Алгебраические и геометрические свойства систем, получаемых методом сдвига аргумента (1102320), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Из описания корней в разделе 2.4 немедленно вытекает,что в приведенном видеD1...DkXsem = ,−D1...−Dkгде Di — диагональные блоки с λi на диагонали.Лемма 5.7 Пусть Xs имеет описанный выше вид. Тогда λi 6= λj приi 6= j.Доказательство. Пусть apq (xsem ) = 0.

Так как базисы систем корнейg и gXsem согласованы, то немедленно получаем, что все простые корниαp , αp+1 , ..., αq , входящие в разложение apq обращаются в ноль на xsem .Таким образом в матрице Xsem равны элементы с p−го по q + 1, тоесть они лежат в некотором блоке Di Следовательно, apq (xsem ) 6= 0 дляиндексов p, q из разных блоков Di и Dj , то есть λi 6= λj .Пусть теперь bpq (xsem ) равно нулю.

В разложение такого корня входятвсе простые, поэтому из согласованности систем корней немедленно вытекает,что xsem = 0, то есть тождество λi 6= λj при i 6= j выполняется тривиальнымобразом. Рассмотрим теперь два варианта.Первый - длинный корень не обращается в ноль, то есть αn (xsem ) 6= 0.Таким образом, все li , как и в случае sl(n + 1), изоморфны sl(ni + 1), гдеni + 1 — размерность блока Di . При этом, однако, в отличие от sl(n + 1)образ ρ(li ) имеет вид:...Y...,...T−Y...66где Y ∈ sl(ni + 1). При этом для xinil матрица Y = Jni +1 (0) - то естьжорданова клетка с нулевым собственным значением.

Таким образомдля данного случая теорема выполнена.Второй случай — если длинный корень на xsem обращается в ноль.В этом случае λk = 0. li при i < k снова изоморфны sl(ni + 1), причемρ(sl(ni + 1)) такое же как описывалось выше, а вот lk уже изоморфноsp(2nk ), где уже nk — размерность соответствующего блока Dk . ρ(lk )принимает в этом случае вид:...A ...B .. . ...

... ,...C ...−ATгде A — произвольная nk × nk матрица, а B, C — симметричные nk × nkматрицы. Рассуждая аналогично первому случаю, получаем, что все xinilпри i < k задают по две жордановы клетки с собственными значениямиλi и −λi соответственно. Рассмотрим далее xknil . В приведенном видематрица этого элемента имеет вид:......Jnk (0) .

. .Enk nk ,............T0...−Jnk (0)где Jnk (0) — жорданова клетка nk × nk , а Enk nk — матричная единица.По строкам легко видеть, что ранг этом матрицы равен 2nk − 1, то естьнулевому собственному значению соответствует ровно одна жордановаклетка. Из приведенных выше рассуждений вытекает, что каждому λi 6=,−λi , а также нулевому собственному значению в приведенном виде соответствуетровно по одной жордановой клетке. Теорема доказана.67Случай so(2n + 1) Из описания корней в разделе 2.4 немедленновытекает, что в приведенном виде0D1...DkXsem = ,−D1...−Dkгде Di — диагональные блоки с λi на диагонали, причем λi 6= ±λj (этотфакт доказывается аналогично лемме 5.7). Как и в предыдущем случаевозможны два варианта.Первый, если на xsem короткий базисный корень αn не обращаетсяв нуль. Тогда λi 6= 0 и все рассуждения аналогичны первому случаюдля sp(2n) - то есть все ±λi различны между собой и отличны от нуля,и каждому из них соответствует по одной жордановой клетке.

Кромеэтого у оператора X есть одно нулевое собственное значение, которомусоответствует нульмерная жорданова клетка.Если короткий базисный корень обращается в ноль, то λk = 0. li , i < kв этом случае изоморфны sl(ni + 1), а lk представляет собой so(2nk + 1),где nk — размерность блока Dk . ρ(li ) при i < k устроено также, как и вслучае sp(2n). В свою очередь ρ(lk ) принимает следующий вид:0 .. . −w . ..−v.

. . v T . . . wT...... ...... A ...B.. . ....... . . C . . . −AT,где A — произвольная nk ×nk матрица, B, C — кососимметричные nk ×nkматрицы, а v, w — вектор-столбцы высоты nk . Рассуждая аналогичнослучаю sp(2n), получаем, что все xinil при i < k задают по две жордановыклетки с собственными значениями λi и −λi соответственно. Для Dk68другая ситуация:kXnil0...=  −enk . ..0...0...eTnk.......... . . Jnk (0) . . .0............0.

. . −Jnk (0)T,где Jnk (0) — жорданова клетка с нулевым собственным значением размераnk × nk , enk — вектор-столбец высоты nk , у которого на последнем местестоит единица. Легко видеть, что ранг этой матрицы равен 2nk −1, то естьнулевому собственному значению соответствует ровно одна жордановаклетка. Таким образом теорема доказана.Случай g2 . Здесь рассмотрим три случая. Первый, когда α1 (xsem ) =α2 (xsem ) = 0.

В этом случае x = xnil — главный нильпотентный элементg2 .√2 0 0 0 0 00 00 1 0 0 0 0  00 0 0 0 0 −1 .0000010(22)X= √ − 2 0 0 0 0 0 0  00 0 0 −1 0 0 00 0 0 0 0 0Легко видеть, что ранг полученной матрицы равен шести, то есть это вточности одна жорданова клетка.Пусть теперь α1 (xsem ) = 0 и α2 xsem 6= 0. Из этого получаем, что вописании g2 в разделе 2.4 a = −2b, причем b 6= 0.√2 0 0 0 000 00 0 0 0 00  00 b 0 0 0 −1 .000−b010X=(23) √ − 2 0 0 0 0 00 00 0 0 0 −b 0 00 0 0 0 0bЛегко видеть, что corankX = 1 и corank(X ± bE) = 1, то есть b, −b и 0соответствует по одной клетке размера два, два и три соответственно.69Наконец, третий случай, когда α2 (xsem ) = 0 и α1 xsem 6= 0. Обозначимa + 2b = −a − b через −c.

Из α1 xsem 6= 0 вытекает, что c 6= 0. Учитывая,что по определению b = −2c получаем, что b 6= ±c и b 6= 0. Таким образомсоответствующий элемент X имеет вид:0 0000 0 0 0 −c 100 0 0  0 0 −c 00000 −b 0 0 0 X= 0 0(24), 0 000c 0 0  0 000 −1 c 0 0 0000 0 bто есть попарно различным собственным значениям 0, c, −c, b, −b соответствуютжордановы клетки размеров один, два, два, один и один. Теорема полностьюдоказана.

5.3Бифуркационная диаграмма и дискриминант спектральнойкривой на простой алгебре gБифуркационная диаграмма. Пусть задана некоторая система ОДУẋ = v(x) на фазовом пространстве P и некоторый набор комплекснозначныхинтегралов f1 , ..., fk . Тогда возникает отображение F : P → Ck , задаваемоеформулой x → f1 (x), ..., fk (x), которое мы будем называть отображениеммомента. В свою очередь бифуркационной диаграммой Σ отображениямомента мы будем называть множество особых значений этого отображения,то есть множество таких точек z ∈ CN , что среди всех x из прообразаF −1 (z) найдется x0 для которого rk dF |x0 < k.Замечание 5.1 Традиционно в литературе по интегрируемым системамотображение момента изучается только для вполне интегрируемых систем.Наше определение, однако, никакой полноты не предполагает.Применим данную конструкцию в нашем случае. Фазовое пространствоP — простая комплексная алгебра g, отождествленная со своей коалгебройg∗ при помощи формы Киллинга.

Запишем уравнения Эйлера 18 дляслучая, когда гамильтониан - квадратичная однородная функция, задаваемаясекционным оператором φ с параметрами a, b:ẋ = [x, φx].70Функции, полученные методом сдвига аргумента, являются интеграламиданной системы:diXIi (x + λa) =λj fij ,jгде I1 , ..., In — порождающие кольца инвариантов и di = deg Ii . Насинтересуют, разумеется непостоянные функции fij , то есть 1 ≤ i ≤n, 0 ≤ j ≤ di − 1. Их в нашем случае ровно N = 12 (dim g + indg) штук,так как в кольце инвариантов простой комплексной алгебрыPЛи g длялюбого набора порождающих I1 , ..., In выполнено равенство i di = N(см., например, [40]).В отличие от предыдущих глав, на протяжение всего данного разделанас будут интересовать не коммутативные подалгебры Fa , а коммутативныенаборы Φa — множество функций fij (то есть, фактически, нас интересуетопределенный класс порождающих алгебры Fa ). Будем обозначать порядковыйномер пары i, j как k(i, j), а соответственно пару с номером k черезik jk .

При этом k(i, j) будем называть функцией порядка. Отображениемомента Fa : g → CN в этом случае действует по формуле zk = fik jk (x).Замечание 5.2 Конструкция Σ не инвариантна. В качестве параметровв ее определение входят, набор порождающих Ii , элемент a ∈ g и функцияпорядка k(i, j). Эти же параметры определяют набор Φa и Fa .Из критерия Болсинова 2.4 особые точки отображения момента Fa , тоесть такие x ∈ g, что ранг dFa падает, - это в точности цилиндр надмножеством сингулярных элементов g с образующей a (см, например,[8]), то есть является алгебраическим множеством.

Таким образом, Σ —это образ алгебраического множества при полиномиальном отображениииз одного линейного пространства в другое, и, вообще говоря, не обязанобыть замкнутым. То есть вместо бифуркационной диаграммы Σ естественнорассматривать ее замыкание Σ̄.Пример 9.

Пусть g = sl(2), в представлении минимальной размерности:x1 x2.x3 −x1Через e1 , e2 , e3 обозначим соответствующий базис. Коммутационные соотношенияв нем имеют вид:[e1 , e2 ] = 2e2 , [e1 , e3 ] = −2e3 , [e2 , e3 ] = e1 .71indg = 1 и N = 2. В качестве a возьмем элемент e1 .

В этом случаеподалгебра ga из теоремы 4.1 одномерна, поэтому параметры секционныхоператоров пропорциональны.Возьмем φ с параметрами a, a, а на ga положим D из теоремы 4.2равным умножению на двойку. Получаем, что в данном базисе операторφ действует следующим образом:φe1 = 2e1 , φe2 = e2 , φe3 = e3 .В этом случае система 18 принимает вид:ẋ1 = 0ẋ2 = −2x2ẋ3 = 2x3В кольце инвариантов sl(2) ровно один многочлен — это I = x21 + x2 x3 .Применяя метод сдвига аргумента, получаем следующее разложениеI(x + λa) = (x21 + x2 x3 ) + 2λx1 + λ2 .Упорядочим полученные fij по степеням. Тогда коммутативный набор Faимеет вид (x1 , x21 +x2 x3 ). Особые точки отображения момента соответствующегоотображения Fa — это цилиндр над множеством сингулярных элементовg.

Характеристики

Список файлов диссертации