Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 18
Текст из файла (страница 18)
При λ = 0 первые два уравнения системы26 имеют вид µ2n = 0 и 2nµ2n−1 = 0 соответственно. Кроме этого,свободный член в третьем уравнении имеет вид 2zk(1,0) zk(1,1) поэтомуна P он равен нулю,а значит µ = 0 является корнем сразу всех трехуравнений, то есть 0, 0 — особая точка. .Теорема доказана. Замечание 5.8 Легко видеть, что данное включение вовсе не гарантирует,что Σ̄ ⊂ Dz0 . При этом, однако, данная теорема позволяет утверждать,что гипотеза, сформулированная в работе [3], которая говорит, что Σ =Dz0 , для подправленного спектральной кривой на so(2n), неверна.95В заключение этого раздела разберем строение бифуркационной диаграммыΣ и дискриминанта Dz0 "подправленной"спектральной кривой для so(4).Считаем, что для нее фиксировано представление минимальной размерности,в котором матрицы соответствующих операторов имеют вид:a1 a2 0b a3 a4 −b0 0 c −a1 −a3 .−c 0 −a2 −a4Инварианты в этом случае имеют вид:I1 = a21 + a24 + 2a2 a3 − 2bc,I2 = a2 a3 + bc − a1 a4 .Рассмотрим a ∈ h — регулярный элемент, для которого a1 = p1 и a4 = p4 .Тогда коммутативный набор Φa , полученный методом сдвига аргументана этот элемент имеет вид:f10f11f20f21= a21 + a24 + 2a2 a3 − 2bc,= 2p1 a1 + 2p4 a4 ,= a2 a3 + bc − a1 a4 ,= −p4 a1 − p1 a4 .Упорядочим набор следующим образом k(1, 0) = 2, k(1, 1) = 1, k(2, 0) = 3и k(2, 1) = 4.Лемма 5.21 Определим a1 (z1 , z4 ), a2 (z1 , z4 ) по следующим формулам:p41a1 (z1 , z4 ) = − 2p2p−2p2 z1 + 2p2 −2p2 z2 ,4141p14a1 (z1 , z4 ) = − p2p−p2 z1 − p2 −p2 z2 .4141Тогда бифуркационная диаграмма задается Σ задается уравнением:z2 + 2z3 − (a1 − a4 )2 z2 − 2z3 − (a1 + a4 )2 = 0.(32)В частности, она замкнута.Доказательство.
Опишем сначала множество сингулярных элементовso(4). Так как so(4) = so(3) ⊕ so(3) и множество сингулярных элементовв so(3) = sl(2) состоит из одной точки, то Singso(4) — это элементы96вида (0, x) и (y, 0) - то есть две трехмерные плоскости. Из описаниясистемы корней для so(2n) в разделе 2.4 получаем что в представленииминимальной размерности они имеют вид: b = c = 0, a1 + a4 = 0 иa3 = a2 = 0, a1 − a4 = 0 и соответствуют so(3) = sl(2), натянутым наeα1 , e−α1 , hα1 и eα2 , e−α2 , hα2 соответственно.Из критерия Болсинова 2.4 получаем, что множество точек, где вырождаетсяотображение момента - это цилиндр над множеством сингулярных элементовс образующей a. Заметим α1 (a) 6= 0 и α2 (a) 6= 0.
Отсюда получаем,что hαi , a — порождают всю картановскую подалгебру h и этот цилиндрзадается уравнениями:P1 : b = c = 0P 2 : a3 = a2 = 0В силу того, что p1 , p4 одновременно не равны нулю, легко видеть, чтоa1 , a4 выражаются через z1 , z4 из уравнений z1 = f11 , z4 = f21 .
Заметим,что определенные в условии леммы a1 (z1 , z4 ), a4 (z1 , z4 ) — это в точностирешения этой системы системы. Подставляя в описанное уравнение формулыдля z2 = f10 , z3 = f20 при b = c = 0 и a3 = a2 = 0 получим, что Σ лежитв множестве M , задаваемом системой уравнений (32), то есть Σ ⊆ M .Покажем, что выполнено обратное включение. Подставив z2 = f10 , z3 =f20 в уравнение z2 + 2z3 − (a1 − a4 )2 = 0, получаем, что оно выполняетсятогда и только тогда, когда a2 a3 = 0. Без ограничения общности пустьx ∈ so(2n) удовлетворяет этому условию.
Легко видеть, что в точкеx0 у которой a2 = a3 = 0, а все остальные координаты совпадают скоординатами x, значения интегралов fij совпадают со значениями интеграловв точке x. При этом x0 — точка падения ранга отображения момента,так как лежит в P2 . Аналогичным образом рассуждения проводятся длявторого уравнения. Лемма доказана.
Учитывая теорему 5.9, а также данную лемму, получаем следующееутверждение.Теорема 5.10 Бифуркационная диаграмма Σ отображения моментаFa , задаваемого коммутативным набором Φa для регулярного полупростого¯ =a на so(4) является алгебраическим множеством, в частности Sigma0Σ. При этом для дискриминанта Dz выполнено строгое включение Σ ⊂Dz0 .В завершение раздела получим явную формулу для дискриминантаDz0 . Обозначим I1 (a) = c1 , I2 (a) = c2 . Спектральная кривая на C4 имеет97вид:µ2 + (z3 + λz4 + c2 λ2 )µ + (z2 + λz1 + c1 λ2 )2 = 0.Обозначим коэффициент при µ через p(λ), а выражение под знакомвозведения в квадрат в свободном члене - через q(λ). Теперь рассмотрим∂Rz (λ, µ)) = p2 − 4q 2 — хорошо известная формула дляResµ (Rz (λ, µ), ∂µдискриминанта квадратичного многочлена от одной переменной.
В свою∂∂Rz (λ, µ), ∂µRz (λ, µ)) =очередь в качестве второго уравнения возьмем Resµ ( ∂λ004q q − p p, где производная берется по λ. Заметим, что это в точности− 21 (p2 −4q 2 )0 . Таким образом Dz0 задается одним уравнением - равенствомнулю дискриминанта p2 − 4q 2 = (p − 2q)(p + 2q).Заметим, что наличие кратного корня равносильно тому, что либо p±2q имеют кратные корни, либо у них есть общий корень, что равносильнотому, что общий корень есть у p, q, то есть равен нулю их результант.
Безограничения общности считаем, что c1 6= 0. Тогда уравнение спектральнойкривой с точностью до умножения на ненулевую константу имеет вид:0 = (z4 − 2z1 )2 − 4(c2 − 2c1 )(z3 − 2z2 ) ×× (z4 + 2z1 )2 − 4(c2 + 2c1 )(z3 + 2z2 ) ×(33)22× c1 (c2 z2 − c1 z3 ) + z1 (c2 z2 − c1 z3 )(c1 z4 − c2 z1 ) + z2 (c1 z4 − c2 z1 )Список литературы[1] M. Audin Spinning Tops: A Course Of Integrable Systems. // Cambridge University Press, 150 стр. (1999)[2] Браилов Ю. А. Геометрия сдвигов инвариантов на полупростыхалгебрах Ли.// Математический сборник РАН, т 194, №11, стр.2-16 (2003)[3] Brailov A.V., Complete integrability with noncommuting integrals ofcertain euler equations // Lecture Notes in Mathematics, Volume1214, 1986[4] Yu.
A. Brailov, A. T. Fomenko. Lie groups and integrable Hamiltonian systems. // Recent Advances in Lie Theory, pp.45-76. Edited byIgnacio Bajo and Esperanza Sanmartin. Series: Research and Exposition in Mathematics. №25. Edited by Karl H.Hofmann and RudolfWille (2002)98[5] Болсинов А. В. Согласованные скобки Пуассона на алгебрах Ли иполнота семейств функций в инволюции // Изв. АН СССР. Сер.матем., 55 (1991), вып. 1, 68–92.[6] Болсинов А.В., Фоменко А.Т., Интегрируемые гамильтоновысистемы // Ижевск, 2 тома, 1999.[7] Болсинов А. В. Полные инволютивные наборы полиномов впуассоновых алгебрах: доказательство гипотезы Мищенко Фоменко // Труды семинара по векторному и тензорномуанализу. 2005, вып. 26, М.: МГУ стр.
87-109[8] Bolsinov A.V., Oshemkov A. A., Bi-Hamiltonian structures and singularities of integrable systems // Regular and Chaotic Dynamics, Volume14, Numbers 4-5, 2009[9] Bolsinov A.V., Kiosak V., Matveev V.S., A Fubini theorem for pseudoRiemannian geodesically equivalent metrics // Journal of the LondonMathematical Society, vol 80.
2009, pp. 341-356[10] Болсинов А. В., Зуев К. М. Формальная теорема Фробениуса и методсдвига аргумента // Матем. заметки 2009,т. 86 номер 1, стр. 3–13[11] Винберг Э.Б., Онищик А.Л., Семинар по группамалгебраическим группам // Москва, 1988, 344 стр.Лии[12] Винберг Э. Б. , О некоторых подалгебрах универсальнойобёртывающей алгебры. // Изв.
АН СССР Сер. Мат., 54.№1 М. 1990, стр. 3-25[13] Дубровин Б. A., Новиков С. П., Фоменко A. T. Современнаягеометрия: методы и приложения // 2-e изд. М.: Наука, 1986.[14] Dubrovin B., Bihamiltonian structures and Frobenius manifolds, LectureCourse Notes, Summer School and Conference on Poisson Geometry,ICTP, Trieste, 04-22 July 2005[15] Джекобсон Н. Алгебры Ли // Москва: Издательство "Мир", 355 стр.(1964)[16] Манаков С.В. Замечание об интегрировании уравнений Эйлерадинамики n-мерного твердого тела// Функц. анализ и егоприложения, 10(1976), вып.
4, 93–94.99[17] Мещеряков М.В., О характеристическом свойстве тензора инерциимногомерного твердого тела // УМН, 38(1983), вып. 5 (233), 201–202.[18] Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерныхгруппах Ли // Известия АН СССР, 42(1978), вып. 2, 396–415.[19] Мищенко А.С., Фоменко А.Т.
Интегрируемость уравнений Эйлерана полупростых алгебрах Ли // Труды семинара по векторномуи тензорному анализу. М.; изд-во МГУ, 1979, вып.19, с. 3–94.[20] Прасолов В. В., Многочлены // 2-е изд. М.: МЦНМО, 336 стр. (2001).[21] Рыбников Л. Г., Метод сдвига инвариантов и модель Годена //Функц.
анализ и его прил., 2006, т.40, номер 3б стр. 30–43[22] Трофимов В. В. Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемыхгамильтоновыхдифференциальныхуравнений//М.:Факториал, 1995[23] Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Групповые неинвариантныесимплектические структуры и гамильтоновы потоки насимметрическихпространствах//Трудысеминараповекторному и тензорному анализу. М.; изд-во МГУ, 1983,вып. 21, 23–83.[24] Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения.// М.: Издательство МГУ, 1988, 414 с.[25] Фоменко А. Т., Дифференциальная геометрия и топология.Дополнительные главы // Ижевск: Ижевская республиканскаятипография, 252 стр.(1999)[26] Хамфрис Дж., Введение в теорию алгебр Ли и их представлений//Москва: МЦНМО, (2003)[27] Kurtzke Jr.
J. F., Centralizers Of Irregular Elements In Reductive Algebraic Groups // Pacific Journal Of Mathematics, vol. 104, №1 (1983)стр. 133-154[28] Patera J., Sharp, R. T., Winternitz, P., Zassenhaus, H. Invariants of reallow dimension Lie algebras // J. Mathematical Phys. 17 (1976), no.6, 986–994.100[29] Короткевич А. А. Интегрируемые гамильтоновы системы наалгебрах Ли малой размерности // Мат. сборник, 200:12 (2009),3–40.[30] Gelfand I.M., Zakharevich I., Webs, Lenard schemes, and the local geometry of bi-Hamiltonian Toda and Lax structures // Selecta Mathematica, New Series, Vol.
6, №2, 2000.[31] Zakharevich I., Kronecker webs, bihamiltonian structures, and themethod of argument translation // Transformation Groups, Volume6, Number 3, 2001, pp. 267-300[32] Turiel F.J., Classification Locale Simultane de Deux Formes Symplectiques Compatibles // manuscripta math. 82, 349 - 362 (1994)[33] Элашвили А.Г., Фробениусовы алгебры Ли // Функц. анализ и егоприложения, 16 (1982), вып. 4, 94–95[34] Elashvili A. G.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
