Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Все остальныекоординаты z 0 положим равными нулю.Нулевая степень p, то есть независимость от λ, означает в точности,что для разных λ множество таких точек z ∈ CN , для которых R(λ, µ)имеет кратный корень, одинаково. В нашем случае, однако, при λ = 0, вточке z 0 у многочлена R(0, µ) корень 0 имеет кратность два, а при λ = 1 вэтой же многочлен R(1, µ) совпадает с многочленом (27), поэтому все егокорни различны.
Таким образом, для p утверждение леммы доказано.Рассмотрим теперь многочлен q. Доказывать будем аналогичным образом.Сначала подберем zk(i,0) и zk(i,1) так, чтобы многочленыXR(0, µ) = µn+1 +zk(i,0) µi−11≤i≤nиX∂R(0, µ) =zk(i,1) µi−1∂λ1≤i≤nимели различные корни. Это можно сделать, так как коэффициентымногочленов суть различные группы переменных, второй многочлен имеетсамый общий вид, а в первом на корни, как уже говорилось выше, ровноодно условие - их сумма должна равняться нулю. zk(i,2) выберем такимобразом, чтобы zk(i,1) +zk(i,2) +Ii (a) = 0, а остальные координаты положимравными нулю. Осталось заметить, что по построению при λ = 0 в точкеz 0 первое и третье уравнение системы (26) не имеют одинаковых корней.∂Rz (λ, µ) всеВ свою очередь при λ = 1 получаем, что этой же точке у ∂λкоэффициенты равны нулю, поэтому все корни Rz (1, µ) автоматическикорнями данного многочлена.
Лемма доказана. Для доказательства теоремы для случая sl(n + 1) осталось заметить,что Dz задается равенством r(z) = 0, где r(z) = Resλ (p, q).Чтобы доказать утверждение для остальных алгебр, мы представимдискриминант их спектральных кривых как пересечение Dz для алгебрыsl(n+1) с некоторым алгебраическим множеством. Нам также понадобитсяследующее свойство инвариантов алгебры sl(n + 1): для любого наборачисел c1 , ..., cn найдется такой полупростой элемент a, что Ii (a) = ci (этовыполнено, так как в представлении минимальной размерности значенияинвариантов определяют корни характеристического многочлена и наоборот).Случай sp(2n).
Рассмотрим функцию порядка k 0 (i, j) для случаяспектральной кривой на алгебре sp(2n). Ее параметры лежат в пределах781 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ d0i − 1, где d0i — степени инвариантов для даннойалгебры (напомним, что набор порождающих инвариантов фиксирован иописан в разделе 2.4). Определим функцию порядка k(i, j) для параметров1 ≤ i ≤ 2n − 1, 0 ≤ j ≤ di − 1, где di — степени инвариантов алгебрыsl(2n), следующим образом:k(2i − 1, j) = k 0 (i, j),а на оставшихся парах - произвольно. Легко видеть, что это определениекорректно, так как по построению d0i = d2i−1 .
Рассмотрим элемент a0 ∈sl(2n) для которого I2i−1 (a0 ) = Ii (a) и I2i (a0 ) = 0, где a ∈ sp(2n) —один из параметров, задающих спектральную кривую. Легко видеть,что в этом случае спектральная кривая Rz (λ, µ) для sp(2n) получаетсяиз спектральной кривой для sl(2n − 1) подстановкой zk(2i,j) = 0. Такимобразом дискриминант спектральной кривой для алгебры sp(2n) по определениюпредставляется как пересечение дискриминанта спектральной кривой slс плоскостью, задаваемой в CN уравнениями zk(2i,j) = 0.
Для даннойалгебры теорема доказана.Случай so(2n+1). Доказательство в данном случае абсолютно аналогичнослучаю sp(2n).Случай g2 . Рассмотрим функцию порядка k 0 (i, j) для случая спектральнойкривой на алгебре g2 , где i = 1, 2 и 0 ≤ j ≤ d0i − 1, а d01 = 2, d02 = 6.Определим функцию порядка k(i, j) для параметров 1 ≤ i ≤ 6, 0 ≤ j ≤di − 1, где di — степени инвариантов алгебры sl(7) следующим образом:k(6, 0) = k 0 (2, 0), k(6, 1) = k 0 (2, 1),k(2, j) = k 0 (1, j), 0 ≤ j ≤ d01 − 1Определение корректно, так как d01 = d2 и d02 = d6 . Рассмотрим спектральнуюкривую Rz на g2 , задаваемую для функции порядка k 0 , представления ρи элемента a ∈ g2 . Выберем такой a0 ∈ sl(7), что I6 (a0 ) = I2 (a), I2 (a0 ) =I1 (a) и I4 (a0 ) = I22 (a), а остальные равны нулю.
Тогда дискриминантспектральной кривой Rz для g2 представляется как пересечение дискриминантаспектральной кривой для sl и алгебраического множества, задаваемогосистемой из уравнений zk(2i−1,j) = 0 и возникающих из явного описанияспектральной кривой для g2 :22zk(4,0) = zk(6,0), zk(4,1) = zk(6,1)+ 2zk(6,0) zk(6,1) ,zk(4,2) = 2I2 (a)zk(6,0) , zk(4,3) = 2I2 (a)zk(6,1) .Таким образом для g2 теорема так же доказана.
795.4Метод сдвига аргумента для субрегулярных полупростыхэлементов простой алгебры Ли. Центры централизаторовэлементов такой алгебры.Для изучения свойств функциональных наборов, получаемых методомсдвига аргумента для субрегулярных полупростых элементов a простойалгебры Ли g, нам потребуется информация о строении центра централизаторапроизвольного элемента такой алгебры.
Сначала сформулируем лемму,которая выполняется в случае произвольной алгебры Ли.Лемма 5.10 Пусть в некоторой окрестности произвольной точки a ∈g ∗ произвольной алгебры g определена некоторая функция Казимира Iскобки A. Тогда dI(a) лежит в центре Ann a.PДоказательство. Разложим I в ряд I(a + λx) = j fj . По теореме 4.3f2 = (x, φx), где φ — секционный оператор с параметрами a, dI(a). Всвою очередь по теореме 4.1 получаем, что так как dI(a) лежит в Ann a,то dI(a) ∈ z(Ann a) (для случая глобальных функций Казимира этотрезультат хорошо известен [38]).
Прежде чем перейти к формулировке одного из основных утвержденийданного раздела, необходимо ввести некоторые дополнительные обозначения.Через Im ada обозначим образ оператора ada в g. Легко видеть, что g =Im ada ⊕ga . Напомним, что на простой алгебре Ли g существует естественнаяградуировка, связанная с высотой корней. Пусть β ∈ ∆ — некоторыйPкорень. Пусть его разложение по базисным корнямP имеет вид β = i ni αi .Тогда высотой корня β будем называть сумму i ni . Рассмотрим теперьпространства gl , l 6= 0, состоящие из корневых векторов, соответствующихкорнямL высоты l, g0 = h.
Легко проверяется, что данное разложениеg = l gl действительно задает градуировку.Эта градуировка обладает замечательным свойством. Рассмотрим e ∈g1 — главный нильпотентный элемент в стандартном виде. Тогда (см.,например, [34]) выполнено следующее свойство:ade : gl → gl+1 , l < 0 — инъекция,ade : gl → gl+1 , l ≥ 0 — сюръекция.(28)В частности, из-за равенства размерностей, ade : g−1 → g0 и ade : g0 → g1— изоморфизмы векторных пространств.80Наконец, рассмотрим моном enβ11 ...enβkk mh , где mh — моном от элементовh, а β1 , ..., βk — некоторый набор корней. Высотой монома будем называтьсуммарную высоту корней βi . Легко видеть, что моном коммутирует сh,тогда и только тогда, когда его высота равна нулю. Теперь перейдемнепосредственно к формулировке и доказательству теоремы.Теорема 5.3 Пусть g — простая комплексная алгебра Ли, a ∈ h —полупростой элемент, а I1 , ..., In —- порождающие кольца инвариантовприсоединенного представления данной алгебры.
Тогда dI1 (a), ..., dIn (a)порождают центр централизатора ga .Доказательство. Доказательство разобьем на несколько лемм.Лемма 5.11 Для любого τ ∈ C элемент eτ = τ a + e ∈ g регулярен.Доказательство. Легко видеть, что в силу произвольности полупростогоa утверждение леммы достаточно доказать для τ = 1, то есть для e1 .Рассмотрим произвольный корневой вектор e−α из gk для k < 0 такой,что ade e−alpha = 0. Так как системы корней централизатора элемента a иалгебры Ли g согласованы, то −α раскладывается по простым корням,зануляющимся на a, с отрицательными коэффициентами.
Легко видеть,что в этом случае αi + (−α) для αi (a) 6= 0 представляет собой линейнуюкомбинацию простых корней как с положительными, так и отрицательнымикоэффициентами, поэтому, по определению простых корней, корнем неявляется. Отсюда ade eα = adẽ eα , где ẽ — естественная проекция e на ga .В частности, ade e−α ∈ ga .Пусть теперь x — произвольный элемент из ge1 .
Запишем его разложениепо градуировке gl :xk + xk+1 + ...Предположим, что k < 0 и xk 6= 0. Из того, что [x, e1 ] = 0, получаемследующую систему соотношений на xj :[xk , a] = 0,[xj+1 , a] + [xj , e] = 0, j ≥ k.Из первого равенства вытекает, что xk ∈ ga По приведенным вышерассуждениям ade xk ∈ ga . С другой стороны [xk+1 , a] ∈ Im ada . Из равенстванулю их суммы немедленно получаем, что ade xk = 0. В свою очередь81из свойства заданной градуировки (28) получаем, что xk = 0. Отсюдаполучаем, что x ∈ g+ ⊕ h, то есть в разложении x по градуировке gl нетслагаемых отрицательной высоты.Легко видеть, что ade переводит h ⊕ g+ → g+ .
Покажем, что этоотображение сюръективно. Рассмотрим произвольный x ∈ gk , где k > 0.Построим для него прообраз явно. По свойству градуировки (28) найдетсятакой yk−1 , что ade yk−1 = x. Теперь рассмотрим ada yk−1 . Если это ноль, то[yk−1 , e+a] = x и прообраз x найден. Если, однако, это не ноль, то по томуже свойству градуировки найдется такой yk−2 , что ade yk−2 = −ada yk−1 .Если ada yk−2 = 0, то [yk−1 + yk−2 , e + a] = x и прообраз снова найден.
Впротивном случае продолжаем процесс построения. Он заведомо остановится,так как, если мы добрались до g0 , то по построению выражение ada y0заведомо равно нулю и для y = yk−1 + yk−2 + ... выполнено [y, e + a] = x.Таким образом, ade : h ⊕ g+ → g+ — сюръективно.Из сюръективности ada и ранее доказанного факта, что ge+a ⊂ h⊕g+ ,получаем, что dim ge+a = dim h = n. Утверждение леммы доказано. Лемма 5.12 Пусть a ∈ h — произвольный полупростой элемент иI1 , ..., In — произвольный набор базисных инвариантов. Определим функцииfij какXIi (a + λx) =λj fij .jДифференциалы dfij для j > 1, взятые в точке e, лежат в g+Доказательство.
Нам известно, что fij коммутирует с ga , в частности,с h, то есть он состоит из мономов высоты ноль.Заметим теперь, что ∂e∂α от монома высоты ноль, где высота α большенуля, либо ноль, либо содержит корень отрицательной высоты и, следовательно,в точке e обращается в ноль.Теперь рассмотрим ∂h∂α от монома. Если он содержит корневые вектора,iто в силу нулевой высоты среди них есть как положительные, так иотрицательные, и, следовательно, ∂h∂α от данного монома в точке e равноiнулю.
Если моном состоит только из элементов hαi , то он равен нулю вточке e так как его степень как минимум два..Элемент ẽ — проекция e на ga — главный нильпотентный (а, следовательно,регулярный) элемент в централизаторе ga . Из леммы 5.11, равенстваindga = indg и предложения 2.1 получаем, что в точке e в каноническом82виде A и Aa имеются только кронеккеровы блоки и жордановы размера2 × 2 с нулевым собственным значением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
