Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Первый, когда µ0отлично от нуля. Тогдаµ0µ0...X0 = ,−µ0−µ0...где на неотмеченных местах снова стоят различные собственные значения,близкие к корням Rz (λ0 , µ). Для данного элемента только только α1 (x0 ) =0.Теперь, если µ0 = 0, то, рассуждая аналогично предыдущему случаю,в качестве X0 можно взять...0....0Для такого элемента αn (x0 ) = 0 и corankX0 = 2Алгебра so(2n + 1). Если µ0 6= 0, рассуждаем аналогично первомуслучаю для sp(2n). Если µ0 , то в качестве X0 можно взять0....0...0На соответствующем x0 в ноль обращается αn .Алгебра g2 . Если не все корни Rz (λ0 , µ) = 0 равны нулю, то вкачестве X0 можно взять матрицу, у которой на диагонали стоят корниданного многочлена. Если все корни Rz (λ0 , µ) = 0 равны нулю, то в89качестве X0 можно взять:0 0000 0 0 −c 100 0 0 0 −c 00 00 −b 0 0X= 0 0 0 000c 0 0 000 −1 c0 0000 0000000b,(31)где c 6= 0, b = −2c и оба числа достаточно малы по модулю, чтобыобеспечить выполнение первого условия теоремы.

Для данного элементаα2 (x0 ) = 0. Рассмотрим теперь описанный в разделе 5.4 коммутативный наборΦx0 , получающийся сдвигом на x0 , то естьIi (x0 + λy) =diXλj fij (x0 , y)j=0Лемма 5.16 В полученном наборе Φx0 функция f11 (x0 , y) линейно выражаетсячерез fi1 (x0 , y), i > 1 с постоянными коэффициентами, зависящими толькоот x0 .Доказательство. Рассмотрим выражение∂|(0,µ0 ) det (X0 + λY − µE).∂λИз леммы 5.15 corank(X − µ0 E) ≥ 2, а записанное выше выражениепредставляет собой линейную комбинацию миноров коразмерности 1.Поэтому в независимости от Y данное выражение обращается в ноль.Для алгебр sl(n+1), sp(2n), g2 в левой части этого неравенства f11 (x0 , y) =<dI1 (x0 ), y > входит с постоянным коэффициентом, так как I1 = det X.Поэтому данная функция выражается явно. Например, для sl(n + 1) этовыражение имеет вид:−fn1 (x0 , y)µn−1− ...

− f21 (x0 , y)µ0 = f11 (x0 , y)0Для алгебры so(2n+1) в левую часть f11 (x0 , y) входит с коэффициентомµ0 . Когда µ0 6= 0, то выражение можно поделить на µ0 и выразить90f11 (x0 , y) аналогично предыдущему случаю. Полученная формула остаетсяверна и в случае µ0 = 0 — в этом случае 0 имеет кратность три иf11 (x0 , y) = 0, что и получится, если ноль подставить в формулу.

Благодаря доказанной лемме, мы теперь можем применять разработанныйв разделе 5.4 аппарат.Лемма 5.17 Найдется такой субрегулярный x1 ∈ g, что для него выполняютсяследующие свойства:1) Для i ≥ 1, j ≥ 1 и (i, j) 6= (1, 1) выполнены равенстваfij (x1 , a) = zk(i,j)2)n dPi −1P|λj0 zk(i,j) + Ii (a)λd0i − Ii (x0 )| < i=1j=03) µ0 является для X1 собственным значением кратности как минимумдваДоказательство. Из леммы 5.16 получаем, что из набора Φx0 можновыкинуть f11 , а для полученного набора определить Fx0 из раздела 5.4.Рассмотрим следующую систему из N − 1 уравнения относительно y:fij (x0 , y) = zk(i,j) , при i ≥ 1, j ≥ 1 и (i, j) 6= (1, 1)fidi (x0 , y) = Ii (a).Теорема 5.4 утверждает, что подобная система разрешима для любыхконстант, стоящих справа.

Следовательно, такой y существует.Заметим, что, fidi (x0 , y) = Ii (y). Из регулярности a и выполненияравенств Ii (y) = Ii (a) получаем, что найдется такой g ∈ G, что Adg y = a.Из леммы 5.1 получаем, что fij (x0 , y) = fij (Adg x0 , a). Положим Adg x0 =x1 .Субрегулярность x1 и выполнение первого условия леммы в этомслучае следуют из построения данного элемента.

Второе и третье свойствавытекают из свойств x0 в лемме 5.15. Лемма 5.18 Для x1 выполняется равенство f11 (x1 , a) = zk(1,1) .Доказательство. Рассмотрим третье уравнение системы 26∂|(λ ,µ ) Rz (λ, µ) = 0.∂λ 0 091Рассуждая аналогично доказательству леммы 5.16, из данного уравненияполучаем, что zk(1,1) выражается как линейная комбинация zk(i,j) , j > 0,Ii (a) и их степеней (случай g2 ), взятых с коэффициентами, зависящимиот λ0 , µ0 . Легко видеть, что аналогичным образом из уравнения∂|(λ ,µ ) R(λ, µ) = 0∂λ 0 0в точке x1 выражается f11 .

Так как по построению fij = zk(i,j) и формулысовпадают, получаем требуемое. Положим теперь x2 = x1 −λ0 a. Мы показали, что в любой окрестностилюбой точки z ∈ Dz найдется такой z 0 = Fa (x2 ), что прямая x2 + λaсодержит сингулярный элемент (в данном случае это x1 = x2 + λ0 a).Отсюда по критерию Болсинова 2.4 получаем, что dFa в точке x2 имеетранг меньший N и z 0 ∈ Σ. Таким образом Σ̄ содержит Dz и теоремадоказана. Следующая теорема - основной результат данного раздела.Теорема 5.7 g обозначает одну из четырех изучаемых алгебр: sl(n +1), so(2n + 1), sp(2n) и g2 .

Пусть ρ — представление g минимальнойразмерности, элемент a ∈ g — регулярный (необязательно полупростой),в кольце инвариантов g фиксированы порождающие I1 , ..., In - некоторыенепостоянные коэффициенты характеристического многочлена представленияминимальной размерности, функция порядка k(i, j) произвольна. ПустьDz — дискриминант спектральной кривой Rz (λ, µ) = 0, определенной поэтим параметрам. Тогда для замыкания бифуркационной диаграммы Σ̄отображения момента Fa , также построенного по эти параметрам,выполнено:Dz = Σ̄Доказательство.

Из теоремы 5.6 вытекает включение Dz ⊆ Σ̄. Потеореме 5.1 получаем включение Σ ⊆ Dz . По теореме 5.2 множество Dz— алгебраическое и замкнутое, то есть Σ̄ ⊆ Dz . Теорема доказана. Замечание 5.7 Легко видеть, что в случае алгебр sl(n + 1), so(2n +1), sp(2n) и g2 дискриминант Dz обладает замечательным свойством он является минимальным алгебраическим множеством, содержащимбифуркационную диаграмму отображения момента.925.6Спектральная кривая so(2n) в представлении минимальнойразмерностиРассмотрим алгебру so(2n) в представлении минимальной размерности.Зафиксируем инварианты I1 , ..., In , описанные в разделе 2.4 и регулярныйa.

Построим с его помощью коммутативный набор Φa и зададим отображениемомента.В случае, когда речь идет об алгебре so(2n) рассуждения в доказательстветеоремы 5.6 не проходят. Дело в том, что уже на первом этапе (то естьв лемме 5.15) можно получить диагональную матрицу X0 , у которойнулевое собственное значение имеет кратность два (то есть у спектральнойкривой особенность в точке 0, 0), а остальные - один. Данная матрицав представлении минимальной размерности задает регулярный элемент,поэтому никакого вырождения отображения момента в этой точке можети не быть. Оказывается, для почти всех регулярных a включение изусловия теоремы 5.6 неверно.Теорема 5.8 Пусть a — регулярный элемент и I1 (a) 6= 0. Тогда дискриминантDz спектрально кривой Rz (λ, µ) = 0 совпадает со всем пространствомCN .Доказательство.

Отметим сначала, что множество таких элементовнепусто. Действительно, возьмем диагональную матрицу A из представленияминимальной размерности so(2n) (см. раздел 2.4), элементы на диагоналикоторой различны и отличны от нуля. Для такого элемента пфаффианP f (A) = I1 (a) не равен нулю.Теперь рассмотрим спектральную кривую Rz (λ, µ) = 0 в точке z(радел 5.3):2µ2n + In (a)λ2 + zk(1,1)λ+zk(1,0) µ2n−2 + ... + I1 (a)λn + ... + zk(n,0) .Пусть λ0 — корень уравнения I1 (a)λn + ...

+ zk(n,0) = 0 в точке z. Заметим,что Rz (λ0 , 0) = 0. Кроме этого ноль имеет в этом уравнении кратность∂Rz (λ, µ) = 0 в точке 0, λ0 .два, поэтому ∂µ∂Рассмотрим ∂λRz (λ, µ) = 0. Легко видеть, что свободный член этогомногочлена имеет вид2 nI1 (a)λn−1 + ...

+ zk(n,1) I1 (a)λn + ... + zk(n,0) ,93то есть при λ = λ0 он также обращается в ноль. Отсюда получаем, чтокривая Rz (λ, µ) = 0 имеет в точке λ0 , µ — особенность. В диссертации Ю.А. Браилова предлагалось модифицировать уравнениеспектральной кривой для so(2n). В частности предлагалось рассмотреть:Rz0 (λ, µ) = Rz (λ,√µ) = 0В правой части стоит полином, так как µ входит в выражение для спектральнойкривой только в четных степенях. Для подобной исправленной кривойприведенное выше доказательство теоремы уже не работает, так как µ =∂Rz0 (λ, µ) = 0.0 — корень уравнения Rz0 (λ, µ) = 0 может не быть корнем ∂µБолее того, чуть ниже, в примере для so(4) будет показано, что Dz0 —множество точек CN , для которых кривая Rz0 (λ, µ) = 0 имеет особенность,— не совпадает со всем пространством CN , то есть предыдущая теорема,вообще говоря, не верна для Dz0 .

При этом, однако, все равно выполненострогое включение.Теорема 5.9 Пусть Dz0 — дискриминант спектральной кривой Rz0 (λ, µ) =0, получающейся из спектральной кривой Rz (λ, µ) = 0 подстановкой√вместо µ корня µ. Тогда для бифуркационной диаграммы Σ отображениямомента Fa для почти всех регулярных a выполнено строгое включение:Σ ⊂ Dz0 ∩ Im Fa .Доказательство. Рассмотрим главный нильпотентный элемент e в so(2n).Нам известно, что для простой комплексной алгебры Ли g codimSingg =3, откуда для почти всех регулярных a плоскость e + λa не содержитсингулярных элементов. Считаем далее далее, что a — именно такой.Рассмотрим множество M0 ⊂ g, задаваемое уравнениями Ii (y) = 0.Известно, что это объединение всех нильпотентных орбит (в простойкомплексной алгебре Ли таких орбит конечное число, см., например,[41]), среди которые имеется ровно одна регулярная - Oe .

Легко видеть,что образ M0 лежит в плоскости P , задаваемой в CN уравнениями zk(i,0) =0, 1 ≥ i ≥ n. Доказательство теоремы вытекает из следующих двух лемм.Лемма 5.19 В плоскости P есть регулярные значения отображениямомента, то есть не принадлежащие Σ.94Доказательство. Заметим сначала, что на нильпотентных орбитах заисключением Oe дифференциалы dfij всюду зависимы.

По лемме Сарда[13] их образы будут иметь в плоскости P меру нуль. Теперь рассмотримобраз Oe . Элемент a выбран таким образом, что для почти всех точек наэтой орбите дифференциалы dfij независимы и порождают изотропноепространство размерности N .Пусть y — такая точка. Косые градиенты sgrad fij в точке y образуютмаксимальное изотропное пространство относительно симплектическойструктуры на Oe .

Из этого получаем, что проекции дифференциаловdfij на Ty∗ Oe вдоль пространства, порожденного dIi в точке y (образdfij при такой проекции - совпадает с дифференциалом ограничения),порождают пространство размерности N − n, что совпадает с dim P .В окрестности y, таким образом, ограничение Fa |M0 задает отображениена целую окрестность в P , то есть образ Oe имеет в P меру, отличную отнуля. По лемме Сарда почти все точки в образе — регулярные значения.Выберем такое значение z ∈ P , чтобы оно было регулярным для Fa |M0и не попадало в образы других нильпотентных орбит (которые, какуже говорилось выше, имеют меру ноль). Прообраз этой точки лежитцеликом в Oe и совпадает с прообразом Fa−1 (z).

При этом ограничениядифференциалов (а следовательно и косые градиенты) fij , j ≥ 1 независимы.Учитывая, что dIi в точке e также независимы [38], получаем, что rk dFaво всех точках прообраза Fa−1 (z) максимален, то есть z — регулярноезначение для отображения момент и, следовательно, не принадлежит Σ.Лемма 5.20 Плоскость P лежит в Dz0 .Доказательство. Покажем, что для любого z ∈ P кривая Rz (λ, µ) = 0имеет особую точку вида (0, 0).

Характеристики

Список файлов диссертации