия невырожденного скалярного умноженияв виде (x, φx), где φ — секционный оператор.Среди квадратичных функций в Fac для регулярного есть как минимумn функционально независимых, а значит среди них есть задаваемыесекционным оператором с непропорциональными параметрами. С другойстороны, по той же теореме 4.3 у данного оператора есть представлениевторое представление с парой параметров p, q. Применяя предыдущуютеорему 4.8, получаем требуемое утверждение.
55.1Бифуркационная диаграмма и отображениемомента для некоторых простых комплексныхалгебр ЛиФункции, полученные методом сдвига аргумента,как функции на g ⊕ gПусть g — комплексная простая алгебра Ли. Рассмотрим алгебру g ⊕ g идля порождающих кольца инвариантов I1 , ..., In алгебры Ли g следующееразложение:diXIi (x + λy) =λj fij (x, y),j=0где (x, y) ∈ g ⊕ g и di = deg Ii . Всего мы получили таким образом N + nфункций. Легко видеть, что при подстановке, скажем y = a получаем61классический метод сдвига аргумента, а при x = a — локальный методсдвига аргумента.Отождествив алгебру Ли g⊕g с коалгеброй, получим, что на пространствефункций из P (g⊕g) возникает естественная структура скобки Пуассона.Легко проверяется, что полученные функции fij (x, y) коммутируют относительнонее.В дальнейшем, когда речь будет идти про обычный метод сдвигааргумента, нам потребуется в некотором смысле менять местами x и a— вектор, на который производится сдвиг.
Для этого нам потребуютсяследующее две леммы.Лемма 5.1 Пусть g — элемент группы G, соответствующей алгебреg. Тогда для построенных функций fij выполняется следующее свойствоfij (x, y) = fij (Adg x, Adg y).Доказательство.Для доказательства леммы достаточно заметить, чтоIi Adg (x + λy) = Ii (x + λy) для всех λ. Лемма 5.2 Для произвольной пары (x, y) ∈ g ⊕ g выполнено равенствоfij (x, y) = fidi −j (y, x)Доказательство. В силу однородности порождающих Ii получаем следующуюцепочку равенств:ddiiXX11f(x,y)=λdi −j fij (x, y).Ii (y + λx) = λdi Ii ( y + x) = λdij ijλλj=0j=0Учитывая, чтоIi (y + λx) =diXλj fij (y, x),j=0и равенства выполняются для всех ненулевых λ, получаем равенствокоэффициентов в разложении при одинаковых степенях λ, то есть fij (x, y) =fidi −j (y, x). Лемма доказана.
.Следующая лемма характеризует своего рода двойной сдвигЛемма 5.3 Для любого j ≥ di функция fij (x + λ0 a, a) представляетсякак линейная комбинация с постоянными коэффициентами (зависящимитолько от λ0 ) fil (x, a), где l ≥ j.62Доказательство. Легко видеть, что для любого λ выполняется следующеетождество:XX(λ + λ0 )j fij (x, a) = Ii (x + (λ + λ0 )a) =λj fij (x + λ0 a, a).jjПри l < j выражение (λ + λ0 )l не содержит степеней λj . Отсюда в правойчасти тройного равенства коэффициент при λj представляет собой линейнуюкомбинацию fil (x, a) для l ≥ j, взятых с постоянными коэффициентами,зависящими от λ0 . Лемма доказана.
5.2Некоторые свойства сингулярных элементов простыхкомплексных алгебр ЛиДля дальнейшей работы нам потребуются результаты, касающиеся сингулярныхэлементов простых алгебр Ли. Будем называть собственное значение λоператора X критическим, если codim (X −λE) ≥ 2, то есть у оператораесть как минимум две жордановы клетки с собственным значением λ.Лемма 5.4 Пусть g — произвольная комплексная простая алгебра Лии пусть ρ : g → gl(V ) — произвольное представление этой алгебры.Если x — сингулярный элемент, то у оператора X = ρ(x) есть критическоесобственное значение.Доказательство.
Предположим, что это не так и у оператора X неткритических собственных значений, то есть всякому собственному значениюсоответствует ровно одна жорданова клетка. Тогда легко проверяется,что glX (централизатор элемента в смысле алгебры gl(V )) — коммутативен.Отсюда вытекает, что ρ(gx ) = ρ(g)∩glX также коммутативен, а, следовательно,коммутативен и gx в силу точности представления.
Осталось воспользоватьсятем фактом, что централизатор элемента простой комплексной алгебрыЛи коммутативен тогда и только тогда, когда элемент регулярный [27].Полученное противоречие завершает доказательство. Пусть теперь x — элемент произвольной простой комплексной алгебрыЛи, а x = xsem + xnil - его абстрактное разложение Жордана [26], гдеxsem — полупростой элемент, xnil — нильпотентный и [xsem , xnil ] = 0.Кроме того, если фиксировано представление простой алгебры Ли, тоабстрактное разложение Жордана совпадает с обычным и Xsem = p(X), Xnil =q(X), где p, q — некоторые многочлены без свободного члена [26].63Лемма 5.5 Для произвольного элемента x простой алгебры Ли g егоцентрализатор совпадает с пересечением централизаторов нильпотентнойи полупростой частей элемента, то есть gx = gxsem ∩ gxnil .Доказательство.
Зафиксируем представление простой алгебры. Таккак Xsem = p(X), Xnil = q(X), то любой элемент Y , коммутирующийс X, коммутирует с Xsem и Xnil . С другой стороны, всякий элемент,коммутирующий одновременно с Xsem и Xnil , коммутирует с их суммой,то есть с X. Лемма доказана. Известно, что gxsem — редуктивная подалгебра g.
Рассмотрим разложениеgxsem = l1 ⊕ ... ⊕ lk ⊕ Cr , где li — простые алгебры, а Cr — r-мерныйцентр, состоящий исключительно из полупростых элементов. Так какнильпотентный элемент xnil лежит в gx , то для него можно записатьразложение xnil = x1nil + ... + xknil , где xinil ∈ li .Лемма 5.6 Элемент x - регулярный элемент простой комплексной алгебрыg тогда и только тогда, когда xinil — главный нильпотентный элементв соответствующей простой алгебре li .x1xkДоказательство Из леммы 5.5 получаем, что gx = l1 nil ⊕ ... ⊕ lk nil ⊕ Cr .Так как сумма рангов li в точности равна n − r, элемент x регулярентогда и только тогда, когда xinil — регулярен в соответствующей простойалгебре, то есть является главным нильпотентным элементом.
Применим полученные результаты для описания сингулярных элементовалгебр sl(n + 1), so(2n + 1), sp(2n) и g2 (системы корней соответствующихалгебр и их представления минимальной размерности были описаны вразделе 2.4).Теорема 5.1 В представлении минимальной размерности алгебр Лиsl(n + 1), so(2n + 1), sp(2n) и g2 сингулярные элементы в точностизадаются матрицами у которых есть критические собственные значения.Доказательство. Из леммы 5.4 вытекает, что для доказательства утверждениятеоремы достаточно показать, что матрицы, соответствующие регулярнымэлементам алгебр Ли sl(n + 1), so(2n + 1), sp(2n) и g2 в представленииминимальной размерности, не имеют критических собственных значений.Считаем, что во всех матрицах, которые встречаются ниже, на неотмеченныхместах стоят нули.64Пусть x — регулярный элемент одной из перечисленных в условииалгебр Ли.
Без ограничения общности считаем, что xsem ∈ h и системыкорней gxsem и g согласованы (то есть базис системы корней gxsem являетсяподмножеством базиса системы g). Действуя элементами из подгруппыExp(gx ), приведем элементы xinil к стандартному виду, то есть к суммекорневых векторов соответствующей алгебры li . Такой вид элемента xбудем называть приведенным.Случай sl(n + 1).
Из описания корней в разделе 2.4 немедленновытекает, что в приведенном видеD1D2D3Xsem = ,...Dkгде Di — диагональные блоки с λi на диагонали, причем λi 6= λj .Из того же описания получаем, что li — это алгебры sl(ni +1), причемρ(li ) имеет вид:......sl(ni + 1),......где ni + 1 — размерность блока Di . Таким образом xinil в приведенномвиде представляют собой жорданову клетку размерности ni + 1 (то естьдля sl(n + 1) приведенный вид x совпадает с нормальной жордановойформой). Теорема для sl(n + 1) доказана.65Случай sp(2n).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
