Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Из этого вытекает, что sgrad fijпорождают пространство размерности 12 dim Oa , где Oa — орбита, проходящейчерез точку a.Из леммы 5.10 получаем, чтов g1 ∩ Im ad+a . Из леммыLsgrad fi1 лежат15.12 получаем, что sgrad fij ∈gl . Так как 2 dim Oa = dim ∈ ad+a , тоl≥2косые градиенты fij порождают все это пространство. Отсюда следует,что sgrad fi1 = [dIi (a), e] порождают пространство g1 ∩Im ad+a , размерностьaкоторого в точности равна dim z(g ).
Получаем, что размерность пространства,порожденного косыми градиентами линейных функций не меньше размерностицентра централизатора. Таким образом, теорема доказана .Замечание 5.5 Для неполупростого элемента утверждение теоремы 5.3вообще говоря уже не является верным. Рассмотрим алгебру g2 и определимследующий элемент e0 = eα2 + e3α1 +α2 . В представлении минимальнойразмерности он имеет вид:0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0.00(29) 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0 −1 0Централизатор в g2 этого элемента будет имеет√√2−w2000−v√ w 2 0 βγ0 00 0β−v 00 000 00000 0w−β√ 0 0−v 2 0 −w0−γследующий вид:0 0v 0 0 0 0 0 ,0 0 0 0 −β 0Отсюда порождающие централизатора e0 можно указать явно:e0 , e3α1 +2α2 , eα1 +α2 , e2α1 +α2 .83(30)Из правил коммутирования видно, что центр централизатора двумерени порождается элементами e0 и e3α1 +2α2 . При этом нам известно, чтодифференциалы инвариантов зависимы в x тогда и только тогда, когдаон сингулярен [38].
Таким образом, они порождают пространство размерностине выше единицы, а значит центр централизатора строго больше пространства,порожденного дифференциалами.В работе А.А. Тарасова [39] доказывается интересный факт - дляполупростого регулярного a найдется аффинное пространство размерностиN , ограничения на которое функций из набора Fa задают на нем глобальныекоординаты. В частности, дифференциалы этих функций всюду независимына данном аффинном пространстве.Замечание 5.6 Из этого вытекает, в частности, что образ отображениямомента для Fa совпадает с CN .Оказывается аналогичный результат верен и для субрегулярного полупростогоэлемента. Пусть a — такой элемент и всюду далее считаем, что в кольцеинвариантов у нас фиксирован некоторый произвольный набор порождающихIi .
Рассмотрим разложениеXIi (a + λx) =λj fij .jИз равенства indga = indg и предложения 2.1 вытекает, что в точкеобщего положения канонический вид A и Aa в смысле теоремы ЖорданаКронеккера 2.1 содержит только кронеккеровы блоки и жордановы блокис нулевым собственным значением размера 2×2. Таким образом, дифференциалыфункций fij в точке общего положения порождают пространство размерностиN − 1.Так как всего функций N , то из этого следует, что некоторые функциииз нашего набора зависимы между собой, причем какие именно - выяснитьдостаточно легко.
Из теоремы 5.3 следует, что линейные функции fi1порождают центр ga , который в нашем случае имеет размерность n − 1.Отсюда получаем, что среди линейных функций можно выбрать n − 1независимых между собой, причем оставшаяся выражается через нихс постоянными коэффициентами. Пусть без ограничения общности этофункция f11 . Для оставшихся функций выполнена следующая теорема.84Теорема 5.4 Для (i, j) 6= (1, 1) любого заданного наперед набора чиселcij системаfij = z( ij)разрешима.Доказательство. Функции из fij , как уже говорилось выше, имеютвысоту ноль. Определим аффинное пространство T = e+z(ga )+g− . Легковидеть, что пространство регулярных функций на этом пространствеблагодаря форме Киллинга естественным образом отождествляется сz(ga )+g+ .
Напомним также, что на g фиксирована градуировка, индуцируемаявысотой корней.Лемма 5.13 Пусть f — однородный многочлен степени d ≥ 2 высотыноль. Тогда ограничение f˜ полинома f на T имеет вид L(g−d+1 )+F (g−d+2 , ..., g0 ),где L−d+1 — линейная функция на векторном пространстве g−d+1 , тоесть линейныйL полином от элементов gd−1 , а F — некоторая полиномиальнаяфункция на −d+2≤l≤0 gl .Доказательство. Известно, что f — однородный полином степени d. Дляудобства считаем, что в него входят все возможные мономы степениd высоты ноль (то есть коммутирующие с h), некоторые, быть может,просто с нулевыми коэффициентами.Теперь рассмотрим произвольный моном степени d нулевой высоты:n1eβ1 ...enβkk mh , гдеkXdeg mh +nj = d.j=1Равенство нулю высоты дает уравнениеkXnj ht(βj ) = 0j=1Заметим, что, если ограничение этого монома на T не равно нулю,то ht(βj ) ≥ −1.
Считаем, что без ограничения общности, максимальнуюkPвысоту имеет β1 . Из первого равенства получаемnj ≤ d. Добавим кi=1неравенству второе равенство и получаем следующую цепочку:d≥kXnj (htβj + 1) ≥ n1 (β1 + 1) ≥ β1 + 1.j=185Пусть теперь в моном степени d входит β высоты d−1. Из этого немедленновытекает, что все неравенства в предыдущей цепочке превращаются вравенства, то есть mh у такого монома отсутствует и помимо eβ в неговходят только корневые вектора, соответствующие корням высоты −1.Из этого, в частности, получаем, что ограничение такого монома на Tдает линейную функцию. Лемма доказана .Рассмотрим теперь df˜ij — дифференциалы ограничений fij на T . Они,по построению, лежат в g + ⊕ h и получаются из dfij проекцией на данноепространство вдоль g − .
Рассмотрим e ∈ T . В этой точке dfij = df˜ij иравны соответствующим линейным частям L из леммы 5.13. При этом,из лемм 5.10 и 5.12 в доказательстве теоремы 5.3 немедленно вытекает,что эти линейные функции независимы между собой и порождают весьg + ⊕ h.Теперь рассмотрим произвольную точку z в CN −1 . Сначала решаемлинейную системы fi1 = zk(i,1) . Затем рассмотрим квадратичную систему,то есть fi2 = zk(i,2) . Подставив сюда уже найденные hr и перенося Fиз леммы 5.13 в правую часть снова получаем линейную систему. Всеполученные таким образом системы разрешимы ровно потому, что соответствующиеL оказываются линейно независимыми.
Таким образом, теорема доказана.В завершение этого раздела сделаем несколько алгебраических замечаний,касающихся свойств полученных функций. Рассмотрим алгебру, порожденнуюfij . В силу 5.2 она совпадает с Fac . Во-первых, легко видеть, что привыборе другого базиса в кольце инвариантов алгебра, порожденная новымнабором, будет совпадать с данной.
Этот факт вытекает из свободнойпорожденности кольца инвариантов g. Оказывается данная алгебра обладаетнекоторыми замечательными свойствами.Теорема 5.5 Пусть a — субрегулярный полупростой элемент простойкомплексной алгебры g. Пусть Fac — алгебра порожденная fij .1) Fac свободно порождена и алгебраически замкнута как подкольцов кольце от элементов g.2) Подалгебра Fa , построенная обобщенным методом сдвига аргумента,совпадает с FacДоказательство.
Из рассуждений перед теоремой 5.4 получаем, чтоодна из линейных функций выражается через остальные с постояннымикоэффициентами. Так как в точке общего положения размерность пространствадифференциалов этой алгебры равна N −1, то получаем, что эта алгебра86свободно порождена и в качестве свободных порождающих можно взятьнабор fij без f11 .В работе Тарасова А.А.[39] использовалась следующая лемма, котороймы сейчас воспользуемсяЛемма 5.14 Пусть A — целостное кольцо, допускающее разложениевида A = B ⊕ I, где B — подкольцо, а I — идеал. Тогда B алгебраическизамкнуто в A.Заметим, что при доказательстве теоремы 5.4 мы показали, что ограничениеFac на T дает все функции на этом пространстве. Таким образом кольцополиномов P (g) = Fac ⊕ I(T ), где I(T ) — идеал, задающий T .
Такимобразом, первая часть теоремы доказана.Теперь рассмотрим функцию f из Fa , входящую в некоторую бесконечнуюбигамильтонову цепочку. В окрестности точки общего положения dfвыражается через dfij . Отсюда,в этой окрестностиdf ∧ df10 ∧ ... ∧ fndn = 0.Так как коэффициенты этой формы полиномы, то получаем, что равенствонулю выполняется на всей алгебре g. Отсюда получаем 3.3, что f и Φ̃aалгебраически зависимы. В силу доказанной замкнутости Fac получаем,что Fa ⊆ Fac . Обратное включение очевидно.
5.5Бифуркационная диаграмма Σ и дискриминантспектральной кривой D для представления минимальнойразмерности алгебр sl(n + 1), so(2n + 1), sp(2n) и g2Всюду в рамках данного раздела считаем, что в кольце инвариантовалгебр sl(n + 1), so(2n + 1), sp(2n) и g2 зафиксированы порождающиеI1 , ..., In описанный в разделе 2.4, причем этом d1 ≥ ... ≥ dn . Из этоговытекает, что I1 — инвариант максимальной степени, то есть в случаеsl(n + 1), sp(2n), g2 — определитель det X в представлении минимальнойразмерности и коэффициент при µ для so(2n + 1).
При записи функций,полученных методом сдвига аргумента, будем пользоваться обозначениямииз раздела 5.1.Пусть a — регулярный (не обязательно полупростой) элемент алгебрыЛи g. Рассмотрим разложение Ii в ряд (в данном случае речь идет о87классическом методе сдвига аргумента, то есть о порождающих Fac )Ii (x + λa) =diXλj fij (x, a).j=0Теорема 5.6 g обозначает одну из четырех изучаемых алгебр: sl(n +1), so(2n + 1), sp(2n) и g2 . Пусть ρ — представление g минимальнойразмерности, элемент a ∈ g — регулярный (необязательно полупростой),в кольце инвариантов g фиксированы порождающие I1 , ..., In - некоторыенепостоянные коэффициенты характеристического многочлена представленияминимальной размерности, функция порядка k(i, j) произвольна.
ПустьDz — дискриминант спектральной кривой Rz (λ, µ) = 0, определенной поэтим параметрам. Тогда для замыкания бифуркационной диаграммы Σ̄отображения момента Fa , также построенного по эти параметрам,выполнено включение:Dz ⊆ Σ̄Доказательство. Пусть z ∈ Dz такой, что кривая Rz (λ, µ) = 0 имеетособенность в точке λ0 , µ0 .Лемма 5.15 Для любого действительного > 0 найдется такой x0 ∈g — субрегулярный полупростой элемент , что для него выполненысвойства:n dPi −1P1) |λj0 zk(i,j) + Ii (a)λd0i − Ii (x0 )| < i=1j=02) µ0 для матрицы X0 является собственным значением кратностикак минимум два.Доказательство.
Доказывать это утверждение будем для каждой алгебрыотдельно.Алгебра sl(n + 1). Рассмотрим Rz (λ, µ) = 0. Определимµ0−µ0X0 = ,...где на неотмеченных местах стоят попарно различные числа, отличныеот µ0 , и достаточно близкие к корням Rz (λ0 , µ) = 0.88Легко видеть, что α1 (x0 ) = 0, а остальные корни данном элементе вноль не обращаются (то есть это действительно субрегулярный элемент).Алгебра sp(2n). Здесь возможны два случая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
