Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В нашем случае это множество состоит ровно из одной точки - нуля, поэтому цилиндр представляет собой прямую (λ, 0, 0). Образ этой прямой- кривая на CN , задаваемая уравнением (λ, λ2 ), то есть парабола. В данном случае бифуркационная диаграмма получается замкнутой.Более того, диаграмма замкнута и в остальных разобранных в этомразделе случаях. Естественно высказать следующую гипотезу: Для простойкомплексной алгебры Ли g, произвольного набора порождающих в кольцеинвариантов Ii , произвольной функции порядка k(i, j) и регулярного элементаa бифуркационная диаграмма Σ отображения момента Fa являетсязамкнутой.Спектральная кривая.
Дадим сначала классическое определениеспектральной кривой. Рассмотрим лаксово представление некоторой системысо спектральным параметром λ:L̇λ (x) = [Lλ (x), Aλ (x)].72Каждой точке x фазового пространства можно поставить в соответствиекривую в C2 с координатами λ, µ, задаваемую уравнениемdet (Lλ (x) − µE) = 0.Эта кривая и называется спектральной кривой лаксова представлениясо спектральным параметром (в дальнейшем это название мы будемсокращать просто до "спектральной кривой").
В свою очередь дискриминантомD спектральной кривой будем называть множество точек фазового пространства,в которых спектральная кривая имеет особую точку, то есть разрешимаследующая система уравнений:Rλ, µ = 0,∂Rλ, µ = 0,∂µ∂Rλ, µ = 0.∂λ(25)Применим эту конструкцию в нашем случае. Рассмотрим ту же системуОДУ на g, что и при определении бифуркационной диаграммы Σ:ẋ = [x, φx],где φ — секционный оператор с параметрами a, b.
Зафиксируем некотороепредставление ρ алгебры Ли g и введем спектральный параметр λ: Lλ (X) =X+λA, Aλ (X) = φX+λB. Замечаем, что исходное уравнение преобразуетсяк видуẊ = [X, φX] + λ([A, φX] + [X, B]) + λ2 [A, B]Коэффициент при λ обращается в ноль, так как это просто переформулировкаопределения секционного оператора, а [A, B] = 0 по теореме 4.1.
Такимобразом, система приобрела вид:L̇λ (X) = [Lλ (X), Aλ (X)],то есть мы действительно получили ее лаксово представление со спектральнымпараметром λ. Спектральная кривая в нашем случае имеет вид:R(λ, µ) = det (X + λA − µE) = 0.Замечание 5.3 Из всего вышесказанного видно, что определение спектральнойкривой неинварианто.
В качестве параметров в это определение входитпредставление ρ и элемент a.73Работать с подобной спектральной кривой, однако, в нашем случаене очень удобно. В частности, например, дискриминант D лежит в g, аΣ — в CN , поэтому нам потребуется другое определение спектральнойкривой уже на CN , индуцированное данным. Для этого нам понадобитсяследующая лемма.Лемма 5.8 Пусть в кольце инвариантов простой комплексной алгебреЛи зафиксирован набор порождающих I1 , ..., In . Тогда для произвольногопредставления ρ и элемента a ∈ g коэффициенты многочлена R(λ, µ)—естественным образом представляются в качестве полиномов от функцийfij , полученных из Ii при помощи сдвига на a.Доказательство. Произвольный коэффициент I характеристическогомногочлена — инвариант, поэтому, в силу конечной порожденности кольцаинвариантов простой алгебры Ли g, он выражаются полиномиальнымобразом через I1 , ..., In .
В свою очередь, коэффициенты разложения I(x+λa) по по λ оказываются полиномами от коэффициентов Ii (x + λa), тоесть от fij . Лемма доказана. Зафиксируем теперь набор порождающих инвариантов I1 , ..., In и рассмотримфункцию порядка k(i, j) для 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ di − 1 (она, по сути,задает порядок на непостоянных fij ). Рассмотрим многочлен Rz (λ, µ) отλ, µ и z ∈ CN , который получается из R(λ, µ) подстановкой вместо fijв естественное представлении коэффициентов данного многочлена какполиномов от fij из леммы 5.8 переменных zk(i,j)Таким образом в каждой точке пространства CN определена спектральнаякривая Rz (λ, µ) = 0.
Дискриминантом спектральной кривой будем называтьмножество Dz ⊆ CN таких точек, для которых соответствующая криваяимеет особенность. Система уравнений, задающих Dz имеет вид, аналогичныйсистеме для D:Rz λ, µ = 0,∂R λ, µ = 0,(26)∂µ z∂R λ, µ = 0.∂λ zИз доказанной леммы 5.8 вытекает Fa (D) ⊆ Dz .Замечание 5.4 В некотором смысле новое определение спектральнойкривой еще "неинвариантнее"старого. В качестве параметров в определениеэтой кривой входят представление ρ, набор порождающих I1 , ..., In , элементалгебры a и функция порядка k(i, j). Однако в данном случае дискриминантDz лежит в CN .74Прежде чем перейти к свойствам дискриминанта спектральной кривой,отметим, что, вообще говоря, он может совпадать со всем CN .
Например,рассмотрим спектральную кривую для произвольной g с параметрами:ρ =ad, а остальные — произвольные. Легко видеть, что у Rz (λ, µ) кореньноль имеет кратность как минимум n, то есть представляется в видеµn Q(λ, µ), где Q — некоторый многочлен от λ, µ. Отсюда немедленновытекает, что λ, 0 удовлетворяет системе (26). Ниже будет показано, чтоDz совпадает с CN для so(2n) в представлении минимальной размерностии для почти всех a.Утверждение 5.1 Рассмотрим произвольное представление ρ простойалгебры g, регулярный (не обязательно полупростой) элемент a ∈ g,и произвольный набор порождающих I1 , ..., In и произвольную функциюпорядка k(i, j) на парах 1 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ di .
По данным параметрамопределим спектральную кривую Rz (λ, µ) = 0 и рассмотрим ее дискриминантDz . По элементу a, набору порождающих инвариантов и функции порядкапостроим Σ. Тогда выполнено включениеΣ ⊆ Dz ..Доказательство. Докажем более сильный результат, а именно, что Σ ⊆Fa (D).Пусть z ∈ Σ, то есть в прообразе Fa−1 (z) есть такая точка x, что в нейпадает ранг dFa . По критерию Болсинова 2.4 для регулярного a матрицаЯкоби dFa (при любых прочих параметрах) имеет в точке x ранг меньшемаксимального тогда и только тогда, когда x+λa содержит сингулярныйэлемент.
Пусть это элемент x + λ0 a.Зафиксируем представление ρ. По лемме 5.4 у оператора X + λ0 Aесть критическое собственное значение. Обозначим это значение черезµ0 . Заметим, что первые два уравнения в систем 25 выполняются вточке λ0 , µ0 , так как µ0 имеет кратность как минимум два. С другойстороны третье уравнение системы по определению представляет собойлинейную комбинацию миноров коразмерности один матрицы X0 − µ0 Eс постоянными коэффициентами.
Так как µ0 — критическое собственноезначение, то все эти миноры обращаются в ноль. Таким образом, в точкеX у спектральной кривой есть особая точка λ0 , µ0 . Из этого вытекает,что X ∈ D и, следовательно, т.к. Fa (D) ⊆ Dz , предложение доказано. .75Разберем примеры спектральных кривых Rz (λ, µ), которые нам потребуютсяв дальнейшем.Пример 10. Для алгебр sl(n + 1), so(2n + 1) и sp(2n) спектральныекривые в представлении минимальной размерности выглядят следующимобразом:PPsl(n + 1) : Rz (λ, µ) = µn+1 +Ii (a)λdi µi−1 +zk(i,j) λj µi−1 ,1≤i≤nso(2n + 1) : Rz (λ, µ) = µ2n+1 +P1≤i≤n,0≤j≤dPi −1Ii (a)λdi µ2i−1 +1≤i≤nsp(2n): Rz (λ, µ) = µ2n +P1≤i≤n,0≤j≤dP i −1Ii (a)λdi µ2i−2 +1≤i≤nzk(i,j) λj µ2i−1 ,zk(i,j) λj µ2i−2 ,1≤i≤n,0≤j≤di −1Пример 11. Рассмотрим алгебру so(2n) в представлении минимальнойразмерности. Определитель det X не входит в фиксированные нами порождающиекольца инвариантов и представляется в виде Pf 2 (X). Спектральная криваяв этом случае имеет вид:XXR(λ, µ) = µ2n +Ii (a)λdi µ2i−2 +λj µ2i−2 +2≤i≤n+X2≤i≤n,0≤j≤di −12nzk(i,j) λj µ2i−2 + I1 (a)λ.0≤j≤d1 −1Пример 12.
Спектральная кривая для алгебры g2 имеет следующийвид:R(λ, µ) = µ7 + I2 (X + λA)µ5 + F (X + λA)µ3 + I1 (X + λA)µ,где I1 , I2 — порождающие кольца инвариантов, а F выражается через нихнекоторым полиномиальным образом. Легко проверяется (данный фактдостаточно проверить только для диагональных матриц), что F = 14 I22 .Для инвариантов имеются разложенияI2 (X + λA) = f20 + λf21 + λ2 f22 ,I1 (X + λA) = f10 + λf11 + ... + λ6 f16 ,76где f22 = I2 (A), f16 = I1 (A). Таким образом, формула для спектральнойкривой имеет следующий вид:R(λ, µ) =22= µ7 + zk(2,0) µ5 + zk(2,1) λµ5 + I2 (a)λ2 µ5 + zk(2,0)µ3 + zk(2,1)+ 2zk(2,0) zk(2,1) λµ3 ++ 2I2 (a)zk(2,0) λ2 µ3 + 2I2 (a)zk(2,1) λ3 µ3 + I2 (a)2 λ4 µ3 + zk(1,0) µ + zk(1,1) λµ + zk(1,2) λ2 µ++ zk(1,3) λ3 µ + zk(1,4) λ4 µ + zk(1,5) λ5 µ + I1 (a)λ6 µ.В заключение данного раздела докажем теорему, которая утверждает,что Dz в изучаемых случаях в некотором смысле хорошее множество.Теорема 5.2 Пусть g - одна из следующих алгебр: sl(n + 1), so(2n +1), sp(2n) и g2 .
Для произвольного элемента a дискриминант Dz спектральнойкривой Rz (λ, µ) = 0 на CN является алгебраическим (в частности,замкнутым) множеством.Доказательство. Докажем сначала это утверждение для sl(n + 1). Дляэтой алгебры по построению все входящие в систему (26) многочленыимеют ненулевую степень по µ. Определим следующие многочлены:∂Rz (λ, µ)),p(λ) = Resµ (Rz (λ, µ), ∂µ∂q(λ) = Resµ (Rz (λ, µ), ∂λ Rz (λ, µ)),где Resµ — означает результант двух многочленов, как многочленов отµ (см.
например, [20]).Лемма 5.9 Многочлены p, q как многочлены от λ имеют ненулевуюстепень.Доказательство. Докажем это утверждение сначала для многочленаp(λ). Заметим, что это в точности дискриминант [20] многочлена R(λ, µ)как многочлена от µ.Выберем точку z 0 ∈ CN , у которой zk(1,0) = 0, zk(2,0) = 0. В своюочередь координаты zk(n,0) , ..., zk(3,0) и zk(1,1) , zk(2,1) подберем таким образом,чтобы многочленXµn+1 +(zk(i,0) + Ii (a))µi−1 + (zk(2,1) + I2 (a))µ + (zk(1,1) + I1 (a)) (27)3≤i≤n77имел попарно различные корни (это можно сделать, так как на нихвсего одно условие - их сумма должна равняться нулю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
